Ejercicios Sobre Medidas DE Tendencia Central PDF

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COMPENDIO DE EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, TE SERÁN DE MUCHA UTILIDAD PARA LA RESOLUCIÓN DE OTROS EJERCICIOS SIMILARES....

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PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ

EJERCICIOS SOBRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Indicaciones generales. En cada uno de los ejercicios. a) Calcular la media, la moda y la mediana. Interpretar cada estadístico. 1.- The Snow comercializa botas para esquiar en San Luis Obispo, California. De los últimos 100 pares vendidos, 4 eran talla 9, 33 talla 9 ½, 26 talla 10, 29 talla 10 ½ y 8 eran talla 13. Haz comentarios sobre el uso de la media, la mediana y la moda como medidas de tendencia central y el uso de cada una en la toma de decisiones sobre los tamaños que se deben tener en cada inventario. Calcula cada medida. 9 9 9 9 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 13 13 13 13 13 13 13 13 Talla Frecuencia Porcentaje 9 4 36 4% 9.5 33 313.5 33% 10 26 260 26% 10.5 29 304.5 29% 13 8 104 8% 100 1018 100%

8%

4% 33%

29%

26%

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ

Tallas más vendidas 35 30

VENTA

25 20 15 10 5 0 9

9.5

10

10.5

13

TALLAS

Media: μ=Ʃ100 100 μ= 1018 100 μ=10.18 Media= 10.18≈10, redondeado, en promedio la talla más vendida es la 10. Mediana= 100+1= 101/2= 50.5, por lo que la mediana se ubica entre la posición 50 y 51, entonces tenemos 10+10= 20/2= 10, ya que el número de datos es par, por lo tanto se toman los datos centrales que son 10 y 10, se dividen entre dos, y el resultado es 10, por lo que la mediana es 10. Moda= 9.5, puesto que los pares que más se vendieron, fueron los de la talla 9 ½ Interpretación: En este caso, no existe mucha dispersión entre los estadísticos por lo que la media y la mediana son medidas que pueden ayudar a tomar una decisión adecuada sobre las tallas que se deben tener en el inventario. La media es la medida de tendencia central, generalmente más usada y tiene la característica que incorpora todos los datos de la variable en su cálculo por lo tanto su valor suele ser más estable. Además se suele preferir en la construcción de pruebas de hipótesis, en la estadística inferencial. La mediana por su parte suele ser la medida preferida cuando se emplea una escala ordinal, estas son las situaciones donde el valor asignado a cada caso no tiene otro significado más que el indicar el orden entre los casos. También se suele preferir la mediana cuando unos pocos valores extremos distorsionan el valor del promedio. Por ejemplo si tengo 9 personas con 0 ingresos y uno sola que tiene ingresos de 10 unidades, el promedio me puede dar a entender que la mayoría recibe 1 unidad, cuando esto no es real.

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ La moda en ciertas condiciones puede ser la más apropiada, por ejemplo cuando se quiere información rápida y cuando la precisión no sea un factor especialmente importante. En ciertos casos solo esta medida tiene sentido por ejemplo en un equipo de fútbol llevo la estadística por jugador (escala ordinal) de la cantidad de pases que realiza por juego, esto para detectar quien es el que mejor distribuyendo la pelota, en este caso la media y la mediana no tendrían significado, solo la moda. 2.- Debido a que las tasas de interés cayeron a comienzos de 1997, se encontró que una muestra de las tasas hipotecarias para hipotecas a 15 años de las instituciones de crédito en Peoria, Illinois era 7.1%, 7.3%, 7.0%, 6.9%, 6.6%, 6.9%, 6.5%, 7.3%, 6.85%. a) Calcula e interpreta la moda, la moda y la mediana. Los datos arrojados por cada uno de los estadísticos indican que no existe mucha dispersión entre estos, puesto que entre la media y la media no existe una diferencia significativa, por lo que son medidas con las cuales se puede tomar una decisión acertada. b) ¿Esos datos están sesgados a la izquierda, a la derecha, o están distribuidos normalmente? Los datos están sesgados hacia la derecha según el grafico de barras. 7.1 7.3 7 6.9 6.6 6.9 6.5 7.3 6.85 Ordenados 6.5 6.6 6.85 6.9 6.9 7 7.1 7.3 7.3 Media: μ=Ʃ9 9 μ=62.45 9 μ=6.93 Media= 6.93, en promedio las tasas de interés hipotecario de las muestras analizadas corresponde a 6.93%. Mediana= 9+1=10/2= 5, por lo tanto la mediana se ubica en la posición 5 del conjunto de datos ordenados, entonces la mediana es 6.9, ya que este es el valor central del conjunto de datos.

