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cours magistral...

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TD 2 bis de topographie : Gisement et résolution de triangles. Rappel mathématique préliminaire A

C Angle(A)

Angle(C)

Angle(B)

B

On pose AB = c, AC=b, BC=a. On a: Angle (A)+Angle(B)+ Angle(C)= 200 gon Théorème de Pythagore généralisé .b2 = a2 + c2 -2 a c cos (Angle(B)) .c2 = b2 + a2 -2 a b cos (Angle(C)) .a2 = c2 + b2 -2 c b cos (Angle(A)) Relation des sinus .a / sin(Angle(A)) = b / sin(Angle(B)) = c / sin(Angle(C)) Nota : Relation à utiliser avec précaution pour calculer un angle par la fonction arcsin, en effet la fonction arcsin donne un angle compris entre -100 et 100 gon donc si l’angle est compris entre 0 et 100 gon pas de problème, si il est compris entre 100 et 200 gon alors l’angle cherché est 200 –arcsin (x) car sin (200 –arcsin(x)) = sin (arcsin(x)) = x. Exercice : Résolution de triangles et gisement. Pour doubler un point inaccessible par un point de station A, un géomètre effectue deux stations avec un théodolite en A et B distants de 66,44 m. Comme on travaille dans la représentation plane conforme Lambert toutes les distances de cet exercice sont des distances horizontales réduites à la projection c'est-à-dire avec la double correction premièrement de hauteur et deuxièmement de projection conique conforme.

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Figure 1 : Représentation plane en projection conique conforme Lambert. MY représente la direction du Nord Lambert. Les mesures sur le terrain donnent : •

en station en A : angle horizontal MAB = 59,880 gon ; angle horizontal BAR = 100,417 gon.

•

en station en B : angle horizontal MBA = 72,020 gon.

Les coordonnées rectangulaire Lambert de M et R sont connues dans un système de coordonnées d’origine locale O : M (1217,39 m ; 6587,29 m), R (9892,00 m ; 9302,10 m). Entre la projection orthogonale dans un plan horizontal et la projection conique conforme Lambert, il y conservation des angles mais pas des distances par conséquent les angles horizontaux mesurés sur le terrain sont identiques à ceux de la projection conique conforme Lambert. On fera les calculs à 3 décimales sur les distances en m et quatre décimales sur les angles en gon.

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1) Calculer DrAM et DrBM avec contrôle numérique du résultat.

Dans le triangle (A, M, B), la somme des angle intérieur vaut 200 gr On en connaît deux donc on trouve Angle (AMB)= 68,10 gon. Relation des sinus dans ce triangle donne : DrAM / sin (72, 02) = DrAB / sin (68,10) = DrBM / sin (59,88) DrAM = DrAB sin (72, 02) / sin (68,10)= 61,201 m DrBM = DrAB sin (59,88) / sin (6 8,10)= 68,553 m Contrôle (tout est connu dans le triangle ABM) DrAB2=DrAM2 + DrBM2 -2 DrAM DrBM cos (68,10) 4414, 274 ≈ 4414,225 2) Calculer le gisement de RM et de la distance réduite à la projection entre R et M, DrRM. G RM : XM-XR= -8674,61 < 0 YM-YR= -2714,81< 0 Quadrant 3 tg (g) = (-8674,61 )/ (-2714,81)=3,1953 g= 80,691 gon GRM = 200 + g = 280,691 gon On cacule Dr RM L’abscisse du vecteur RM est XR-XM= 9892-1217,39=8674,61 L’ordonnée du vecteur RM est YR-YM= 9302,1-6487,29=2714,81 Dr RM (module du vecteur RM) = 9089,502 m

3) Calculer Angle(ARM).

R

M

3

On voit sur la figure 1 que : Angle (MA R)= 59,88 +100,417= 160,297 gon

Formule des sinus dans le triangle AMR Sin (angle (ARM))/DrAM= Sin (angle (MAR))/DrMR Sin (angle (ARM))= DrAM Sin (angle (MAR))/DrMR = 68,553 sin (160,297) / 9089,502 = 0,004404 Angle(ARM)= 0,2804 gon Normal car R est à 9 kM de A et M qui sont très proches. 4) a) Calculer les coordonnées Lambert de A à partir de celles de R XA=XR+DrAR sin (GRA) YA=YR+DrAR cos (GRA) Calcul de Dr AR (relation des sinus dans le triangle ARM) DrAR/ sin (angle(AMR))= Dr RM/ sin(angle(MAR)) Angle(AMR)=200-angle(MAR)-angle(ARM)=200-160,297-0,2804= 39,4226 gon DrAR = sin (angle(AMR)) Dr RM/ sin (angle(MAR))= sin (39,4226) 9089,502 / sin (160,297) DrAR = 9033,767 m Calcul de GRA

GRM

R

A

M

4

GRA = GRM + angle (ARM) = 280,691+0,2804 = 280,9714 gon

XA=XR+DrAR sin (GRA) = 9892+9033,767 sin (280,9714)=1258,783 m YA=YR+DrAR cos (GRA) =9302,10 + 9033,767 cos (280,9714) = 6641,929 m

b) contrôler numériquement le résultat en calculant les coordonnées Lambert de A à partir de celles de M, conclusion. XA=XM+DrAM sin (GMA) YA=YM+DrAM cos (GMA) Calcul de GMA Y G AR

R

A

M

GAM = GAR +angle (RAM) = 80,9714 + 160,297 = 241,2684 gon Car GAR= GRA -200 = 80,9714 gon GMA= GAM -200 = 41,2684 gon XA=XM+DrAM sin (GMA) = 1217,39 + 68,553 sin (41,2684 ) = 1258,781 m YA=YR+DrAM cos (GMA) = 6587,29+ 68,553 cos (41,2684 )= 6641,937 m OK proche on peut retenir la moyenne.

5) a) Calculer les coordonnées Lambert de B à partir de celles de M XB=XM+DrBM sin (GMB)

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YB=YM+DrBMcos (GMB) Calcul de GMB

Y GMA

M

A

GMB = GMA +angle(AMB)= 41,2684+68,10= 109,3684 gon XB=XM+DrBM sin (GMB) = 1217,39 + 61,201 sin (109,3684)=1277,93 m YB=YM+DrBM cos (GMB) = 6587,29 + 61,201 cos (109,3684)= 6578,316 m b) et contrôler numériquement le résultat en calculant les coordonnées Lambert de B à partir de celles de A, conclusion.

XB=XA+DrAB sin (GAB) YB=YA+DrABcos (GAB) Calcul de GAB

Y GAB

A

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GAM= GAB + angle(BAM) GAB = GAM - angle(BAM)= 241,2684 -59,88 = 181,3884 gon XB=XA+DrAB sin (GAB) =1258,781+66,44 sin (181,3884)=1277,929 m YB=YA+DrAB cos (GAB) =6641,937 + 66,44 cos (181,3884)=6578,316 m

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