Ecuaciones Diferenciales - Trabajo de investigación formativa PDF

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Universidad Nacional de San Agustín de ArequipaFacultad de Ingeniería de Producción y ServiciosEscuela Profesional de Ingeniería IndustrialInforme de investigación informativa“Modelo del control de nivel y caudal de líquido en un depósito cilíndrico”Ancco Tejada, Wilson DanielCornejo Ccana, Nanyeli ...

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Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa Facultad de Ingeniería de Producción y Servicios Escuela Profesional de Ingeniería Industrial

Informe de investigación informativa “Modelo del control de nivel y caudal de líquido en un depósito cilíndrico” Ancco Tejada, Wilson Daniel

CUI:20182239

Cornejo Ccana, Nanyeli Nicole

CUI:20181598

Cuba Huracahua, Rodrigo Jesús

CUI:20180348

López Velásquez, Ximena Gabriela

CUI:20180293

Curso: Ecuaciones Diferenciales Docente: Mg. Tony Edwin Cheneaux Gomez Segundo año – Grupo “C” Arequipa – Perú 8 de Julio de 2019

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INDICE RESUMEN...............................................................................................................................3 INTRODUCCIÓN...................................................................................................................4 OBJETIVOS............................................................................................................................5 OBJETIVO GENERAL.......................................................................................................5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS...............................................................................................5 MARCO TEORICO.................................................................................................................6 1.

¿Qué es la transformada de Laplace?.........................................................................6

2.

Transformación de Laplace en una función. –...........................................................6

3.

Propiedades de las transformadas de Laplace. –........................................................6

4.

Las ecuaciones diferenciales y los procesos industriales...........................................7

5.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería Industrial...................7 5.1

Modelo de control de nivel y caudal de líquido en un depósito cilíndrico.............7

5.1.1.

La función de transferencia.............................................................................7

5.1.2.

Diagrama de bloques.......................................................................................7

5.1.3.

Proceso a modelar. -........................................................................................8

Variables:...................................................................................................................8 Procedimiento:...........................................................................................................9 METODOLOGIA..................................................................................................................11 RESULTADOS......................................................................................................................12 CONCLUSIONES.................................................................................................................13 RECOMENDACIONES........................................................................................................14 REFERENCIAS.....................................................................................................................15

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RESUMEN La importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas que se presentan a diario en la ciencia y la tecnología, se puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, o en las ingenierías donde se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos, etc. todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales. Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes. La definición en principio suena sencilla y de hecho la explicación en si lo es, pero dichas ecuaciones son de gran ayuda para complejas incógnitas de modelos matemáticos y de la vida. Llamamos ecuación diferencial a toda ecuación que relacione una o más variables independientes, una función de dichas variables y una o varias de sus derivadas con respecto a ellas. Cuando solo hay una variable independiente se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO), mientras que si hay más de una variable independiente y derivada parcial respecto de ellas recibe el nombre de ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP). La importancia de las ecuaciones diferenciales reside en el hecho de que muchas leyes de la naturaleza, tanto en física, como en química o como en biología, encuentran su expresión más natural en términos de ecuaciones diferenciales. Sus aplicaciones se entienden incluso a la matemática sobre todo a la geometría, la ingeniería, la economía, la sociología. La razón última de esta ubicuidad de las ecuaciones diferenciales es que las derivadas expresan tasas de cambio, y una buena parte de las leyes que encontramos en las mencionadas disciplinas expresan relaciones entre una función y sus tasas de cambio.

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INTRODUCCIÓN En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología. El fin de este trabajo de investigación es usar la técnica de modelado con bloques funcionales para obtener la función de transferencia del proceso del control de nivel y caudal de un líquido en general, facilitando así poder manipular las variables involucradas en el proceso y observar su comportamiento frente a las diferentes modificaciones, lo cual nos permitirá elegir las características más convenientes para cualquier proceso que requiera contar con el suministro de un líquido como materia prima. Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h. Suponga que el agua fluye a través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que esta demora en vaciarse.

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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL 

Reconocer el aplicativo industrial que posee el empleo y manejo de las ecuaciones diferenciales tanto a nivel educativo como nivel profesional, ya que la resolución de los mismos nos lleva a la solución de un problema, sea sistemático o no.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

Evocar los temas aprendidos durante el trayecto del curso para así buscar la forma de aplicarlo en nuestra carrera, y a su vez, en los diferentes procesos industriales ya sean de producción, conservación, entre otros.



Conjeturar acerca de la importancia que tiene la aplicación de las ecuaciones diferenciales en distintas ramas educativas como son la física, la biología, e incluso, en el estudio de la vida cotidiana (en el análisis de poblaciones, por ejemplo).

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MARCO TEORICO 1.

¿Qué es la transformada de Laplace?

Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simón Laplace) puede resolverse un tipo de ecuaciones diferenciales de orden n, son las llamadas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, muy comunes en la resolución de circuitos eléctricos:

Las A son constantes, y la variable "x" en la práctica suele ser el tiempo. 2.

