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Ejemplo resuelto de geometría diferencial...

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´ Y DE FLUIDOS DEPARTAMENTO DE F´ISICA MATEMATICA

Examen de M´ etodos Matem´ aticos IV 3er curso de Grado en F´ısica (c´odigos: carrera 6104, asignatura 61043012)

CURSO 2015-2016

Problemas Resueltos

Estudio de superficies generales de revoluci´ on En este ejemplo generalizamos la PEC propuesta en el curso 2014-2015 al caso en que el radio de la superficie de revoluci´on no venga dado en t´erminos del par´ametro longitud de arco, sino en t´erminos de un par´ametro arbitrario t. Consideremos una curva gen´erica γ(t) contenida en el plano xz definida por las ecuaciones param´etricas siguientes x = f (t), z=t donde t es un par´ametro cualquiera, en general distinto del par´ametro longitud de arco, que toma valores en un cierto intervalo I no necesariamente acotado. Al hacer girar la curva γ(t) alrededor del eje z generamos una superficie de revoluci´ on, descrita en coordenadas param´etricas por medio de las relaciones: x = f (t) cos θ,

y = f (t) sen θ,

z=t

con t ∈ I, θ ∈ [0, 2π ]. A continuaci´on estudiaremos algunas de las propiedades generales de las superficies de revoluci´on regulares, parametrizadas en t´erminos de los par´ametros y1 = t ∈ I, y2 = θ ∈ [0, 2π], suponiendo para ello que la funci´on f (t) es suficientemente suave. Para m´as informaci´on sobre superficies de revoluci´on consultar los puntos 8.3 y

z

y

x

γ(t)

Figura 1: Superficie de revoluci´on. 8.11 del libro de Lipschultz (p´ags. 161 y 164 respectivamente).

Problema 0. Escriba algunos ejemplos concretos interesantes de superficies de revoluci´on

Figura 2: Ejemplos de superficies de revoluci´on, de izquierda a derecha y de arriba a√abajo: cilindro de radio unidad (f (t) = 1), cono (2 hojas) (f (t) = |t|), esfera de√radio unidad (f (t) = 1 − t2 ), paraboloide de revoluci´on (f (t) = t1/2 ), elipsoide de revoluci´on (f (t) = 1 − (t/2)2 ), hiperboloide de revoluci´on (f (t) = √ 1 + (t/2)2 ). Problema 1. Calcule la base natural (formada por los vectores t1 y t2 ) del espacio tangente a esta superficie gen´erica correspondiente al sistema de coordenadas generalizadas dado por t y θ . Calcule la primera forma fundamental de esta superficie y explique de manera justificada si es ortogonal el sistema de coordenadas propuesto. • Base natural: t1 = {f ′ (t) cos θ, f ′ (t) sen θ, 1} ,

t2 = {−f (t) sen θ, f (t) cos θ, 0} ,

• Primera forma fundamental: E = t1 · t1 = 1 + f ′ (t)2 , F = t1 · t2 = 0, G = t2 · t2 = f (t)2 ( ) ) ( ( ) 1 + f ′ (t)2 0 1/ 1 + f ′ (t)2 0 ij gij = , g = 0 f (t)−2 0 f (t)2 • El sistema de coordenadas propuesto es ortogonal ya que F = t1 · t2 = 0 ∀t y ∀θ. A partir de los resultados anteriores es inmediato calcular la base de vectores unitarios { } √ ˆt1 = t1 / 1 + f ′ (t)2 , ˆt2 = t2 /f (t) M´etodos Matem´aticos IV

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que en este caso es ortonormal, ya que la base del espacio tangente {t1 , t2 } era ortogonal. Tambi´en podemos calcular f´acilmente la relaci´on entre las componentes hol´ onomas y las componentes f´ısicas de cualquier campo tensorial definido sobre esta variedad, as´ı como realizar la operaci´on de subida y bajada de ´ındices. Problema 2. Calcule la curvatura y torsi´on de las l´ıneas coordenadas. • Curvatura de las l´ıneas coordenadas θ = cte: Debemos tener en cuenta que las curvas θ = cte no est´an descritas en t´erminos del par´ametro longitud de arco, por tanto el vector tangente unitario es {f ′ (t) cos θ, f ′ (t) sen θ, 1} t1 √ = ∥t1 ∥ 1 + f ′ (t)2

El vector de curvatura es k=

f ′′ (t) 1 d t1 = {cos θ, sen θ, −f ′ (t)} ∥t1 ∥ dt ∥t1 ∥ (1 + f ′ (t)2 )2

( )3/2 y la curvatura es k = |f ′′ (t)| / 1 + f ′ (t)2 .

