Didaktik des Sachrechnens PDF

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Zusammenfassung Teil 1: Didaktik des Sachrechnens...

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Didaktik des Sachrechnens

SoSe 21 Seminarleiterin: I. Gretzschel

o Inhalte, Ziele & Funktionen des Sachrechnens o Inhaltsbezogene Kompetenzen „Größen & Messen“ 

Objekte mithilfe (nicht-) standardisierter Einheiten vergleichen, ordnen, sortieren



Klasse 2: 

Kenntnisse über Größen sowie Größenvorstellungen beim Lösen von Aufgaben aus dem unmittelbaren Erfahrungsbereich anwenden



Klasse 4: 

Kenntnisse über Größen zur Erschließung der Umwelt nutzen und beim Lösen von Aufgaben aus dem Vorstellungsbereich anwenden

o Ziele des Sachrechnens (nach Franke):

 Sachrechnen als Anwenden von Mathematik 

SuS können erkennen, dass es nicht um das Rechnen, sondern vorrangig um das Erkennen der notwendigen Operationen & ihrer Verknüpfungen geht.

 Sachrechnen als Problemlösen 

Entwicklung von Problemlösefähigkeiten & heuristischen Vorgehensweisen

 Sachrechnen als Umwelterschließung 

Den SuS wird bei der Bearbeitung von Sachaufgaben die Beziehung zwischen mathematischen Wissen und Sachwissen deutlich.



Sachrechnen als Beitrag zur Umwelterschließung und Alltagsbewältigung



Konzentration auf eine der 3 Zielrichtungen nicht sinnvoll

→ Sachrechnen sollte verschiedene Funktionen im Mathematikunterricht übernehmen.

o Funktionen des Sachrechnens (nach Winter):

o Aufgaben zum Sachrechnen o Grundtypen von Sachrechenaufgaben:

 Eingekleidete Aufgaben 

in Worte gefasste Aufgabenkonstruktion bzw. Rechenoperation



eindeutiges Ergebnis



jede Zahl wird benötigt



Bsp.: Wieviel fehlt zu Euro?



dient Übungszwecken

 Textaufgaben 

komplexere Sachsituation, aber vereinfachte Realität (z.B gerundete Werte)



fördern mathematische Fähigkeiten

 Sachaufgaben/-probleme 

bedeutsame Sachsituation



mathematisieren von Sachbeziehungen



Mathematik als Hilfe, um tiefer in die Sache einzudringen



Sachtexte & Zeitungsartikel



Originaldaten und -werte



fächerverbindend & -übergreifend

o Aufgabentypen: 

Schätzaufgaben 



Märchen & Phantasiegeschichten 



Zielsetzung: Größenvorstellung Auswirkung auf Motivation und Lösungsverhalten

Kapitänsaufgaben



aus gegebenen Daten können die gefragten Informationen nicht berechnet werden (Angaben unvollständig, realitätsfremd oder außerhalb des Kontexts)

o Aufgabenbeschreibung nach Merkmalen:

 Beschreibende Situation 

Sachsituation mit direktem Alltagsbezug (reale oder realistische Situation)



Sachsituation mit indirektem Alltagsbezug (teilweise bekannte Situation)



Sachsituation ohne Alltagsbezug

 Präsentationsarten 

Echtsituationen: (reale Phänomene werden in direkt handelnder & sprachlicher Auseinandersetzung bearbeitet)



authentische Mathematisierungen: (Rollenspiel mit authentischen Materialien, Bild-Text-Aufgaben in Schulbüchern, welche zur mündl./schriftl. Auseinandersetzung auffordern, …)



Bilder: (Bilderfolgen, -bücher, Operationsdarstellungen in ikonischer Form)



Texte: (Sachtexte, Märchen & andere Erzähltexte mit mathematischen Gehalt + klassische Sachaufgaben)

 mathematische Inhalte 

Zahlen & Operationen: o Sachaufgaben mit arithmetischem Inhalt



Raum & Form o Sachaufgaben mit geometrischem Inhalt



Muster & Strukturen o Sachaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen



Größen & Messen: o Sachaufgaben zum situationsadäquaten Umgang mit Größen



Daten, Häufigkeit & Wahrscheinlichkeit: o Sachaufgaben mit stochastischem Inhalt

o Lösen von Sachaufgaben o Sachrechnen als Problemlösen:



