Apuntes Oficiales Del Tema 3 Al 5 PDF

Preview

Summary

Apuntes oficiales ...

Description

Tema 3: Diferenciació 1

Derivada d’una funció en un punt

Definició 1 Sigui A ⊂ IR i a ∈ A. Direm que a és un punt interior de A si, i només si, existeix ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ A. Definició 2 Sigui f : A ⊂ IR −→ IR i a ∈ A un punt interior. Direm derivada de la funció f en el punt a al límit següent, si existeix: f ′ (a) = xlim →a

f (x) − f (a) . x−a

En aquest cas, direm que f és derivable (o diferenciable) en a. Exemple 1 Considerem f (x) = k. Si a ∈ IR, aleshores f ′ (a) = 0. Solució. f ′ (a) = x→a lim

f (x) − f (a) k−k = xlim = 0. →a x − a x−a

Exemple 2 Considerem f (x) = x. Si a ∈ IR, aleshores f ′ (a) = 1. Solució. f ′ (a) = xlim →a

f (x) − f (a) x−a = x→a lim = 1. x−a x−a

Exemple 3 Considerem f (x) = x2 . Si a ∈ IR, aleshores f ′ (a) = 2a. Solució. x2 − a2 (x − a)(x + a) = xlim = lim f (a) = xlim (x + a) = 2a. →a x − a x→a →a x−a √ Exemple 4 Considerem f (x) = x. Si a ∈ IR, aleshores f ′ (a) = 2√1 a . ′

Solució.

√ √ √ √ √ x+ a x− a x− a √ ·√ = x→a lim f (a) = xlim →a x−a x+ a x−a 1 1 √ √ √ = = xlim . →a x+ a 2 a ′

√

1

Observem que, si a la definició feim x − a = h, resulta que x = a + h i, si x → a, aleshores h → 0, amb la qual cosa: f (a + h) − f (a) , h→0 h

f ′ (a) = lim i, en un punt x qualsevol,

f (x + h) − f (x) . h→0 h

f ′ (x) = lim

Tenim definida, per tant, una nova funció en un cert B ⊂ IR : f ′ : B −→ IR

f (x + h) − f (x) h→0 h

x 7−→ f ′ (x) = lim

anomenada funció derivada de la funció f . Aquesta nova funció pot ser derivada, amb la qual cosa obtenim la derivada segona de la funció f : f ′ (x + h) − f ′ (x) . f (x) = lim h→0 h ′′

Seguint amb aquest procediment (mentre sigui possible) obtindríem les derivades successives de la funció f . En general, si existeix f (n−1)(x), resulta que la derivada n-èsima f (n)(x) ve donada per f (n−1)(x + h) − f (n−1)(x) , h→0 h

f (n)(x) = lim

que també rep el nom de derivada d’ordre n de f en el punt x. Exemple 5 Sigui f (x) = x2 , aleshores: ( x + h ) 2 − x2 x2 + 2xh + h2 − x2 = lim = 2x. h→0 h→0 h h 2(x + h) − 2x 2x + 2h − 2x = lim = 2. f ′′(x) = lim h→0 h→0 h h 2−2 = 0. f ′′′(x) = lim h→0 h 0−0 f IV (x) = lim = 0. h→0 h

f ′ (x) = lim

Teorema 1 Si f és derivable en a, aleshores f és contínua en a.

2

✻ ❅ ❅

❅ ❅

−x



|x| ❅

❅

❅ 









 ✲

x

Figure 1: Gràfica de la funció f (x) = |x|, on podem veure el “pic" de la funció en el punt x = 0, on no és derivable.