• Curvatura de las l´ıneas coordenadas t = cte: Similarmente al caso anterior, el vector tangente unitario es t2 = {− sen θ, cos θ, 0} ∥t2 ∥ el vector de curvatura es k=

1 d t2 {cos θ, sen θ, 0} =− f (t) ∥t2 ∥ dθ ∥t2 ∥

y la curvatura es k = 1/f (t) tal y como cab´ıa esperar, ya que por definici´on el radio de curvatura de estas l´ıneas es f (t). • Ambos conjuntos de l´ıneas coordenadas son curvas planas, por tanto la torsi´on en ambos casos es nula. Problema 3. Indique el n´ umero de s´ımbolos de Christoffel Γkij (sin tener en cuenta relaciones de simetr´ıa como Γkij = k ) que empleamos para calcular derivadas sobre esta variedad. Γji Calcule los s´ımbolos de Christoffel Γkij de esta variedad en el sistema de coordenadas indicado. k con i, j, k = 1, 2. • Al ser una variedad bidimensional existen 8 s´ımbolos de Christoffel, dados por Γij Sus valores son:

Γ111 =

f ′ (t)f ′′ (t) , 1 + f ′ (t)2

Γ122 = −

f (t)f ′ (t) , 1 + f ′ (t)2

2 = Γ212 = Γ21

f ′ (t) f (t)

todos los restantes son nulos. Problema 4. Dado un m´ovil que se desplaza sobre esta superficie con velocidad v = t1 + t2 ¿es constante la velocidad de este m´ovil? razone su respuesta. Calcule su aceleraci´on en caso contrario. • Tenemos un m´ovil con velocidad v = t1 + t2 , esto implica que las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas de este m´ovil son dt/dλ = dθ/dλ = 1 y d 2 t/dλ2 = d 2 θ/dλ2 = 0 (donde hemos empleado λ para denotar el tiempo). Teniendo esto en cuenta el vector aceleraci´on de este m´ovil es (desde un punto de vista intr´ınseco) ( 1 ) ) ( 2 2 1 a = Γ11 t2 + Γ212 + Γ221 + Γ22 + Γ12 + Γ121 + Γ122 t1 + Γ11 M´etodos Matem´aticos IV

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k A partir de la tabla de valores de Γij calculada en el ejercicio anterior encontramos

a = f ′ (t)

f ′ (t) f ′′ (t) − f (t) t2 t1 + ′ 2 f (t) 1 + f (t)

Por tanto la aceleraci´on de este m´ovil s´olo es nula si f ′ (t) = 0, es decir, si la funci´on f (t) es una constante, en caso contrario la velocidad del m´ovil no es constante. Es interesante darse cuenta de que si f ′ (t) = 0 entonces la superficie considerada se reduce a un cilindro, y en ese caso el m´ovil considerado s´olo tiene aceleraci´on en la direcci´on normal a la superficie, pero desde un punto de vista intr´ınseco su aceleraci´on es nula. Es importante darse cuenta de que tanto el vector velocidad como el vector aceleraci´on considerados aqu´ı son los medidos desde la variedad de manera intr´ınseca, es decir, sin considerar nada externo a la propia variedad. Desde un punto de vista extr´ınseco, sin embargo, si consideramos que esta variedad est´a inmersa en un espacio vectorial de dimensi´on superior ( 3 en este caso), tendremos que el vector aceleraci´on tiene una tercera componente perpendicular a la variedad considerada, dada por la aceleraci´on centr´ıpeta, cuyo valor en general es distinto de cero. Problema 5. Calcule el vector normal unitario y la segunda forma fundamental de esta superficie. • El vector normal unitario es

N=

y la segunda forma fundamental

Problema 6.

L = −√

{− cos θ, − sen θ, f ′ (t)} √ 1 + f ′ (t)2

f ′′ (t) , 1 + f ′ (t)2

M = 0,

N=√

f (t) 1 + f ′ (t)2

Calcule las curvaturas gaussiana y media de esta superficie. Explique de manera razonada las condiciones que deben cumplirse para que un punto de esta superficie sea parab´olico, el´ıptico o hiperb´olico (respectivamente). • Calculamos en primer lugar los determinantes de la primera forma fundamental ) ( EG − F 2 = f 2 (t) 1 + f ′ (t)2 y de la segunda forma fundamental

LN − M 2 = −

f (t)f ′′ (t) 1 + f ′ (t)2

una vez hecho esto calculamos: Curvatura media 1 + f ′ (t)2 − f (t)f ′′ (t) EN + GL − 2F M = H= 2 3/2 2 (EG − F ) 2f (t) (1 + f ′ (t)2 ) Curvatura de Gauss K=