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ Moda= 6.9 y 7.3, existen dos datos que se repiten con mayor frecuencia, por lo tanto ambas son modas, y en este caso no aportan un valor de gran utilidad para el análisis de los datos.

Tasas de interés de crédito hipotecario

FRECUENCIA

2.5

3.- Una encuesta de instituciones de crédito en un

TASAS DE INTERÉS DE CRÉDITO HIPOTECARIO 6.5 7.3 22%

2

11%

1.5 1

7.1 11%

0.5 0 6.5 6.6 6.85 6.9

7

7.1 7.3

TASAS DE INTERÉS

7 11%

6.6 11% 6.85 11%

6.9 23%

centro urbano cerca de Peoria (ver problema anterior) reveló tasas de interés de crédito hipotecario de: 7.1%, 7.3%, 6.3%, 6.7%, 6.8%, 6.85%, 7.5% a) ¿Las tasas de crédito hipotecario son más altas en Peoria o en otros centros urbanos? Según la media aritmética, nos indica que la tasa de interés de crédito hipotecario es la misma, tanto para Peoria como para los demás centros urbanos. b) ¿Cuál ciudad parece tener las tasas de interés más consistentes entre las instituciones? Tomando como referencia las medidas de tendencia central arrojadas, puedo inferir que todas las instituciones tienen consistencia en el porcentaje de las tasas de interés, puesto que no existe mucha dispersión entre los datos dados. 7.1% 7.3% 6.3% 6.7% 6.8% 6.85% 7.5% Ordenados 6.3 6.7 6.8 6.85 7.1 7.3 7.5 Media: μ=Ʃ7 7 μ=48.55 7 μ=6.93 Por lo tanto la media es de 6.93% en las tasas de interés de los centros urbanos analizados. Mediana= 7+1=8/2=4, entonces la mediana se ubica en la posición 4, por lo tanto es 6.85. La moda equivale al valor más frecuente, por lo que en este conjunto de datos no existe una moda, ya que los valores presentan la misma frecuencia.

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ 4.- Alan Munday fabrica una pintura sellante para automóviles en el área de Denver. Él utiliza cuatro químicos diferentes en el proceso de producción. Para hacer su producto, Munday debe utilizar 2 galones de calcimina que cuesta US $2.50 el galón, ½ galón de kalsolita a US $1.25 por galón, 1 galón de aglutinante que cuesta US $0.75 el galón, y 3 galones de aceite secante a US $2.00 por galón. Calcula el costo de un galón sellante. 2 2.5 0.5

0.625

1

0.75

3

2

Ordenados 0.625 0.75

2

2

2

2.5

2.5

Media: μ=Ʃ7 7 μ=12.375 7 μ=1.76 Media= 1.76, por lo que el costo promedio de un galón sellante es $1.76. Mediana = 7+1=8/2=4, el dato ubicado en la posición 4 equivale a la mediana, por lo tanto esta es 2. Moda= El dato más frecuente dentro del conjunto de datos es 2, por lo tanto esta es la moda. 5.- La emisión de la revista Business Week del 31 de mayo de 1997 reportó que el número de transacciones en miles de millones de dólares realizadas en las instalaciones bancarias de la nación ATM fueron: 1991 3.9 1994 4.5 1992

4.1

1995

6.5

1993

4.3

1996

6.5

La industria bancaria intenta prepararse para 8 miles de millones de transacciones para el año 1998. ¿Será suficiente para manejar el nivel de actividad que usted pronostica para ese año? Según la media aritmética, los 8 miles de millones que predice la industria bancaria serán suficientes para su actividad comercial, ya que la media indica un valor de 4.96, mientras que la moda un valor 6.5, por lo que se infiere que ambos valores al ser menores a lo previsto, indican que las predicciones son adecuadas.