Was ist ein Problem? 

durch 3 Komponenten gekennzeichnet: o unerwünschter Anfangszustand (a) o Erwünschter Endzustand (b) o Barriere, die die Transform von (a) in (b) im Moment verhindert



Heurismen 

Hilfsmittel, Strategien, Prinzipien, die dem Problembearbeitenden zu einer Idee verhelfen oder ihn Strukturen besser erkennen lassen können.



können zu einer Lösung / einem Lösungsvorteil führen, aber nicht garantiert

heuristische Hilfsmittel Tabelle informative Figur heuristische Strategien Vorwärtsarbeiten (VA) Kombiniertes VA und RA Rückwärtsarbeiten (RA) Systematisches Probieren allgemeine heuristische Prinzipien Analogieprinzip 



Suche nach Gleichungen, Beziehungen bzw. Mathematisierungsmustern -

Vorwärtsarbeiten o

Was ist gegeben?

o

Was weißt ich über das Gegebene?

o

Was kann ich daraus ermitteln

Rückwärtsarbeiten o

unbekannter Anfangswert, bekannter Endwert

o

Operationen vom Anfangs- zum Endwert sind bekannt

o

durch Umkehren der Operationen & der Operationsreihenfolge lässt sich ausgehend vom Endwert der Anfangswert ermitteln



Kombiniertes VA und RA o

besonders effektiv, um den Suchraum einzugrenzen

o

Ausgangssituation und Ziel werden permanent aufeinander bezogen



Arten des Probierens: → Probieren = in der Grundschule am häufigsten eingesetzte Lösungsstrategie o

willkürliches Probieren [Annehmen verschiedener Probierwerte]

o

systematisches Probieren [alle Probierwerte der Reihe nach]

o

eingeschränktes Probieren [Vorüberlegungen führen zur Einschränkung der Probierwerte]

o

zielgerichtetes Probieren [Probierwerte werden so verändert, dass Resultate immer näher an Lösung liegen]

o

probierbasiertes Schließen [ausgehend von Probierresultat & Lösung wird ein Probierwert einmalig passend verändert]



Analogieprinzip: → Angepasste Übertragung eines bereits bekanntem Lösungsweges/-strategie auf das neue Problem → Voraussetzung für die Nutzung des Analogieprinzips: o Es liegt eine Analogie zwischen 2 Problemen vor. o Die Analogie wird erkannt. o Für das Ausgangsproblem wurde ein sinnvoller Lösungsweg gefunden. o Die anzupassenden Elemente des Lösungsweges werden korrekt identifiziert

o Sachrechnen als Modellbildungsprozess → Bearbeitung komplexer realistischer Probleme mithilfe von Mathematik

→ Kern: Erstellung eines Modells





Warum modellieren? 

Kompetenzen zum Anwenden von Mathematik ausbauen



Anwendung heuristischer Strategien & Hilfsmittel lernen



Problemlösefähigkeit fördern



Kommunikations- & Argumentationsfähigkeit fördern



soziale Kompetenz fördern



Ausgewogenes Bild von Mathematik als Wissenschaft schaffen



Motivation zur Beschäftigung mit Mathematik

Gute Modellierungsaufgaben sind: 

realitätsbezogen, datenbasiert, komplex



offen, differenzierend

o Schwierigkeiten & Fehlerursachen beim Sachrechnen: 

Schwierigkeitssteigernde Faktoren: → Sachlich-semantisch: 

Fehlende Erfahrung und Vertrautheit mit dem Kontext



Unbekannte Begriffe



Irrelevante Aufgaben



Zu komplexer Sachverhalt

→ Sprachlich-syntaktisch: 

Fremdwörter, Fachausdrücke, unbekannte Redewendung



Textlänge/Komplexität



Direkte oder indirekte Angaben



lösungsdeforme Reihenfolge (Angaben durcheinander)



Art der Frage

→ Mathematisch:





Art und Anzahl der Rechenschritte



Rechenaufwand (z.B. Größe der Zahlen, Rechenoperation)

Fehlerursachen: 