Vegem amb un exemple que el recíproc no és cert: Sigui f (x) = |x|. Aquesta funció és contínua en tot IR, en particular és contínua en 0; vegem que, en canvi, no és derivable en 0, és a dir, que no |x| existeix lim x . x→0

= lim Tenim que lim+ |x| x x→0

x = x→0 x f (0) , lim f (x)− x−0 x→0

1 mentre que lim− |x| = lim x x→0

−x x→0 x

= −1, i, per

és a dir, f no és derivable en 0. A la figura tant, no existeix 1 podem veure que la funció presenta en el punt x = 0, on no és derivable, un “pic" on, com veurem més endavant, la tangent no està definida. El que sí podem dir és que si f no és contínua en un punt a, aleshores no és derivable en a. Definició 3 Sigui f : A ⊂ IR −→ IR, on A és un obert. Direm que f és derivable en A si ho és en cada punt a ∈ A. Si A és un interval de la forma [a, b], [a, +∞) o (−∞, b], direm que f és derivable en A si f és derivable en tot punt interior de A i existeixen lim+

x→a

segons el cas.

2

f (x) − f (a) f (x) − f (b) i/o lim− , x→b x−a x−b

Propietats de les funcions diferenciables

En aquest apartat indicarem per D(A), on A és un obert, el conjunt de les funcions diferenciables en el conjunt A D(A) = {f : A −→ IR : f és diferenciable en A}. 3

Teorema 2 1) Si f, g ∈ D(A), aleshores f + g ∈ D(A) i, si a ∈ A, (f + g )′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a). 2) Si λ ∈ IR i f ∈ D(A), aleshores λ · f ∈ D(A) i, si a ∈ A, (λf )′ (a) = λ · f ′ (a). 3) Si f, g ∈ D(A), aleshores f · g ∈ D(A) i, si a ∈ A, (f · g )′ (a) = f ′ (a) · g (a) + f (a) · g ′ (a). 4) Sigui f ∈ D(A), tal que f (a) = 0 per a ∈ A. Aleshores, en a i

(

1 f

)′

(a) =

1 és derivable f

−f ′ (a) . (f (a))2

5) Siguin f, g ∈ D(A). Suposem que g(a) = 0, a ∈ A. Aleshores, derivable en a i

(

f és g

f ′ f ′ (a) · g(a) − f (a) · g ′ (a) . (a) = (g(a))2 g )

6) Derivada de la funció inversa: Sigui f : IR −→ IR derivable en a ∈ IR, i suposem que f ′ (a) = 0. Sigui g : IR −→ IR tal que g ◦f = Id. Suposem que g és contínua en f (a). Aleshores, g és derivable en f (a) i 1 g ′ (f (a)) = ′ . f (a) Observació: tindrem:

En un punt x ∈ IR, on f sigui derivable i f ′ (x) = 0, g ′ (f (x)) =

1 . f ′ (x)

Si ara posam f −1 en lloc de g i y = f (x) ↔ x = f −1 (y ), resultarà: (

)′

f −1 (y) =

1

f ′ (f −1 (y))

.

Podem veure l’aplicació d’aquest darrer resultat al càlcul de certes derivades als exemples següents. 4

√ n

Exemple 6 Calculau la derivada de la funció g(x) = derivada de f (x) = xn .

x mitjançant la

Solució. Si f (x) = xn , aleshores f ′ (x) = nxn−1 . √ Si posam y = f (x) = xn , aleshores x = f −1 (y) = n y. Així, (

Per tant,

)′

f −1 (y) =

1 f ′ (f −1 (y))

=

1 1 √ = . n−1 n n y n−1 n (f −1 (y))

( √ )′ n

1 . x = √ n n xn−1

Exemple 7 Calculau la derivada de la funció g(x) = arcsin x a partir de la derivada de f (x) = sin x. Solució. Calculem en primer lloc f ′ (x): f ′ (x) = lim

h→0

f (x+h)−f (x) h

x = lim sin(x+h)−sin h h→0

·cos x+h2+x 2 sin x+h−x 2 h h→0

= (∗) lim = lim

h→0

sin h2 h 2

2 sin h2 h h→0

= lim

(

· cos 2x+h 2

)

2x · lim cos 2x+h = cos x. 2 = 1 · cos 2 h→0

a+b (∗) Recordem que sin a − sin b = 2 sin a−b 2 · cos 2 .

