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EJEMPLO'1:'' ! Dibujar! los! diagramas! de! fuerzas! internas! (fuerza! axial,! fuerza! cortante! y! momento! flector)!para!el!pórtico!mostrado!en!la!figura.!No!tenga!en!cuenta!el!peso!propio!de!los! elementos.! !

! ! SOLUCIÓN:' ! a) Cálculo!de!reacciones!en!los!apoyos:! ! Por! la! configuración! de! los! apoyos,! se! deben! determinar! 3! reacciones,! por! lo! que! las! ecuaciones! de! equilibrio! son!suficientes!(estructura! estáticamente! determinada).! Las! líneas!punteadas!mostradas!en!la!figura!corresponden!a!las!fuerzas!resultantes!de!las! cargas!distribuidas,!aplicadas!en!el!centroide!de!la!distribución.! !

! ! ! ! ! !

!

b) Diagrama!de!cuerpo!libre!de!cada!nudo!y!elemento:!!! ! Siguiendo! el! mismo! procedimiento! visto! en! clase,! “desarmamos”! la! estructura! y! aislamos! todos! sus! nudos! y! elementos.! ! En! el! diagrama! mostrado! a! continuación! se! muestran!todas!las!fuerzas!y!momentos!calculados!en!los!extremos!de!los!elementos;! el!procedimiento!usado!se!muestra!en!los!párrafos!siguientes.!! ! Se! comienza! equilibrando! el! nudo! A! y! las! fuerzas! se! trasladan! al! extremo! A! del! elemento!AB!(de!acuerdo!a!la!tercera!ley!de!Newton).! ! !

! ! A! continuación! se! plantean! ecuaciones! de! equilibrio! en! el! elemento! AB! para! determinar!las!fuerzas! en!el!extremo! B!del!mismo,! sin!olvidar!la! carga!externa!de! 15! KN/m!actuante!sobre!el!mismo:!

! ! Estas!fuerzas!determinadas!en!el!extremo!B!del!elemento!AB!se!trasladan!al!extremo! inferior!del!nudo!B,! siguiendo!tercera! ley!de! Newton.! Luego! se!hace!el!equilibrio!del! nudo,!colocando!las!fuerzas!y!momentos!necesarios!en!el!extremo!superior!del!mismo! nudo! y! esas! fuerzas! se! trasladan! al! extremo! B! del! elemento! BC.! Debido! a! que! el! cortante! en! el! extremo! B! del! elemento! AB! es! igual! a! cero,! no! hay! fuerza! horizontal! para!trasladar!al!elemento!BC.! ! Se!plantean!ecuaciones!de!equilibrio!en!el!elemento!BC!para!determinar!las!fuerzas!en! el! extremo! C! del! mismo,! sin! olvidar! la! carga! externa! de! distribución! triangular! de! actuante!sobre!el!mismo:! ! !

! ! Estas!fuerzas!determinadas!en!el! extremo!C!del!elemento! BC!se!trasladan!al! extremo! izquierdo!del!nudo!C,!siguiendo!tercera!ley!de!Newton.!Luego!se!hace!el!equilibrio!del!

nudo,!colocando!las!fuerzas!y!momentos!necesarios!en!el!extremo!inferior!del!mismo! nudo!y!esas!fuerzas!se!trasladan!al!extremo!C!del!elemento!CD.!Notar!que!en!este!caso,! tampoco!hay!fuerza!horizontal!para!trasladar,!pues!el!elemento!BC!no!esta!sometido!a! fuerzas!axiales.! ! Se!plantean!ecuaciones!de!equilibrio!en!el!elemento!CD!para!determinar!las!fuerzas!en! el!extremo!D!del!mismo,!sin!olvidar!la!carga!y!el!momento!externo!puntual!actuantes.! Notar!que!al!hacer!equilibrio!de!fuerzas!verticales,!la!fuerza!vertical!determinada!en!el! extremo!D!del!elemento!coincide!con!la!reacción!vertical!en!el!apoyo!D,!con!lo!cual!se! comprueba!el!equilibrio!de!la!estructura!ante!cargas!verticales.!Además,!se!sabe!que!el! momento!en! el! extremo! D! de!ese! elemento! debe! ser!igual! a! cero! por! la!condición! de! apoyo.!!! ! !

! ! ! c) Determinación!de!la!fuerza!axial!y!cortante!en!el!elemento!CD:! ! Por!definición,!la!fuerza!axial!corresponde!a!la!fuerza!interna!actuante!en!la!dirección! longitudinal! del! elemento;! por! otra! parte,! la! fuerza! cortante! corresponde! a! la! fuerza! interna!actuante! en! dirección! perpendicular!del! eje! longitudinal! del! elemento.!Por!lo! tanto,! las! fuerzas! verticales! determinadas! en! el! equilibrio! anterior! para! el! elemento! CD,!no!corresponden!a!la!fuerza!axial!ni!cortante!de!ese!elemento.!! ! Así,! se! hace! necesario! descomponer! las! fuerzas! determinadas! en! los! extremos! del! elemento,!al!igual!que!la!fuerza!externa!aplicada,!en!componentes!que!vayan!dirigidas!

en! sentido! paralelo! (fuerzas! identificadas! con! la! letra! N! en! cada! punto)! y! perpendicular! (fuerzas! identificadas! con! la! letra! V! en! cada! nudo)! al! eje! longitudinal! del!elemento.!Este!procedimiento!se!hace!por!simple!geometría:! !

