B4 3 poligons regulars - Apuntes del tema PDF

Preview

Summary

Apuntes del tema...

Description

Departament d'educació plàstica i visual Dibuix tècnic 1

BLOC 4: POLÍGONS (3) POLÍGONS REGULARS

1).-INTRODUCCIÓ. REPÀS CONCEPTES BÀSICS Un polígon regular és el que té els costats de la mateixa longitud i els seus angles són iguals. Els seus elements característics són: ● Costat: Cadascun dels segments de la línia poligonal tancada. ● Vèrtex: Cadascun dels punts comuns a dos costats consecutius. ● Centre: punt que equidista de tots els vèrtexs. ● Apotema: segment que uneix el centre del polígon amb el punt mig de cad costat.L'apotema és el radi de la circumferència inscrita al polígon. ● Radi: segment que uneix el centre del polígon amb cadascun dels vèrtexs. ● Diagonal: segment que té per extrems dos vèrtexs no consecutius. Segons el nombre d costats del polígon regular variarà el nombre de diagonals, que tindran mides diferents. Nd (n-3)n/2. ● Angle interior: cadascun dels angles convexos formats per dos costats consecutius.

2).-CONSTRUCCIÓ DE POLÍGONS REGULARS DONAT EL RADI DE LA CIRCUMFERÈNCIA CIRCUMSCRITA AL POLÍGON. 2.1).-Mètodes particulars.

(fig1)

2.1.1).-Divisió de la circumferència en 3 i 6 parts iguals. Triangle equilàter i hexàgon.(fig1) L'hexàgon és l'únic polígon regular en què es verifica la igualtat del costat i el radi de la circumferència circumscrita. ● Traçar una circumferència amb el valor del radi donat. ● Sobre la circumferència traçar un diàmetre qualsevol. ● Amb centre de compàs en D i radi OD traçar un arc que tallarà la circumferència en els punts C i E. Unint els vèrtexs A,C i E obtindrem el triangle equilàter. ● Per obtenir l'hexàgon regular basta duplicar el mètode anterior fent centre de comàs en el punt A.

(fig2)

2.1.2).-Divisió de la circumferència en 4 i 8 parts iguals. Quadrat i octàgon. (fig2) ● Traçar una circumferència amb el valor del radi donat. ● Sobre la circumferència traçar dos diàmetres perpendiculars. ● Aquests dos diàmetres tallen la circumferència en quatre punts (A,B,C,i D) que , units consecutivament formaran un quadrat. ● Pel traçat de l'octàgon només cal fer les bisectrius dels angles de 90º que, en tallar la circumferència, obtindran els altres quatre punts necessaris. 2.1.3).-Divisió de la circumferència en 5 i 10 parts iguals. Pentàgon i decàgon.(fig3) ● Traçar una circumferència amb el valor del radi donat. ● Sobre la circumferència traçar dos diàmetres perpendiculars AN i PJ. ● Amb centre en H (punt mig de OJ) i radi HA traçar un arc que talla el radi OP en G. El segment AG és el costat del polígon que s'haurà de traslladar a partir del punt A 5 vegades sobre la circumferència. ● El costat per obtenir el decàgon ve donat pel segment OG.

(fig3)

1

2.1.4).-Divisió de la circumferència en 7 parts iguals. Heptàgon. (fig4) ● El costat de l'heptàgon regular inscrit en la circumferència és igual al semicostat del triangle equilàter inscrit en la mateixa circumferència. Per tant, el procediment a seguir serà el mateix que en el cas del triangle. ● Traçar una circumferència amb el valor del radi donat. ● Sobre la circumferència traçar un diàmetre qualsevol AP. ● Amb centre en P i radi PO definir un arc que tallarà la circumferència en els punts M i N. Unir M i N i obtenir J sobre el diàmetre AP. ● La magnitud MJ o NJ és el costat del polígon que s'haurà de traslladar 7 vegades sobre la circumferència.

(fig4)

(fig5)

2.1.5).-Divisió de la circumferència en 9 parts iguals. Enneàgon(fig5) ● Traçar una circumferència amb el valor del radi donat. ● Sobre la circumferència traçar dos diàmetres perpendiculars. ● Amb centre en A, traçar un arc de radi AO que talla la circumferència en el punt 2. ● Fent centre en N, traçar un altre arc de radi ON que tallarà la circumferència en el punt 1. ● De nou fent centre en N traçar un arc de radi N2 que talla la prolongació del diàmetre horitzontal en el punt 3. ● Amb centre en A i radi A1 traçar un arc que tallarà la prolongació del diàmetre horitzontal en el punt 3. ● Amb centre en el punt 3 traçar un arc de radi 3A o 3N que talla el diàmetre horitzontal en el punt 4. ● El segment restant del diàmetre serà el costat del polígon, que s'haurà de traslladar 9 vegades sobre la circumferència.

2.2).-Mètode general.(fig6) Aquest mètode aproximat permet construir un polígon regular de qualsevol nombre de costats. ● Traçar una circumferència amb el valor del radi donat. ● Sobre la circumferència traçar un diàmetre qualsevol , per exemple AN. ● Dividir el diàmetre dibuixat en tantes parts iguals com costats hagi de tenir el polígon demanat. En el nostre cas és un enneàgon, per tant s'ha dividit el diàmetre en 9 parts iguals. ● Fent centre en A i posteriorment en N traçar dos arcs amb una mida igual a la del diàmetre que es tallaran en el punt P. ● Unir el punt P amb la segona divisió del diàmetre AN i prologar fins que talli la circumferència en el punt B. ● La distància AB és la mida del costat donat, que s'haurà de traslladar al llarg de la circumferència per obtenir el polígon demanat.