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ

TRANSACCIONES EN MILES DE MILLONES DE DÓLARES 7 6 5 4 3 2

3.9

4.1

4.3

4.5

1991

1992

1993

1994

6.5

6.5

1995

1996

TRANSACCIONES EN MILES DE MILLONES DE DÓLARES

1 0

Media: μ=Ʃ6 6 μ=29.8 6 μ=4.96 Media= El promedio de las transacciones realizadas durante los seis años es de 4.96 miles de millones de dólares. Mediana = 6+1=7/2=3.5, en este caso hay dos valores centrales, por lo que suma y promedio es: 4.3+4.5=8.8/2= 4.4. Por lo tanto la mediana es 4.4 miles de millones de dólares. Moda= 6.5, es el dato con mayor frecuencia dentro de este conjunto de datos, por lo que representa a la moda. En este caso, dos medidas representativas para la toma de decisiones serían la media y la mediana, aunque esta última solo aplicaría para las medidas ordinales. 6.- The Noah Fence Company vende cuatro tipos de cercas a los barrios residenciales de las afueras de la ciudad. El grado A le cuesta a Noah US $5.00 por pie lineal de instalación, el grado B cuesta US $3.50, el grado C cuesta US $2.50, y el grado D cuesta US $2.00. Ayer, Noah instaló 100 yardas del grado A, 150 del grado B, 75 yardas del grado C y 200 yardas del grado D. ¿Cuál fue el costo promedio de instalación por pie lineal? GRADO PRECIO POR PIE FRECUENCIA Xi.Fi A 5 100 500 B 3.5 150 525 C 2.5 75 187.5 D 2 200 400 Ʃ 13 525 1612.5 Cálculo de la media ponderada: Media= Xw= Ʃxw/Ʃw= 1612.5/525= 3.07

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ Respuesta= El costo promedio es de US $3.07 7.- Una muestra de los recibos de ventas semanales para Pig-In-A-Poke- Bar-B-Q está en cientos de dólares, 43.3, 54.2, 34.8, 42.9, 49.2, 29.5, 28.6 Se implementa un programa publicitario diseñado para emparejar las ventas. Una muestra subsiguiente de ventas es: 45.5, 39.5, 35.7, 36.7, 42.6, 42.14 ¿La campaña publicitaria logró su meta de suavizar las ventas semanales? De acuerdo a los resultados que se señalan en la parte inferior, las ventas no se lograron suavizar en su totalidad, ya que comparando los medias ambas corresponden al mismo valor. a) Ordenar los datos de menor a mayor. 28.6- 29.5- 34.8- 42.9- 43.3- 49.2- 54.2 Media= X= Ʃ(X)/n= 282.5/7=40.357, que corresponde al promedio de las ventas realizadas. Mediana= 7+1/2=8/2=4, la mediana se ubica en la posición 4, por lo que equivale a 42.9 Moda= Todos los valores tienen la misma frecuencia, por lo que no hay moda. b) Ordenar de menor a mayor. 35.7- 36.7- 39.5- 42.14- 42.6- 45.5 Media: X= Ʃ(x)/n = 242.14/6= 40.356, que corresponde al promedio de las ventas tras la aplicación del programa publicitario. Mediana: 6+1= 7/2= 3.5, la mediana está entre 29.5 y 42.6, por lo que el promedio de estos dos es: 39.5+42.14/2= 81.64/2= 40.82 Moda: Todos los valores se repiten una vez, por lo tanto no hay moda. 8.- Bill Kar compró 20 acciones a US $15 cada una, 50 acciones a US $20 cada una, acciones a US $30 cada una y 75 acciones a US $35 cada una. a) ¿Cuál es el monto total de su inversión? El monto total de la inversión es de US $ 6925 b) ¿Cuál es el precio promedio por acción? US $ 28.26 NÚMERO DE ACCIONES PRECIO POR ACCIÓN TOTAL 20 15 50 20 100 30 75 35 Ʃ 245 100

100

300 1000 3000 2625 6925

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ Media: μ=Ʃ245 245 μ=6925 245 μ=28.26 Media= 28.26, por lo que el precio promedio de una acción es US $28.26 Mediana: 245+1= 246/2= 123, la mediana se ubica en la posición 123 de los datos ordenados de menor a mayor, por lo que corresponde al dato 30. Moda: El dato que reporta mayor frecuencia es 30, por lo tanto, esta es la moda. Se puede apreciar que dos medidas que indican una misma tendencia son la moda y la mediana, sin embargo el promedio se encuentra disperso debido a la diferencia entre las acciones más baratas y las más caras. 9.- Las edades de cincuenta de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones de la nación reportadas en la edición de la revista Forbes de la edición del 24 de mayo de 1997, aparecen en la siguiente tabla de frecuencias. a) Calcula e interpreta la media, la mediana y la moda. Edades Frecuencias 50 y menos de 55 8 55 y menos de 60 13 60 y menos de 65 15 65 y menos de 70 10 70 y menos de 75 3 75 y menos de 80 1

