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Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Matemática

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos Los postulados de Euclides (Elementos, I) incluyen una afirmación evidente y simple: por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta. Vamos a ver ahora cómo se obtiene la ecuación de la función lineal en el caso de que no tengamos ni el valor de la pendiente ni el valor de la ordenada al origen, sino simplemente las coordenadas de dos puntos que se encuentran sobre la línea recta o bien la imagen de la función para dos elementos distintos del dominio. Para eso, antes de presentar teóricamente el concepto, pensemos una situación que puede ayudarnos.

Lee atentamente la siguiente situación (reléelo varias veces si es necesario). Un criador de gallinas alimenta las mismas con una dieta especial. Esta dieta genera que el peso de la gallina aumente linealmente en función del número de días. Si el peso inicial de una gallina (pollito) es de 40 gramos y, 25 días después, es de 675 gramos, responde: ¿Cuál será el peso de la gallina 35 días después? ¿Y 50 días después? ¿Cuál sería la formulación de la función lineal que represente el peso “p” en función de los días “d”?

Definición Si el punto P de coordenadas (x1, y1) y el punto Q de coordenadas (x2, y2) pertenecen al gráfico de una función lineal, la pendiente de dicha función queda determinada por: 𝑎=

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

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Ejemplo Queremos encontrar la fórmula de una función lineal y sabemos de ella que: f (2)=10 y f (4)= 12. Eso significa que los puntos (2; 10) y (4; 12) pertenecen a su gráfica. Utilizando la fórmula del cálculo de la pendiente, tenemos que: 𝑎=

12 − 10 =1 4−2

Por ende, ya conocemos la pendiente de la función y faltaría hallar su ordenada al origen. Para ello planteamos: y= 1.x +b y= x + b Reemplazamos la x por la abscisa de cualquiera de los dos puntos, por ejemplo: x=2, y la y por su correspondiente ordenada, y=10. 10= (2) +b, De donde b tiene que ser igual a 8. Hemos hallado de esta manera la fórmula de la función lineal f(x)= x+8 Regresemos a nuestra situación primera. En ella tenemos al Peso (p) del animal en función a los días (d) de desarrollo, y nos dicen que la relación es lineal. Entonces sabemos que p= a . d + b (en este caso, p sería la variable dependiente de la d, variable independiente) p (0)= peso inicial o peso para el día cero = 40 gramos, y p (25)=675 gramos Nos están dando dos datos de la función; el punto (0,40) y el punto (25, 675) pertenecen a la función, de donde la pendiente es igual a: 𝑎=

675 − 40 127 = 25,4 = 25 − 0 5

Además, el primer punto nos da la ordenada al origen. Obtenemos así que el peso en función de los días tiene el modelo lineal: 𝑃 (𝑑) =

127 𝑑 + 40 5

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Observación importante Supongamos que sabemos que los dos puntos conocidos de la recta son: P= (3,5) y Q= (3,7) Al graficar la recta que pasa por estos dos puntos, vemos que:

Figura 1: Recta vertical

Fuente: elaboración propia.

La recta es vertical; ¿es la gráfica de una función? ¡No! (test de la recta vertical). Efectivamente, no existe una función lineal que verifique que pase por esos dos puntos. El cálculo de la pendiente sería: 7−5 2 = 3−3 0 Como no se puede dividir por cero, se llega a un absurdo. En definitiva, la gráfica de una función lineal es una recta, pero no toda recta es una función lineal.

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Referencias Apostol, T. M. (1982). Calculus. Buenos Aires: Reverté. Bocco, M. (2005). Matemática. Córdoba: Universidad Empresarial Siglo 21. Haeussler, E. F., Paul, R. S. y Wood, R. J. (2008). Matemáticas para administración y Economía. México: Pearson, Prentice Hall. Larsen, J. (2005). La población mundial aumentó en 76 millones de personas en el 2004. Recuperado de: http://www.terra.org/categorias/articulos/lapoblacionmundial-aumento-en-76-millones-de-personas-en-el-2004 Lipschtuz, S. (1994). Matemáticas para computación. México: McGraw-Hill. Staple, E. (2013). Purplemath. Palatine, EE.UU.: Liquid Web. Recuperado de http://www.purplemath.com Tarzia, D. A. (2000). Curso de nivelación de Matemática. Santiago de Chile: McGrawHill.

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