Distribución DE Probabilidad DE Poisson WEGWEEGWEW WGWEE PDF

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSONLa distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X , la cual representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o región específicos y se denota con t , es:𝑝(𝑥, 𝜆𝑡)=𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥𝑥! 𝑥 = 0,1,2, ...,donde 𝜆 es el número pr...

Description

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, la cual representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o región específicos y se denota con t, es: 𝑝(𝑥, 𝜆𝑡) =

𝑒 −𝜆𝑡 (𝜆𝑡) 𝑥 𝑥 = 0,1,2, …, 𝑥!

donde 𝜆 es el número promedio de resultados por unidad de tiempo, distancia, área, volumen.

EJEMPLO: Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo dado? Al usar la distribución de Poisson con x = 6 y λt = 4, y al remitirnos a la tabla A.2, tenemos Que 𝑝(6, 4) =

𝑒 −4(4)6 6!

= ∑ 60𝑃(𝑋, 4) − ∑ 50𝑃(𝑋, 4)

= 0.8893 −0.7851 = 0.1042. EJEMPLO: El número promedio de camiones-tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10. Las instalaciones en el puerto pueden alojar a lo sumo 15 camiones-tanque por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado lleguen más de 15 camiones y se tenga que rechazar algunos? Sea X el número de camiones-tanque que llegan cada día. Tenemos: 15 P (X > 15) = 1−P (X ≤ 15) = 1 −∑15 0 𝑝(𝑥, 10) = 1 − ∑ 0

𝑒 −10(10)𝑥

= 1 −0.9513 = 0.0487.

𝑥!

TEOREMA: Tanto la media como la varianza de la distribución de Poisson p(x; λt) son λt.

Demostración de la media y la varianza de la distribución de Poisson Sea μ = λt.

∞ −𝜇 𝑥

𝐸(𝑋) = ∑

𝑒

0

𝜇 𝑥!

∞

𝑒 −𝜇𝜇 𝑥 = ∑𝑥 𝑥! 𝑥= 1

∞ −𝜇 𝑥−1

= 𝜇∑

𝑒

𝑥=1

𝜇 (𝑥− 1)!

Puesto que la sumatoria en el último término de la expresión anterior es la probabilidad total de una variable aleatoria de Poisson con media μ, la cual puede verse con facilidad con y = x - 1, es igual a 1. Por lo tanto, E(X) = μ. Para calcular la varianza de X observe que ∞

𝐸[𝑋(𝑋−1)] = ∑ 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥=0

∞

𝑒 −𝜇 𝜇 𝑥−2 𝑒 −𝜇 𝜇 𝑥 =𝜇 2 ∑ (𝑥−2)! 𝑥! 𝑥=2

Nuevamente, sea y = x - 2, la sumatoria en el último término de la expresión anterior es la probabilidad total de una variable aleatoria de Poisson con media μ. En consecuencia, obtenemos: 𝜎 2 =𝐸(𝑋 2 ) − ⌈𝐸(𝑋)⌉2 =𝐸⌈𝑋(𝑋− 1)⌉ + 𝐸 (𝑋) − ⌈𝐸(𝑋)⌉2 = 𝜇 2 + 𝜇 - 𝜇 2 = 𝜇 = 𝜆𝑡

APROXIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCI ÓN BINOMIAL POR MEDIO DE UNA DISTRIBUCI ÓN DE POISSON. Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de probabilidad b(n, x, p). Cuando 𝑛→∞, 𝑝→0, 𝑛𝑝

𝑛 →∞

→

𝜇 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛→∞

𝑏(𝑛, 𝑥, 𝑝) → 𝑝(𝑥, 𝜇) EJEMPLO: En cierta fabrica los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es de 0.005, y que los accidentes son independientes entre sí. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día de cualquier periodo determinado de 400 días ocurra un accidente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente a lo sumo en tres días de tal periodo? Sea X una variable aleatoria binomial con n = 400 y p = 0.005. Por consiguiente, np = 2. Si utilizamos la aproximación de Poisson, 𝑎) 𝑃(𝑋=1) =(𝑒 −2 )21 = 0.271

b) P (X ≤ 3) = ∑3𝑥=0

2𝑥 𝑒 −2 𝑥!

=0.857

EJEMPLO: En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo cual ocasionalmente hace que la pieza ya no se pueda vender. Se sabe que, en promedio, 1 de cada 1000 artículos producidos tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tenga menos de 7 artículos con burbujas? Se trata básicamente de un experimento binomial con n = 8000 y p = 0.001. Como p es muy cercana a cero y n es bastante grande, haremos la aproximación con la distribución de Poisson utilizando μ = (8000) (0.001) = 8.

Por lo tanto, si X representa el número de burbujas, tenemos: P (X < 7) = ∑ 6𝑥=0𝑏(8000, 𝑥, 0.001) = 𝑝(𝑥,8) =0.3134

ACTIVIDADES A ENTREGAR 1) En cierto crucero ocurren, en promedio, 3 accidentes de tr ánsito al mes. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier determinado mes en este crucero: a) ocurran exactamente 5 accidentes? b) ocurran menos de 3 accidentes? c) ocurran al menos 2 accidentes? 2) Un escritor de libros comete, en promedio, dos errores de procesamiento de texto por página en el primer borrador de su libro. .¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página cometa a) 4 o más errores? b) ningún error? 3) Cierta área del este que resulta afectada, en promedio, por 6 huracanes al año. Calcule la probabilidad de que para cierto año esta área resulte afectada por: a) menos de 4 huracanes; b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes. 4) Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de preparatoria no pase la prueba de escoliosis (curvatur a de la espina dorsal) es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes que se revisan en búsqueda de escoliosis, calcule la probabilidad de que: a) menos de 5 no pasen la prueba; b) 8, 9 o 10 no pasen la prueba. 5) Una empresa compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electr ónico. Utiliza un método que rechaza el lote completo si en una muestra aleatoria de 100 unidades se encuentran 2 o más unidades defectuosas. a) ¿Cuál es el numero promedio de unidades defectuosas que se encuentran en una muestra de 100 unidades si el lote tiene 1% de unidades defectuosas? b) ¿Cuál es la varianza?...