Ara, si posam y = f (x) = sin x, aleshores x = f −1 (y) = arcsin y. Així, (

)′

f −1 (y) =

1 f ′ (f −1 (y))

=

1 cos(f −1 (y ))

1 1 1 √ = . =√ 1 − y2 cos(arcsin y) 1 − sin2 (arcsin y) 1 . Per tant, (arcsin x)′ = √ 1 − x2 =

Exemple 8 Anàlogament, podem veure que:

1) Si f (x) = cos x, aleshores f ′ (x) = − sin x i, per tant, resultarà que −1 (arccos x)′ = √ . 1 − x2 1 = 1 + tan2 x i, aleshores, 2) Si f (x) = tan x, aleshores f ′ (x) = cos2 x 1 (arctan x)′ = 1 + x2 5

Teorema 3 (Derivada de la funció composta. Regla de la cadena) Sigui f : A −→ IR derivable en a, i g : f (A) −→ IR derivable en f (a). Aleshores g ◦ f : A −→ IR és derivable en a i (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a). √

Exemple 9 Calculau la derivada de la funció f (x) = ln(3x + 1). Solució. Observem que f (x) = (v ◦ u)(x), on u(x) = ln(3x + 1) i √ v(x) = x. Per tant, f ′ (x) = v ′ (u(x)) · u′ (x). Però a la vegada tenim que u(x) = (u2 ◦ u1 )(x), on u1 (x) = 3x + 1 i u2 (x) = ln x, i u′ (x) = u′2 (u1 (x)) · u′1 (x). Aleshores, f ′ (x) = v ′ (u(x)) · u′ (x) = v ′ (u(x)) · u′2 (u1 (x)) · u1′ (x). Per tant, com que: 1 v ′ (x) = √ , 2 x obtenim que: f ′ (x) =

3

u2′ (x) =

1 , x

i u1′ (x) = 3,

1 1 · · 3. 2 ln(3x + 1) 3x + 1 √

Interpretació geomètrica de la derivada

Considerem una funció y = f (x) i un punt a del seu domini. El quocient f (a + h) − f (a) h ens dóna la tangent de l’angle α =  ABC, és a dir, el pendent de la corda que passa pels punts (a, f(a)) = B i (a + h, f (a + h)) = A. Si ara feim que h → 0, aleshores A → B i, per tant, la corda AB tendeix a la recta tangent a la corba y = f (x) en el punt a, i l’angle α tendeix a l’angle que forma la tangent amb l’horitzontal; és a dir, tan α tendeix al pendent de la recta tangent a la corba y = f (x) en el punt a (vegeu la Figura 2). D’altra banda, quan h → 0, tan α =

f (a + h) − f (a) −→f ′ (a). h 6

A

B

f (a + h) − f (a)

α C h a

a+h

Figure 2: Observem que la recta secant als punts A i B quan h → 0, tendeix a la tangent geomètrica a la corba y = f (x) en el punt a.

Per tant, la derivada d’una funció en un punt coincideix amb el pendent de la recta tangent a la funció en el punt donat. Així, tenim que si f és derivable en a, l’equació de la recta tangent a la corba y = f (x) en el punt (a, f (a)) és donada per y = f (a) + f ′ (a) · (x − a), i l’equació de la recta normal, si f ′ (a) = 0, y = f (a) −

1 f ′ (a)

· (x − a).

Exemple 10 Anem a determinar la recta tangent a y = x2 + 1 en el punt a = 2. Per una banda, tenim que f (2) = 5 i, per l’altra, f ′ (x) = 2x, d’on f ′ (2) = 4. Aleshores la recta tangent és: y = 5 + 4 · (x − 2) =⇒ y = 4x − 3

4 4.1

Teoremes clàssics de la derivació Extrems d’una funció. Creixement i decreixement

Definició 4 Sigui f : A ⊂ IR −→ IR i a ∈ A. Direm que f té un màxim relatiu (resp. mínim relatiu) en el punt a si existeix un entorn I de a, tal que, per a tot x ∈ I ∩ A, f (x) ≤ f (a) (resp. f (x) ≥ f (a)). Si la desigualtat és certa en tot A direm que el màxim (resp. mínim) és absolut. Un punt on la funció tingui un màxim o un mínim relatiu rep el nom d’extrem de la funció. 7

Exemple 11 La funció f (x) = x · (1 − x)2 té un màxim relatiu en x = 1/3, un mínim relatiu en x = 1, un màxim absolut en x = 2 i un mínim absolut en x = −1/2, sempre que considerem definida la funció en l’interval [−1/2, 2] (vegeu la Figura 3).