LN − M 2 f ′′ (t) =− 2 2 EG − F f (t) (1 + f ′ (t)2 )

• En general, la discusi´on de casos parab´ olico, el´ıptico o hiperb´ olico depende del signo de la curvatura de Gauss, que es igual al signo del determinante de la segunda forma fundamental, dado que la primera forma fundamental tiene siempre determinante positivo. Para la superficie en consideraci´on el signo de la curvatura de Gauss coincide con el signo de −f ′′ (t), por tanto todos los puntos donde f ′′ (t) = 0 son puntos parab´olicos, es decir, al menos una de las curvaturas principales se anula y la superficie es localmente (en un entorno peque˜ no alrededor del valor de t para el que f ′′ se anula) equivalente a un “tronco de cono” si en ese punto f ′ = 0, o a un cilindro si f ′ = 0. Los puntos donde f ′′ (t) > 0 son hiperb´olicos (es decir, las curvaturas principales M´etodos Matem´aticos IV

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tienen signos opuestos) y los puntos donde f ′′ (t) < 0 son el´ıpticos (ambas curvaturas principales tienen el mismo signo). Es interesante observar que estos resultados son independientes de la coordenada θ, tal y como cab´ıa esperar al tratarse de una superficie de revoluci´on. Problema 7. Explique de manera razonada las condiciones que deben cumplirse para que sean geod´esicas las l´ıneas coordenadas s = cte y θ = cte. • A partir de los resultados anteriores es inmediato calcular que la curvatura geod´esica de las curvas θ = cte es nula. Por tanto para la superficie en consideraci´on las l´ıneas coordenadas de t (los “meridianos” de la superficie) siempre son curvas geod´esicas, en todos los puntos de la superficie y para cualquier funci´on f (t). Una forma especialmente interesante de darse cuenta de este resultado es expresando el vector de curvatura de {las l´ıneas }coordenadas θ = cte (que llamaremos k1 ) en t´erminos de la base ortonormal dada por ˆt1 , ˆt2 , N , el resultado es: k1 = −

f ′′ (t)

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(1 + f ′ (t)2 )

N

• En cuanto a las l´ıneas coordenadas√ correspondientes a t = cte (los “paralelos” de la superficie) su curvatura geod´esica es −f ′ (t)/f (t) 1 + f ′ (t)2 , de modo que estas curvas solo son geod´esicas en los m´aximos y m´ınimos locales del radio (distancia al eje z) de la superficie, es decir, para aquellos valores de t para los que f ′ (t) = 0, independientemente del valor de θ. Para darse cuenta de este resultado podemos expresar el vector de curvatura de las l´ıneas t = cte (k2 ) en t´erminos de la base } { ortonormal ˆt1 , ˆt2 , N : k2 = −

1 f ′ (t) ˆt1 + √ √ N ′ 2 f (t) 1 + f (t) f (t) 1 + f ′ (t)2

por tanto estas curvas s´olo son geod´esicas si f ′ (t) = 0. Problema 8.

Consideremos un fluido confinado a esta superficie. Por definici´on la velocidad de dicho fluido pertenece al plano tangente y por tanto puede escribirse como v = v1 t1 + v2 t2 . Si suponemos que dicho fluido es incompresible, su ecuaci´on de continuidad estar´a dada por ∇ · v = 0. Escriba esta ecuaci´on en t´erminos de las coordenadas generalizadas t y θ . • La divergencia de un campo de velocidades v definido sobre esta variedad es 1 ∂ (√ i ) ∇ · v = vi;i = √ gv g ∂y i

que en este caso se simplifica a

) ∂v 2 √ 1 ∂ ( 1 √ = f (t) 1 + f ′ (t)2 v1 + ∇·v = f (t) ∂θ f (t) 1 + f ′ (t)2 ∂t

[

) ∂ˆ v2 ∂ ( f (t)ˆ v1 + √ ∂θ 1 + f ′ (t)2 ∂t 1

]

donde la ´ultima igualdad est´a escrita en componentes f´ısicas, dadas por: √ vˆ1 = 1 + f ′ (t)2 v1 , vˆ2 = f (t)v2

La ecuaci´on de continuidad ∇ · v = 0 queda finalmente como √

) ∂ˆ v2 ∂ ( 1 =0 f (t)ˆ v1 + ′ ∂θ 1 + f (t)2 ∂t

Por ejemplo, en el caso de un flujo axisim´etrico (∂θ = 0) la condici´on de incompresibilidad se reduce a f (t)ˆ v1 = cte. M´etodos Matem´aticos IV