Transformación de Laplace en una función. –

Para simplificar los cálculos supondremos que nuestras funciones y = f(x) cumplen las siguientes condiciones: 1) f(x) está definida para todos los puntos

0≤x x0 , f ( x ) es tal

que:

|f ( x )|< A e αx La transformada de Laplace de una función se define como:

f (x) con las características arriba indicadas

Así definida, como una integral, la transformada de una función f(x) cumple las típicas propiedades de linealidad:

3.

Propiedades de las transformadas de Laplace. –

Expresaremos aquí las propiedades más importantes de la transformada de Laplace de funciones:

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4.

Las ecuaciones diferenciales y los procesos industriales

Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros. Siendo así, vemos que en los procesos de producción que requieren del suministro de algún líquido como materia prima, dispensados desde una gran altura, es imprescindible la constante revisión del nivel del líquido en el depósito, como también del caudal que ingresa y sale del mismo, para lograr controlar un proceso es importante tratarlo como un sistema continuo en el tiempo, en el cual cada una de sus partes, cumple una función y se interrelaciona con las demás. Todo sistema continuo en el tiempo puede ser representado a través de una función de transferencia, la cual es una expresión matemática del modelo del sistema, formada por el cociente de dos polinomios, expresados en transformada de Laplace. 5.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería Industrial 5.1 Modelo de control de nivel y caudal de líquido en un depósito cilíndrico 5.1.1. La función de transferencia

Es una expresión matemática que caracteriza las relaciones de “Entrada – Salida” de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Se define como la relación de la trasformada de Laplace de la salida (función respuesta), a la transformada de Laplace de la entrada (función forzante), bajo la suposición de condiciones iniciales cero. Esta representa el comportamiento dinámico del proceso, indicando como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada, en este caso el cambio en el volumen del líquido del tanque a lo cual denominamos acumulación.

X (s ) Cambio en la salida del proceso = Y ( s ) Cambio en la entrada del proceso X (s ) Respuesta del proceso = Funcion Forzante Y (s )

5.1.2. Diagrama de bloques Un diagrama de bloques es una representación gráfica del modelo matemático de un sistema. En muchos casos, estos diagramas permiten entender el comportamiento y conexión del sistema. En un diagrama de bloques se unen todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales, el cual es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida.

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Las funciones de transferencia de los elementos generalmente se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. La señal solo puede pasar en la dirección de las flechas.

Entrada del Proceso

Salida del Proceso

Proceso Función Forzante o estimulo

Respuesta al estimulo

Las ventajas de la representación mediante diagrama de bloques de un sistema se fundamentan, en que es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con solo conectar los bloques de los elementos de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema. Generalmente, la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. Por esta razón, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques. Cabe destacar que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energía no se muestra explícitamente y que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar varios diagramas de bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis. 5.1.3. Proceso a modelar. Variables:

( ) ( ) 2



m s m2 ( ) q s t → Flujo de salida s h ( t ) → Altura del tanque ( m)

q e ( t ) → Flujo de entrada

 



R → Resistencia de la valvula  → Areade laseccion transversal del tanque ( m2) 3 V → Volumen del liquido en el tanque(m )

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τ →Constante de tiempo(s) Procedimiento: Para poder conceptualizar el problema, utilizaremos el diagrama de bloques del sistema así tenemos que la acumulación del líquido en el tanque está determinada por la siguiente ecuación:

Q ( s)

H (s )

Acumulación Aumento del flujo de entrada

Altura del nivel en el tanque

Acumulacion=Flujo de entrada−Flujo de salida

dV =q e( t ) −q s (t ) (1) dt El volumen está determinado por la siguiente igualdad: V = A . h (t ) (2) Entonces si reemplazamos volumen en la ecuación (1) tenemos: q e( t )−q 0 ( t )= A

dh ( t ) (3) dt

Así mismo, sabemos que la resistencia de la válvula estada definida por: R=

h ( t) q 0( t )

Por lo tanto, si reemplazamos resistencia de la válvula en la ecuación (2) tenemos: dh ( t ) 1 q e( t )− h (t )=A (4) R dt Organizamos la ecuación (4) y obtenemos: RA .

dh ( t ) +h (t )=R . q e( t) (5) dt

La constante de tiempo que equivale a la igualdad: τ =A . R Reemplazamos la constante de tiempo en la ecuación (5), y así: τ

dh ( t ) +h (t ) =R .q e (t ) (6) dt

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Si lo planteamos en el estado estacionario, resulta: τ

d hs( t ) + hs ( t )=R . qs ( t )(7) dt

A diferencia entre las ecuaciones de los dos estados, τ

d [ h ( t ) −h s ( t )] dt

+ [ h( t) −hs ( t ) ]= [ q e( t )−q s (t ) ](8)