Figure 3: Gràfica de la funció f (x) = x · (1 − x)2 en [−1/2, 2].

Teorema 4 Sigui f : A ⊂ IR −→ IR amb un extrem en a ∈ A. Aleshores, si f és derivable en a, f ′ (a) = 0. Observacions: 1) No fa falta que f sigui derivable per tenir extrem. Per exemple, f (x) = |x| té un extrem en el punt x = 0, però f no és derivable en aquest punt. 2) La condició d’anul.lació de la derivada no implica l’existència d’extrem. Per exemple, la funció f (x) = x3 té derivada nuł.la en x = 0, però no té cap extrem en aquest punt. Definició 5 Direm que una funció f : A ⊂ IR −→ IR és estrictament creixent en un punt a ∈ A si existeix un entorn I(a) de a tal que, per a tot x ∈ I(a) ∩ A, x = a, resulta: • x < a =⇒ f (x) < f (a) • x > a =⇒ f (x) > f (a)

Observació: Observem que, si f és estrictament creixent en a, aleshores f (x) − f (a) > 0. x−a Teorema 5 Si la funció f : A ⊂ IR −→ IR té derivada positiva (resp. negativa) en un entorn del punt a ∈ A, aleshores f és estrictament creixent (resp. decreixent) en aquest punt. 8

Teorema 6 (Teorema de Rolle) Sigui f : [a, b] −→ IR una funció contínua en [a, b] i derivable en (a, b). Suposem que f (a) = f (b). Aleshores existeix almenys un punt x ∈ (a, b) tal que f ′ (x) = 0.

f (a) = f (b)

a

b

Figure 4:

Geomètricament, el teorema ens diu que la gràfica de la funció y = f (x) té qualque punt on la recta tangent és parał.lela a l’eix OX (vegeu la Figura 4). Corol.lari 1 Sigui f : [a, b] −→ IR una funció contínua en [a, b] i derivable en (a, b). Si l’equació f ′ (x) = 0 té k solucions en (a, b), aleshores f (x) = 0 té com a màxim k + 1 solucions en [a, b]. Teorema 7 (Teorema del valor mitjà de Lagrange) Sigui f : [a, b] −→ IR contínua en [a, b] i derivable en (a, b). Aleshores existeix almenys un punt c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f ′ (c) · (b − a). Observació: Una interpretació geomètrica del teorema és la següent: tota corba suficientment regular que uneix dos punts A i B té un punt on la seva tangent té el mateix pendent que la corda AB. És a dir: f (b) − f (a) és el pendent Considerem la gràfica de y = f (x). El quocient b−a de la corda AB de la corba y = f (x), determinada pels punts (a, f (a)) i (b, f (b)). f (b) − f (a) tan α = b−a ′ f (c) és el pendent de la recta tangent a y = f (x) en el punt x = c. Que f (b) − f (a) vol dir que existeix existeixi un punt c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = b−a 9

B

f (b)

y = f (x)

f (b) − f (a) α f (a)

A

b−a a

c

b

Figure 5: Representació gràfica del teorema del valor mitjà de Lagrange.

qualque punt c ∈ (a, b) on la tangent a la corba y = f (x) és parał.lela a la corda AB (vegeu la Figura 5). Observació: Si en el teorema del valor mitjà posam h = b − a, aleshores b = a + h i tot punt c ∈ (a, b) serà de la forma c = a + λ · h, on λ ∈ (0, 1). Aleshores la fórmula s’escriu: f (a + h) = f (a) + h · f ′ (a + λ · h), λ ∈ (0, 1), i en aquest cas rep el nom de fórmula dels increments finits. Vegem ara algunes aplicacions immediates del teorema del valor mitjà. D’altres es veuran posteriorment. Corol.lari 2 Sigui f : [a, b] −→ IR contínua en [a, b] i derivable en (a, b) tal que f ′ (x) = 0 per a tot x ∈ (a, b). Aleshores f és constant. Una segona conseqüència del teorema del valor mitjà i d’una gran importància en el càlcul integral és la següent. Corol.lari 3 Siguin f, g : [a, b] −→ IR contínues en [a, b] i derivables en (a, b) tals que f ′ (x) = g ′ (x) per a tot x ∈ (a, b). Aleshores f i g difereixen només en una constant. Un altre resultat que és conseqüència immediata del teorema del valor mitjà és el teorema següent, que ens dóna un criteri de monotonia en un interval. 10