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Problema 9. Dado el campo de velocidades v del ejercicio anterior determine la forma que toma en el presente sistema de coordenadas la condici´on de flujo irrotacional, dada por ∇ × v = 0. Para ello deber´a extender la definici´on del anterior campo de velocidades al espacio 3 , lo cual puede hacerse por medio v ≡ v1 t1 + v2 t2 + v3 N , donde N es el vector unitario normal a la superficie y donde la tercera componente de v est´a dada por v3 ≡ 0, ∀t y ∀θ . • Para calcular el rotacional del campo de velocidades tenemos que considerar la variedad desde el punto de vista extr´ınseco, como un sub-conjunto de 3 . Sin embargo no es necesario extender las definiciones del campo vectorial v y el sistema de coordenadas a todo 3 , sino que nos basta con hacer esto en un entorno infinitesimal alrededor de la superficie, ya que solo vamos a evaluar ∇ × v sobre la propia superficie. Teniendo esto en cuenta definimos el tercer vector de la base como N (tal y como indica el enunciado) y la tercera coordenada generalizada, y3 , como la distancia recorrida en la direcci´on normal a la superficie (es decir, en la direcci´on de N ). Como indic´abamos antes solo es necesario definir esta tercera componente en un entorno diferencial alrededor de la superficie, es decir, los valores posibles de y3 se reducen al intervalo y3 ∈ [−dy, una simplificaci´on importante, { +dy]. Esto supone } ya que extender el sistema de coordenadas y1 = t, y 2 = θ, y 3 a todo 3 podr´ıa ser complicado dependiendo de la forma de la superficie, la cual de momento no ha sido especificada (solo sabemos que tiene simetr´ıa de revoluci´on). Parametrizamos entonces el espacio 3 en un entorno infinitesimal alrededor de la superficie de acuerdo a r = f (t) cos θ i + f (t) sen θ j + t k + y3 N siendo N el vector normal unitario a la superficie calculado previamente. Con esto las coordenadas y1 = t e y2 = θ especifican el punto de la superficie donde nos encontramos (cuyas coordenadas cil´ındricas son r = f (t), z = t y θ) y la tercera coordenada (y3 ∈ [−dy, +dy]) representa la “altura” sobre dicho punto de la superficie. De acuerdo a esta parametrizaci´on la base natural est´a dada por los vectores t1 , t2 y N . Es evidente que esta base es ortogonal en todos los puntos, siendo los factores de escala [

h1 = 1 + f ′ (t)2 + y3 f ′′ (t) h2 =

√ f (t) 1 + f ′ (t)2 − y3 √ 1 + f ′ (t)2

(

y3 f ′′ (t) 2 √ + 2 1 + f ′ (t)2 (1 + f ′ (t)2 )

)]1/2

h3 = 1

que evaluados sobre la superficie (y3 = 0) se reducen a √ h1 = 1 + f ′ (t)2 , h2 = f (t),

h3 = 1

Para calcular el rotacional de v aplicamos

1 ϵijk √ [(v3;2 − v2;3 ) t1 − (v3;1 − v1;3 ) t2 + (v2;1 − v1;2 ) t3 ] ∇×v = εijk vk;j ti = √ vk;j ti = g f (t) 1 + f ′ (t)2

√ donde hemos evaluado g en y3 = 0. Para evaluar la anterior expresi´on es interesante observar que, debido a la simetr´ıa de los Christoffel, se cumple: vi;j − vj;i = vi,j − vj,i . En esta ecuaci´on aparecen derivadas de la velocidad respecto de la coordenada normal a la superficie (y3 ). En principio el campo de velocidades v solo est´a definido sobre la superficie (es decir, en y3 = 0), de modo que para calcular estas derivadas es necesario “extender” la definici´on de v a un entorno infinitesimal alrededor de la superficie. La manera menos arbitraria de realizar esta extensi´on es