! ! !

!

d) !

Diagramas!de!fuerzas!internas:!

! Como!se!puede!ver!en!el!diagrama!anterior,!y!en!el!diagrama!de!cuerpo!libre!de!los! elementos,!el!elemento!AB!se!encuentra!a!compresión!de!magnitud!13.05!KN;!el! elemento!BC!tiene!una!fuerza!axial!igual!a!cero.!Por!otra!parte,!la!fuerza!axial!en!el! elemento!CD!varía,!comienza!en!el!extremo!C!con!una!magnitud!de!21.56KN,!en!el! punto!C’!pasa!a!33.56KN!(aumenta!12KN,!por!efecto!de!la!carga!externa!aplicada!en! ese!punto)!y!continúa!constante!con!ese!valor!hasta!el!extremo!D.!! !

!

! ! De! acuerdo! al! diagrama! anterior! y! basados! en! las! direcciones! de! las! fuerzas! determinadas!en!los!diagramas!de!cuerpo!libre,!el!elemento!AB!se!encuentra!sometido! a!una!fuerza!cortante!positiva!(en!el!diagrama!de!cuerpo!libre!del!elemento!se!ve!que! la!fuerza!cortante!hace!girar!el!elemento!en!sentido!horario)!con!magnitud!máxima!de! 60KN!en!el!extremo!A,!que!varía!linealmente!(consistente!con!la!distribución!de!carga)! hasta! un! valor! de! cero! en! el! extremo! B,! de! acuerdo! con! el! diagrama! de! cuerpo! libre!

(notar! que! ese! mismo! valor! de! cortante! en! B! se! obtiene! si! se! usa! la! relación! entre! carga!y!variación!de!fuerza!cortante!entre!dos!puntos).!! ! En!el!extremo!B!del!elemento!BC!la!fuerza!cortante!es!de!13.05KN!positiva,!pues!se!ve! en! el! diagrama! de! cuerpo! libre! que! hace! girar! el! elemento! en! sentido! horario;! en! el! extremo! C! de! ese! mismo! elemento! la! fuerza! cortante! es! de! 26.95KN! negativa,! pues! según!el!diagrama!de!cuerpo!libre!hace!girar!el!elemento!en!sentido!antihorario!(notar! que! este! mismo! valor! de! cortante! se! obtiene! si! se! usa! la! relación! entre! carga! y! variación! de! fuerza! cortante! entre! dos! puntos).! ! La! concavidad! del! diagrama! se! determina!fácilmente! si!se!tiene! en!cuenta! la!relación! que!hay! entre!la! pendiente!del! diagrama! de! fuerza! cortante! y! la! carga! aplicada:! en! el! extremo! B! arranco! con! pendiente! cero! y! termino! en! alta! pendiente! en! el! extremo! C.! La! ordenada! donde! el! valor! del! cortante! se! hace! cero,! se! calcula!a! partir! de! la! ecuación! de! fuerza! cortante! para!el!elemento:! !

!

!

!

Para! el! elemento! CD! la! fuerza! cortante! (perpendicular! al! eje! longitudinal! del! elemento)! varía! a! lo! largo! del! mismo.! Comienza! en! el! extremo! C! con! un! valor! de! 16.17KN!negativo,! pues! según! el! diagrama!de! cuerpo! libre! hace! girar!el! elemento! en! sentido! antihorario.! Luego! aumenta! a! 25.17KN! por! efecto! de! la! componente!! perpendicular! de! la! carga! externa! aplicada! (aumenta! 9KN);! esta! fuerza! cortante! también! es! negativa! pues! como! se! ve! en! el! diagrama! de! cuerpo! libre! hace! girar! el! elemento!en! sentido!antihorario.!En!el!diagrama!de! fuerza!cortante!son!indicadas!las! áreas!usadas!para!calcular!las!magnitudes!del!diagrama!de!momento!flector.! !

! ! El! momento! flector! para! el! elemento! AB! varía! ! a! lo! largo! del! mismo,! siguiendo! una! distribución! parabólica.! Para! el! elemento! BC! la! variación! del! momento! flector! debe! seguir! una! función! polinomica! de! tercer! grado,! con! punto! de! inflexión! (o! máximo! local)! en! el! mismo! punto! donde! el! cortante! se! hace! cero! (X=2.28m).! El! valor! del! momento! en! es! punto! se! calcula! a! partir! de! la! ecuación! de! momentos! para! ese! elemento! (se! usa! el! mismo! diagrama! de! cuerpo! libre! dibujado! para! determinar! la! ecuación!de!fuerza!cortante):! !

!

! ! La! variación! del! momento! flector! en! el! elemento! CD! es! lineal,! con! una! variación! abrupta!en!el!punto!donde!se!encuentra!el!momento!externo!aplicado.! ! ! ! !...