Salario en miles de dólares 50 y menos de 55 55 y menos de 60 60 y menos de 65 65 y menos de 70 70 y menos de 75 75 y menos de 80 TOTAL

Frecuencia 8 13 15 10 3 1 50

Frecuencia acumulada 8 21 36 46 49 50

Punto medio 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5

F. M. 420 747.5 937.5 675 217.5 77.5 3075

MEDIA: Xg=ƩFm/n= 3075/50=61.5, la edad promedio de los directores es de 61.5 años.

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ MEDIANA:

Mediana= 60 + [(50/2-21)/15] 5 = 61.33 años. MODA:

Moda= 60 + [15-13/ (15-13) + (15-10)] (5)= 61.42 años La edad promedio de los directores es de 61.5, y no existe mucha variación con las otras dos medidas de tendencia central, por lo que las tres son estadísticos apropiados para realizar una inferencia. 10.- La misma edición de la Revista Forbes (que se vio en el problema anterior) también proporcionó datos sobre los salarios en miles de dólares. Resultó la siguiente tabla de frecuencias: Salario (en miles de dólares) Frecuencias 90 y menos de 440 9 440 y menos de 790 11 790 y menos de 1140 10 1140 y menos de 1490 8 1490 y menos de 1840 4 1840 y menos de 2190 3 2190 y menos de 2540 5 a) Calcula la media, la mediana y la moda. Interpreta tus respuestas. b) ¿Los salarios están tan dispersos como las edades del problema anterior? Efectivamente, según los resultados obtenidos a través de los estadísticos indican mucha dispersión. Salario en miles de dólares 90 y menos de 440 440 y menos de 790 790 y menos de 1140 1140 y menos de 1490 1490 y menos de 1840 1840 y menos de 2190

Frecuencia 9 11 10 8 4 3

Frecuencia acumulada 9 20 30 38 42 45

Punto medio 265 615 965 1315 1665 2015

F. M. 2385 6765 9650 10520 6660 6045

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ 2190 y menos 2540 TOTAL

5 50

50

2365

11825 53760

MEDIA: Xg=ƩFm/n= 53760/50=1077, en promedio los directores ganan un salario de $1077 dólares. MEDIANA:

Mediana= 790 + [(50/2 – 20)/10] 350 = 965 MODA:

Moda= 440+ [11-9/ (11-9) + (11-10)] (350)= 673.33 11.- Janna Vice utiliza dos máquinas diferentes para producir papeleras para las fotocopiadoras Kodak. Una muestra de las papeleras de la primera máquina midieron 12.2, 11.9, 11.8, 12.1, 11.9, 12.4, 11.3 y 12.3 pulgadas. Las bandejas elaboradas con la segunda máquina midieron 12.2, 11.9, 11.5, 12.1, 12.2, 11.9 y 11.8 pulgadas. Janna debe utilizar la máquina con la mayor consistencia en los tamaños de las papeleras. ¿Cuál máquina debe utilizar? Primera máquina: 12.2 Ordenados 11.3

11.9

11.8

12.1

11.9

12.4

11.3

12.3

11.8

11.9

11.9

12.1

12.2

12.3

12.4

Media: μ=Ʃ8 8 μ=95.8 8 μ=11.98, la media es igual 11.98 pulgadas. Mediana: 8+1=9/2= 4.5, la mediana se ubica entre 11.9 y 12.1, por lo tanto el promedio de estos dos valores es: 11.9+12.1= 24/2= 12. Moda: El valor que se repite más, es 11.9, por lo tanto corresponde a la moda. Segunda máquina: 12.2

11.9

11.5

12.1

12.2

11.9

11.8

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ Ordenados 11.5

11.8

11.9

11.9

12.1

12.2 12.2

Media: μ=Ʃ7 7 μ=83.6 7 μ=11.94, la media es igual 11.94 pulgadas. Mediana: 7+1=8/2= 4, la mediana se ubica en la posición 4, por lo tanto el valor que corresponde a esta medida es 11.9. Moda: Los valores que se repiten más veces son 11.9 y 12.2, por lo tanto estos corresponde a la moda, que en este caso es bimodal. De acuerdo a los datos arrojados por los estadísticos, Janna debe utilizar la segunda máquina, ya que esta presenta más consistencia en las medidas de tendencia central que se han calculado.