Entonces las variables de desviación están dadas por: h ( t )−hs ( t ) =H (t ) q e( t )−q s (t ) =Q (t) Si reemplazamos las variables de desviación en la ecuación (8), se obtiene: τ

dH (t ) + H =RQ (9) dt

Aplicamos la Transformada de Laplace en la ecuación (9):

[

]

L τ

dH ( t ) + H =L [ RQ] dt

τ.L

[ ]

dH (t ) +L[ H ]=R . L [Q ] dt

τ .[ SH ( s )−h(0) ] + H ( s ) =RQ (s ) τ . SH ( s ) + H ( s )=RQ (s) H (s )( τS+1 )=RQ (s) Función de tranferencia

H (s ) R = Q (s) τS+1

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METODOLOGIA Durante la realización del presente trabajo, tomamos como referencia un tipo de investigación “pura y teórica” en conjunto con una investigación “aplicada”, puesto que fue necesaria la aplicación de ciertos recursos que, en conjunto, conlleven a la resolución de los cálculos matemáticos vistos en el informe. El método utilizado fue “explicativo” e “inferencial”. Debido a las diversas conjeturas formadas durante la investigación de nuestro proyecto, es que fue necesario indagar acerca de los diferentes valores y criterios que poseían cada una de nuestras variables, ya que de esa forma podríamos hacer más entendible lo que queremos demostrar con respecto la aplicación de las ecuaciones diferenciales en un proceso de control. Nuestro objeto de estudio está definido por la utilización y aplicación que le damos a las ecuaciones diferenciales, tomando como muestra al control que se lleva del nivel y caudal de un líquido dentro de un depósito cilíndrico. Las variables vistas se han denominado con anterioridad, pero de forma análoga y general, podemos mencionar el nivel al que está sometido un líquido cualquiera, y el caudal del mismo, el cual viene a ser la cantidad de nuestro líquido que circula a través de una sección, en este caso, nuestra sección viene definida por un depósito cilíndrico, el cual, a su vez, involucra una serie de variables, como es la altura y el área del tanque.

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RESULTADOS Obtuvimos la función de transferencia que describe el proceso de control de nivel y caudal de un líquido, utilizando el diagrama de bloques, el cual nos permitió obtener la ecuación del proceso, el mismo que describe el acumulamiento del líquido, para luego aplicar la Transformada de Laplace culminado así con la formulación de esta función.

Destacamos la importancia que poseen las ecuaciones diferenciales y su aplicación en procesos de producción o mantenimiento, esto debido a la diversa información que pudimos apreciar ya que al principio contábamos con 3 opciones, de las cuales en conjunto fue elegida la presente en el informe, no solo por el simple hecho de ser un poco más accesible, sino porque aplicamos una parte fundamental de las ecuaciones diferenciales, el cual es la transformada de Laplace.

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CONCLUSIONES Como ya dijimos las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles tanto en la física, biología, química entre otras. Pero esta vez nos centramos en la utilidad que tiene en la ingeniería industrial, para ser más específicos en la especialidad de producción; esta vez mediante los procesos que requieren del suministro de algún líquido como materia prima.

La técnica utilizada es la de modelado con bloques funcionales para obtener la función de transferencia del proceso del control de nivel y caudal de un líquido en general, lo que nos facilita elegir las características más convenientes para cualquier proceso que requiera contar con el suministro de un líquido como materia prima. 

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RECOMENDACIONES Para poder obtener la ecuación del proceso es necesario elaborar con precisión el diagrama de bloques, ya que de este depende la función de transferencia obtenida de la Transformada de Laplace, siendo así de vital importancia, pues si llegase a haber error en la ecuación a transformar esto resultaría en un error de la función de transferencia y por ende no se cumpliría con el fin de este trabajo que es dar la función que describe al proceso mediante un sistema de control.

Antes de llevar a un nivel superior la discusión acerca si la transformada Laplace es eficaz al momento de aplicarla a un proceso industrial, es de vital importancia tener conocimiento acerca de que trata dicho tema, como muestra de ello tenemos a las diferentes propiedades que posee la transformada de Laplace al momento de querer aplicarla tanto a cálculos matemáticos como a cálculos de índole social.

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REFERENCIAS  ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES (2011). Transformada de Laplace. Recuperado de: http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/transform_lapl.htm  Lucas Iván Menchi (2015). Transformada de Laplace aplicada al diseño de Sistemas de Control Dinámicos. Recuperado de: http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-LucasMenchi.pdf  Hendrick Paradela (2013). Definición, aplicación e importancia de la transformada de Laplace en la ingeniería. Recuperado de: https://es.slideshare.net/hendrickp/definicion-aplicacion-e-importancia-de-latrasnformada-de-laplace-en-la-ingenieria  José Salvador Cánovas Peña (2008). Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales. Recuperado de: http://www.dmae.upct.es/~jose/varcomp/ctrans.pdf...