Teorema 8 Sigui f : I −→ IR , una funció derivable en un interval I ⊂ IR. Aleshores f és creixent (resp. decreixent) en I si, i només si, f ′ (x) ≥ 0 (resp. f ′ (x) ≤ 0) per a tot x ∈ I .

5

Problemes resolts

Els diferents teoremes que hem vist en les seccions anteriors tenen diverses aplicacions, com poden ser l’obtenció de desigualtats, calcular el nombre d’arrels d’una funció donada, càlcul de límits, etc., algunes de les quals les podem veure en els problemes resolts següents. 1. Siguin a, α, β reals i  

f (x) = 

x2 si x ≤ a αx + β si x > a.

Demostrau que f és derivable en a si α = 2a i β = −a2 .

Solució. Observem que en primer lloc necessitam que f sigui contínua, és a dir, que: lim (αx + β) = αa + β lim f (x) = x→a

x→a +

i lim f (x) = lim x2 = a2 h→a

x →a −

siguin iguals. Aleshores la primera condició és a2 = αa + β Per definició, f (a + h) − f (a) , f ′ (a) = lim h→0 h i, com que f ′ (a) és un límit, la derivada existirà si existeixen f ′ (a+ ) = lim+ h→0

f (a + h) − f (a) h

i

f ′ (a− ) = lim− h→0

f (a + h) − f (a) h

i són iguals. Anomenarem aquests dos límits respectivament derivades per la dreta i per l’esquerra de f en el punt a (també anomenades derivades laterals.) Aleshores una segona condició és la donada per f ′ (a+ ) = f ′ (a− ). En el nostre cas tenim que:

11

f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 h→0 h h h>0 α(a + h) + β − a2 αh = lim = lim = α, h→0 h→0 h h (a + h)2 − a2 f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) lim = lim = lim h→0 h→0 h→0− h h h h 4   x − 4x 2 f (x) =  −x + 4x si 0 < x < 4.    0 si x = 0 o x = 4

Podem observar que, si x = 0 i x = 4, aleshores la funció és derivable en aquest punt (la funció és un polinomi). Els punts problemàtics són x = 0 i x = 4 (vegeu la representació gràfica de la funció a la Figura 6).

Figure 6: Gràfica de la funció f (x) = |x2 − 4x|. Observau que la funció en els punts x = 0 i x = 4 presenta “pics” (com la funció f (x) = |x| en x = 0).

Considerem x = 0. Per definició, f serà derivable en x = 0 si existeix el límit f (0 + h) − f (0) lim , h→0 h 12

i aquest límit existeix si existeixen i coincideixen les derivades laterals f (0 + h) − f (0) ′ − f (0 + h) − f (0) . , f (0 ) = lim− h→0+ h→0 h h

f ′ (0+ ) = lim

En el nostre cas: f (0 + h) − f (0) −h2 + 4h = lim = 4. f (0 ) = lim h→0 h→0+ h h h2 − 4h f (0 + h) − f (0) = lim = −4. f ′ (0− ) = lim h→0− h→0 h h Aleshores, com que f ′ (0+ ) = f ′ (0− ), f no és derivable en x = 0. ′

+

Considerem x = 4. [(4 + h)2 − 4(4 + h)] f (4 + h) − f (4) = lim f (4 ) = lim h→0+ h→0 h h 2 h + 4h = lim = 4. h→0 h [−(4 + h)2 + 4(4 + h)] f (4 + h) − f (4) = lim f ′ (4− ) = lim h→0− h→0 h h 2 −h − 4h = −4. = lim h→0 h Aleshores, com que f ′ (4+ ) = f ′ (4− ), f no és derivable en x = 4. ′