(fig6)

2

3).-CONSTRUCCIÓ DE POLÍGONS REGULARS CONEGUT EL COSTAT. 3.1).-Mètodes particulars.

(fig7)

3.1.1).-Triangle equilàter.(fig7) ● Dibuixem el costat donat AB. ● Traçar des d'A i B arcs amb valor AB i BA. La intersecció obtinguda serà el tercer vèrtex C del triangle que cerquem. 3.1.2).-Hexàgon.(fig8) ● Dibuixem el costat donat AB. ● Tracem arcs des d'A i des de B amb un radi igual a AB per trobar el centre de la circumferència O. ● A continuació amb centre O i radi OB tracem la circumferència en la qual quedarà inscrit l'hexàgon ABCDEF que cercàvem. 3.1.3).-Quadrat.(fig9) ● Es dibuixa el costat donat AB. ● Des d'aquests dos punts es tracen dues perpendiculars. ● Amb centre en A i B i amb un radi igual al costat es tracen dos arcs fins tallar les perpendiculars en els punts C i D respectivament. ● Unint els punts A,B,C i D determinem el quadrat. 3.1.4).-Octàgon.(fig10) ● Es dibuixa el costat donat AB. ● Sobre AB construir un quadrat. ● Traçar les diagonals del quadrat per determinar el seu punt mig P. ● Amb centre en P i radi PA o PB traçar un arc que tallarà en O la mediatriu del costat AB. ● El punt O és el centre de la circumferència circumscrita a l'octàgon, el radi de la qual és el segment OA o OB. ● Sobre la circumferència traslladar el valor del costat AB i unir els punts correlativament per obtenir l'octàgon demanat. 3.1.5).-Pentàgon.(fig11) ● Es dibuixa el costat donat AB. ● Es dibuixa la mediatriu del costat AB i obtenim el punt P. ● Es traça una perpendicular sobre B. ● Amb centre P i radi AB es descriu un arc que talla la perpendicular a B en el punt J. ● Amb radi PJ i centre en P dibuixar un arc que talla la prolongació de AB en M. ● Amb centre en A i radi AM es dibuixa un arc que determina sobre la mediatriu el punt D. ● Amb centre en D,A i B tracem arcs de radi igual al costat. En tallar-se entre sí determinaran els vèrtex C i E restants. ● Unint els punts correlativament obtindrem el pentàgon demanat. 3.1.6).-Heptàgon.(fig12) ● Es dibuixa el costat donat AB. ● Es traça una perpendicular sobre un dels extrems, per exemple B. ● Es dibuixa la mediatriu del costat AB. ● Sobre A es dibuixa un angle de 30ª que es prolonga fins tallar la perpendicular traçada des de B en el punt P. ● Amb centre A i radi AP es descriu un arc que talla la mediatriu del costat AB en el punt O, centre de la circumferència circumscrita a l'heptàgon, el radi de la qual és el segment OA o OB. ● Sobre la circumferència traslladar el valor del costat AB set vagades i unir els punts correlativament per obtenir l'heptàgon demanat.

(fig8)

(fig9)

(fig10)

(fig11)

(fig12)

3

(fig13)

3.1.7).-Enneàgon.(fig13) ● Es dibuixa el costat donat AB. ● Es dibuixa la mediatriu del costat AB. ● Sobre A i amb radi AB, dibuixar un arc que talli la mediatriu en el punt P. ● Amb centre P i radi PB es descriu un arc que talla la mediatriu del costat AB en el punt Q. ● Amb centre en Q i radi QP tornem a traçar un arc que talla la mediatriu de l costat AB en el punt F (vèrtex del polígon). ● Unir els punts F i A. ● La mediatriu del segment FA determinarà sobre la mediatriu AB el punt O, centre de la circumferència circumscrita a l'enneàgon, el radi de la qual és el segment OA o OB. ● Sobre la circumferència traslladar el valor del costat AB nou vegades i unir els punts correlativament per obtenir el polígon demanat.

3.2).-Mètode general de traçat de polígons donat el costat 3.2.1).-Mètode general de traçat de polígons donat el costat fins 12 costats. (fig14) ● Com a exemple farem un enneàgon. ● Es dibuixa el costat donat AB. ● Es dibuixa la mediatriu del costat AB. ● Sobre A i amb radi AB, dibuixar un arc que talli la mediatriu en el punt O.. ● Amb centre O i radi AO traçar una circumferència que tallarà la mediatriu en el punt P. ● Dividir el radi CP en sis parts iguals i determinar sobre el segment els punts 7,8,9,10,11 i 12. Cadascun d'aquests punts serà centre de la circumferència circumscrita als polígons regulars de 7,8,9,10,11,i 12 costats. ● En el nostre cas, triarem com a centre del polígon el punt ). ● Fent centre en ) i amb un radi igual a 9A tracem la circumferència circumscrita al polígon cercat. i radi PB es descriu un arc que talla la mediatriu del costat AB en el punt Q. ● Amb centre en Q i radi QP tornem a traçar un arc que talla la mediatriu de l costat AB en el punt F (vèrtex del polígon). ● Sobre la circumferència traslladar el valor del costat AB nou vegades i unir els punts correlativament per obtenir el polígon demanat.

(fig14)

Emprant el procediment anterior, però dividint el radi en 12 costats podem traçar també polígons de fins a 24 costats. Per això, haurem d'emprar les divisions com a centres de compàs. A la imatge es mostra el model per fer un polígon de 13 costats. Fent centre en la divisió 7 i amb radi 7B, obtenim un punt sobre la mediatriu (13) que serà el centre del polígon demanat.

4...