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por medio del transporte paralelo del vector v en la direcci´on de la normal a la superficie, es decir imponemos que vi;3 = 0 con i = 1, 2, 3: ∂v1 − vk Γk13 = 0 ∂y 3 ∂v2 = 3 − vk Γk23 = 0 ∂y ∂v3 = 3 − vk Γk33 = 0 ∂y

v1;3 =

con

y3 ∈ [−dy, +dy ]

v2;3

con

y3 ∈ [−dy, +dy ]

con

y3 ∈ [−dy, +dy ]

v3;3

Este conjunto de ecuaciones, junto con las condiciones iniciales dadas por los valores conocidos de vi sobre la superficie (incluyendo v3 = 0 en y3 = 0), permite calcular la extensi´on del campo v a un entorno infinitesimal alrededor de la superficie. En nuestro caso este sistema nos permite despejar las derivadas respecto a y3 que aparecen en la expresi´on del rotacional de v . Sustituyendo las condiciones anteriores y recordando que v3 es nulo en la superficie encontramos [ ( ) ] 1 ∂v1 ∂v2 k √ −vk Γk32 t1 + vk Γ31 ∇×v = t + N − 2 ∂t ∂θ f (t) 1 + f ′ (t)2 Para completar el c´alculo necesitamos los s´ımbolos de Christoffel Γk3j con j, k = 1, 2, evaluados sobre la superficie. Derivando los factores de escala hi y sustituyendo posteriormente y3 = 0 encontramos 1 = Γ11

f ′ (t)f ′′ (t) , 1 + f ′ (t)2

2 Γ212 = Γ21 3 Γ11 = −√

f ′′ (t)

1 = Γ113 = Γ31

3/2 f ′ (t)2 )

(1 + f ′ (t) = , f (t)

Γ122 = −

,

2 =− Γ223 = Γ32

f ′′ (t) , 1 + f ′ (t)2

f (t)f ′ (t) 1 + f ′ (t)2

1 √ f (t) 1 + f ′ (t)2

3 =√ Γ22

f (t) 1 + f ′ (t)2

siendo nulos los restantes. A partir de este resultado llegamos finalmente a [ ( ) ] ∂v1 ∂v2 v1 f ′′ (t) v2 1 N − ∇×v = √ t1 + √ t + 3/2 2 ∂θ ∂t f (t) 1 + f ′ (t)2 f (t) 1 + f ′ (t)2 (1 + f ′ (t)2 ) que en componentes f´ısicas puede escribirse como ∇×v =

vˆ2 √ f (t) 1 + f ′ (t)2

ˆt1 +

vˆ1 f ′′ (t)

1 ˆt + 3/2 2 ′ 2 f (t) (1 + f (t) )

(

) ) ∂ˆ 1 v1 ∂ ( 2 √ N f (t)ˆ v − ∂θ 1 + f ′ (t)2 ∂t

donde se ha tenido en cuenta que las componentes f´ısicas covariantes de v coinciden con las contravariantes (ˆ vi = vˆi ), dado que el sistema de coordenadas empleado es ortogonal en todos los puntos de la superficie. Como puede verse el rotacional de v contiene una parte en la direcci´on de la normal (N ) y otra en el plano tangente (proporcional a tˆ1 y ˆt2 ). La parte de ∇ × v contenida en el plano tangente describe giros impuestos en el campo de velocidades por la curvatura de la propia superficie en 3 . Desde el punto de vista de un observador que mide sobre la superficie si el campo de velocidades v gira sobre s´ı mismo solo es relevante la componente de ∇ × v seg´ un la normal, de modo que desde el punto de vista intr´ınseco la condici´on de flujo irrotacional se reduce a (∇ × v) · N = 0, que en nuestro caso queda como ) ∂ˆ v1 ∂ ( 1 =0 f (t)ˆ v2 − √ ∂θ 1 + f ′ (t)2 ∂t

Tambi´en es interesante observar que las componentes de ∇ × v seg´un t1 y t2 dependen de la forma espec´ıfica que decidamos emplear para extender la definici´on de v a un entorno infinitesimal alrededor de la superficie. En el c´alculo anterior hemos decidido hacer esto por medio de vi;3 = 0, M´etodos Matem´aticos IV

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que parece la elecci´on menos arbitraria. Sin embargo, si realizamos esta extensi´on por medio de las condiciones vi,3 = 0, i = 1, 2, 3 llegamos directamente a ) ( ) ∂ˆ ∂ ( 1 1 v1 2 ∇×v = √ N f (t)ˆ v − ∂θ f (t) 1 + f ′ (t)2 ∂t

que es la parte relevante desde el punto de vista intr´ınseco. Las condiciones vi,3 = 0, i = 1, 2, 3 son mas arbitrarias que vi;3 = 0 ya que vi,3 = 0 depende del sistema de coordenadas generalizadas empleado, mientras que al imponer vi;3 = 0, i = 1, 2, 3 lo que estamos haciendo para extender la definici´on de v a un entorno diferencial alrededor de la superficie es transpotar de manera paralela a s´ı mismo al campo de velocidades v, independientemente del sistema de coordenadas empleado para describir la superficie.

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