+

3. Sigui f (x) = ln(1 + x). Calculau les derivades f (n+1)(0) i f (n+1)(x) essent x un punt on f és (n + 1)−vegades derivable. Solució. Sigui x ∈ IR un punt on la funció és (n +1)−vegades derivable. La derivada primera és: 1 = (1 + x)−1 f ′ (x) = 1+x Ara f ′′(x) = −1 · (1 + x)−2 . f ′′′(x) = (−1)(−2) · (1 + x)−3 = 2 · 1 · (1 + x)−3 . f (4)(x) = (−3) · 2 · 1 · (1 + x)−4 = −3 · 2 · 1 · (1 + x)−4 . En general, s’obté: f (n)(x) = (−1)n−1 · (n − 1)! · (1 + x)−n .

La demostració d’aquesta darrera fórmula es fa per inducció. 13

Suposem que és certa per a n − 1. Aleshores: f (n)(x) =

(

)′

f (n−1) (x) = (−1)n−2 · (n − 2)! · (1 + x)−(n−1) (

= (−1)n−2 · (n − 2)! · (−(n − 1)) · (1 + x)−n = (−1)n−1 · (n − 1)! · (1 + x)−n

)′

i, com que la identitat és certa per a n = 1, per inducció s’obté que és certa per a tot n ∈ ZZ + . Finalment, f (n+1)(x) = (−1)n · n! · (1 + x)−(n+1) i f (n+1)(0) = (−1)n · n!

4. Calculau l’equació de la paràbola y = x2 + bx + c, que és tangent a la recta y = x en el punt (1, 1). Solució. L’enunciat del problema ens diu que la recta y = x és tangent a la paràbola en el punt (1, 1). Aleshores, pel significat geomètric de la derivada, sabem que y ′ (1) = 1. Calculem per tant y ′ . Com que y = x2 + bx + c, tenim que y ′ = 2x + b i, per tant, y ′ (1) = 2 + b; aleshores 2 + b = 1, d’on b = −1.

D’altra banda, la paràbola y = x2 + bx + c passa pel punt (1, 1), és a dir, 1 + (−1) + c = 1, d’on c = 1. Així, l’equació demanada és y = x2 − x + 1.

5. Comprovau que l’equació x = e−x té una única arrel real.

Solució. Considerem la funció f (x) = e−x − x. Observem que f és contínua i derivable en tot IR i, per tant, també ho serà, respectivament, en tot interval tancat i tot interval obert. Per tal d’aplicar el Corol.lari 1 (pàgina 9), anem a determinar les solucions de f ′ (x) = 0. f ′ (x) = −e−x − 1 = 0 =⇒ e−x = −1 Aleshores f ′ (x) = 0 no té cap solució ja que e−x > 0 per a tot x ∈ IR. Per tant, f (x) = 0 té com a màxim una solució. Vegem que en té una. f (1) =

1 − 1 < 0 i f (−1) = e + 1 > 0, e

Aleshores, com que f és contínua en [0, 1], el teorema de Bolzano afirma que f té com a mínim una solució en (0, 1). Com que no en pot tenir més d’una, tendrà exactament una solució. 14

6. Demostrau que, per a qualsevol m, la funció polinòmica f (x) = x3 − px + m té com a màxim una arrel dins l’interval [0, 1], si p ≥ 3.

Solució. Seguint el raonament del Corol.lari 1, anem a determinar les solucions de f ′ (x) = 0. √

√

√

f ′ (x) = 3x2 −p = 0 =⇒ x = ± p/3 =⇒ x = p/3 ≥ 1 i x = − p/3 ≤ −1, ja que p ≥ 3. Com que cap d’aquests dos punts no pertany a l’interval (0, 1), resulta que f ′ no té cap arrel dins (0, 1) i, per tant, f té com a màxim una arrel en [0, 1], si p ≥ 3. 7. Demostrau que si x ∈ IR i x = 0, aleshores 1 + x < ex . Solució. Considerem la funció f (x) = 1 + x − ex , que és contínua i der...