CUBS - Apuntes del tema PDF

Preview

Summary

Apuntes del tema...

Description

Departament d'educació plàstica i visual Dibuix tècnic 2

POLÍEDRES (2): HEXAEDRE O CUB

1).-INTRODUCCIÓ. El cub o hexaedre és un políedre regular convex format per sis cares, que són quadrats, dotze arestes i vuit vèrtexs. Per a poder-lo representar s'ha de partir, com a mínim, del coneixement de l'aresta.(Fig1) (Fig1)

2).-RELACIONS MÈTRIQUES I SECCIÓ PRINCIPAL. El cub té dos plans de simetria: el pla mig de dues cares oposades i el pla determinat per dos arestes oposades.

SECCIÓ PRINCIPAL

AB=GH= a

ARESTA DE L'HEXAEDRE

BH=AG=d

DIAGONAL DE LA CARA

AH= D

OA=OB=OH=OG

DIAGONAL PRINCIPAL DE L'HEXAEDRE O CUB

RADI DE L'ESFERA CIRCUMSCRITA

OP

RADI DE L'ESFERA INSCRITA

AE

1/3 D UN TERÇ DE LA DIAGONAL PRINCIPAL

BE

2/3 H (H ÉS L'ALTURA DEL TRIANGLE EQUILÀTER DE COSTAT LA DIAGONAL DE LA CARA) = RADI DE LA CIRCUMFERÈNCIA CIRCUMSCRITA A LA PROJECCIÓ HORITZONTAL (O VERTICAL) DE L'HEXAEDRE QUAN LA 1 DIAGONAL ÉS VERTICAL (O DE PUNTA).

3).-SECCIONS PARTICULARS 3.1).- Secció particular: hexàgon regular.(Fig2) Si el pla secant és perpendicular a una diagonal principal entre els seus terços, la secció és un hexàgon. Si el pla secant conté el punt mig de la diagonal, la secció és un hexàgon regular, el costat del qual equival a 1/2 de la diagonal de la cara, per ser una de les seves paral·leles mitges.

3.2).- Secció particular: triangle equilàter.(Fig3) Si el pla secant és perpendicular a una diagonal principal entre els extrems i els seus terços, la secció és un triangle equilàter. Si el pla secant conté exactament al punt que divideix la diagonal en terços, la secció és un triangle equilàter de costat igual a la diagonal de la cara de l'hexaedre.

(Fig2: secció particular. Hexàgon regular)

(Fig3: secció particular. Triangle equilàter)

4).-MÈTODES GRÀFICS DE DETERMINACIÓ DE MAGNITUDS.

(Fig4)

4.1).- Determinació de la diagonal de la cara donada l'aresta del cub. Donada la seva simplicitat, no cal més comentari al traçat que es pot observar a la figura 4.

4.2).- Mètode gràfic per a calcular qualsevol de les tres magnituds significatives a partir d'una de les tres: aresta, diagonal de la cara o diagonal principal. Partim del traçat d'un triangle rectangle qualsevol tal i com s'indica a la figura 5. Sobre el triangle situarem la dada donada situant-la en la posició indicada. A partir d'aquí el procedeix a completar el traçat tal i com es pot apreciar a la figura 6.

(Fig5)

(Fig6)

5).-PRINCIPALS POSICIONS. 5.1).- Cub d'aresta a recolzat per una cara sobre el PH.(Fig7) La projecció horitzontal és un quadrat de costat l'aresta del cos en vertadera magnitud. La projecció vertical també tindrà com a alçada l'aresta en vertadera magnitud. En cas que el cos estigui recolzat per una cara sobre el pla vertical només hem de recordar que les posicions de les projeccions s'inverteixen.

(Fig7: cub recolzat per una cara sobre el PH)

2

5.2).- Cub d'aresta a, recolzat per una aresta sobre el PH.(Fig8) ●

●

●

●

●

●

●

La projecció horitzontal del cub recolzat al PH sobre una aresta tindrà el contorn aparent d'un rectangle, els costats del qual seran l'aresta (costat menor) i la diagonal de la cara (costat major). Per tal de construir aquesta projecció a partir de l'aresta AB traçarem dues perpendiculars. A partir dels punts A i B i sobre les perpendiculars traçades traslladarem la longitud de la semi-diagonal de la cara per tal de traçar els altres vèrtexs C,D,E i F. Pel que fa a la projecció vertical, situarem els punts A i B en cota 0. Els punts G i H es situen paral·lels a AB i a una altura igual a la longitud de la diagonal de la cara. Els punts restants C,D,E i F es situen sobre la mateixa recta paral·lela a les anteriors i a una cota igual a la semi-diagonal de la cara. Òbviament,el traçat d'aquestes projeccions només es correspon amb el cub quan aquest es situa de forma perpendicular al PH; és a dir, quan dues de les seves arestes són horitzontals. Recordem que, en cas que el cos estigui recolzat per una aresta sobre el PV, les projeccions es situaran de forma inversa.

(Fig8: cub recolzat per una aresta sobre el PH)

5.3).- Cub d'aresta a, recolzat per un vèrtex sobre el PH.(Fig9 i 10) ●

●

● ● ●

●

●

●

Les següents projeccions es correspondran amb l'hexàedre quan aquest tengui una diagonal principal perpendicular al PH; és a dir, aquesta diagonal principal és una recta vertical. Partint per tant del coneixement de l'aresta i de que el vèrtex de recolzament està contingut en una diagonal principal perpendicular al PH. La seva projecció horitzontal tindrà el contorn aparent d'un hexàgon regular. Cal ara obtenir les altres longituds del cub a partir del coneixement de l'aresta, tal i com s'indica a la figura 9. Dibuixem en primer lloc la secció principal segons l'aresta donada. El valor de la diagonal principal D, serà l'altura que tindrà el cub en la seva projecció vertical. El radi r representat serà el radi de la circumferència circumscrita a l'hexàgon regular en la seva projecció horitzontal. Les diferents altures dels altres quatre vèrtexs restants es situaran en dos plans horitzontals que divideixen la diagonal en tres parts iguals.

(Fig9: traçat de la secció principal)

●

●

●

●

●

Per al traçat de la projecció horitzontal fem centre en el punt A1(H1) i tracem una circumferència de radi r, circumferència circumscrita a l'hexàgon regular, sobre la qual traçarem l'hexàgon regular de vèrtexs B1,C1,D1,E1, F1 i G1. Les arestes ocultes seran les que tenen el seu vèrtex unit amb el punt A1. Situem ara la projecció vertical A2 a cota 0 i sobre la perpendicular a la LT el punt G2 amb una cota igual a la diagonal principal D. Les projeccions verticals dels punts units amb A ((E2,B2 i D2) es situen sobre una perpendicular a la recta A2H2 i a una cota igual a 1/3 de la diagonal principal. Els punts restants que estan units amb H es situaran sobre una altra perpendicular a la recta A2H2 i a una cota igual a 2/3 de la diagonal principal. Com en la resta dels casos, en cas que el cub es recolzi sobre un vèrtex sobre el PV (amb una diagonal principal perpendicular al PV) s'haurà d'invertir la situació de les respectives projeccions.

(Fig10: cub recolzat per un vèrtex sobre el PH, amb una diagonal principal perpendicular al PH)

3...