Orientierung am Oberflächenmerkmalen

o Orientierung an den zahlen und dem vermuteten Rechenaufwand o Orientierung an Signalwörtern (z.B. abschneiden – Subtraktion) o Orientierung am unterrichtlichen Kontext 

Fehler beim Modellieren o Beim Aufbau des Situationsmodells 

Text wird durch Informationsdichte anders interpretiert



Zeitliche Abfolge der Handlung wird nicht beachtet



Situation kann nicht mit einer konkreten Handlungsvorstellung verbunden werden

o beim Überführen ins mathematische Model 

schrittweise Übersetzung von Texten und Bildern



Übergeneralisierung von Standardmodellen (anhand von Signalwörtern)



Nichtberücksichtigung indirekter Angaben

o beim Umsetzen des mathematischen Modells o bei der Deutung und Überprüfung der Ergebnisse

o Bearbeitungshilfen:



Defensiver Ansatz 

Verringern der Hürden o z.B durch Änderung des Aufgabentextes [Änderung der Syntax, Nutzen leichterer Sprache]



Offensiver Ansatz 

Hilfen zum Überwinden der Hürden o z.B durch Nutzung von Skizzen, Info-Netzen

o Größen und Größenbereiche o Was ist eine Größe?



vergleichbar, addierbar (wobei immer eine Größe derselben Art entsteht), vervielfach- & teilbar



objektiv messbare Eigenschaft von Gegenständen oder Vorgängen



Unterscheidung in 3 Begriffsebenen: 

Ebene der Repräsentanten für Größen [z.B. der Mensch als Repräsentant seiner Körperlänge]



Ebene der Größe selbst [z.B. Wegstrecken, Stäbe]



Ebene der Benennungen von Größen durch Maßzahl & Maßeinheit [z.B. 42 Meter]

o Größenbereiche, Schwierigkeiten Zeitspannen

Zeit

Hohlmaß

Unterschied Zeitpunkt und Zeitdauer/-spanne Messgeräte: Uhren und Kalender Berechnung aus zwei Zeitpunkten (Anfangs- & Endzeit) Einheiten zum Größenbereich Zeit nicht dekadisch aufgebaut Direktes Vergleichen von Repräsentanten nur bei gleichem Zeitpunkt und gleichem Ort  Uhr + Uhrzeit, Kalender + Datum Maßeinheiten der Zeit:  Erste Maßeinheit: meist Tag o Kinder verbinden ihren persönlichen Zeitrhythmus mit der Zeiteinteilung des Tages o 3. Schuljahr: Behandlung der Einheiten Sekunde & Minute o Selbst gefertigte Uhren zum indirekten Vergleich verwenden o Messen mit Schätzübungen

    

 Maßeinheit für Bestimmung der Größe eines (Hohl-) Körpers  Besonderheit: Kinder werden mit dem Bruchbegriff und der Bruchschreibweise konfrontiert (Messbecherskalen, Rezepte)  Vergleichen von Inhaltsangaben & Ausmessen von Gefäßen

Volumen Geld

Flächeninhalt

macht deutlich 1/2l = 500 ml usw. Maß für dreidimensionale, geometrische Objekte, Festkörper, Flüssigkeiten, Gase  keine Messgröße, sondern Zählgröße  Geldeinheiten nicht beliebig klein wählbar (1 Cent als kleinste Einheit)  keine standardisierte Maßeinheit (unterschiedl. Währungen und Wechselkurse)  geometrisches Maß für Flächen zweidimensionaler geometrischer Objekte  “Umlegen” von Flächenanteilen verändert den Flächeninhalt nicht (aber ggf. den Umfang der Figur)  “Auszählen” von Einheitsquadraten als Messvorgang  “Berechnung” von Flächeninhalten für Rechtecke  “Umrechnung” von Maßen für den Flächeninhalt  Schwierigkeiten: o bei der Ausbildung von Flächenvorstellungen o bei der Einsicht in das Prinzip der Flächeninvarianz o bei der Vorstellung von konventionellen Flächeneinheiten o beim Schätzen von Flächeninhalten 

o Didaktisches Stufenmodell o Stützpunkt- & Größenvorstellungen o Messen als Tätigkeit o Umwandeln von Größen o Schätzen...