12.- Los siguientes datos de muestras para el número de clientes diarios en Rosie´s Flower Shoppe: 34, 45, 23, 34, 26, 32, 31, 41 Ordenados de menor a mayor 23, 26, 31, 32, 34, 34, 41, 45 Media: μ=Ʃ8 8 μ=266 8 μ=33.25, la media es igual 33.25 clientes. Mediana: 8+1=9/2= 4.5, la mediana se encuentra entre 32 y 34, por lo que el promedio de estos dos datos es: 32+34= 66/2= 33 clientes. Moda: El dato que presenta más frecuencia es 34, por lo que este valor corresponde a la moda.

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ 13.- La siguiente es una muestra de las ganancias por acción en dólares, para las acciones cotizadas en la Bolsa de valores de Nueva York: 1.12, 1.43, 2.17, -1.19, 2.87. -1,49 Ordenar de menor a mayor: -1.49, -1.19, 1.12, 1.43, 2.17, 2.87 Media: X= 1.12 ± (-1.19) + 1.43 ± (-1.49) + 2.17 + 2.87= 4.91/6= 0.8183, es el promedio las ganancias por acción, en este caso un valor que incide en los resultados son los valores negativos que representan las pérdidas. 15.- Las horas trabajadas por Ronnie cada semana durante los últimos dos meses son: 52, 48, 37, 54, 48, 15, 42, 12 Asumiendo que estos son datos muestrales, calcula: a) La media b) La mediana c) La moda d) ¿Cuál es probablemente una mejor medida para el punto central. Ordenando de menor a mayor: 12, 15, 37, 42, 48, 48, 52, 54 Media: μ=Ʃ8 8 μ=308 8 μ=38.5, la media es igual 38.5 horas trabajadas. Mediana: 8+1= 9/2= 4.5, la mediana se encuentra entre 42 y 48, por lo tanto tenemos que: 42+48= 90/2= 45 horas trabajadas. Moda: El valor que representa a la moda en este conjunto de datos es 48, ya que es el único dato que se repite más que los otros. En este caso una mejor medida para el punto central sería la mediana, ya que esta se encuentra en la mitad de los datos analizados.

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ 16.- Quienes ponen los discos en KAYS claman que ponen más canciones cada hora que sus rivales de la KROC del otro pueblo. Durante las últimas 24 horas se recolectaron y tabularon los datos sobre el número de canciones puestas por ambas estaciones. Utiliza los datos para preparar un reporte que compare las dos estaciones. Tu reporte terminado debe presentarse a la Comisión Federal de Comunicaciones, y debe contener referencias respecto a las medidas de tendencia central y de dispersión.

Número de canciones por hora 05-10 11-16 17-22 23-28 29-34 35-40 TOTAL

Número de canciones por hora

KAYS

KROC

5-10 11-16 17-22 23-28 29-34 35-40

2 4 6 8 2 2

4 5 7 5 2 1

Frecuencia en KAYS 2 4 6 8 2 2 24

Frecuencia acumulada 2 6 12 20 22 24

Punto medio 7.5 13.5 14.5 25.5 31.5 37.5

F. M. 15 54 117 204 63 75 528

Media: μ=Ʃ fM N μ= Ʃ FM Ʃf μ=528/24 , la media es igual 22 canciones por hora en KAYS. Mediana: =17+ [(24/2 – 6)/6] (5) = 22 canciones por hora. Moda: = 23 + [8-6/ (8-6) + (8-2)] (5) = 24.25 canciones por hora.

PRESENTA: EVERARDO JULIO ALMARAZ ALMARAZ Número de canciones por hora 5-10 11-16 17-22 23-28 29-34 35-40 TOTAL

Frecuencia en KROC

Frecuencia acumulada

Punto medio

F. M.

4 5 7 5 2 1 24

4 9 16 21 23 24

7.5 13.5 14.5 25.5 31.5 37.5

30 67.5 101.5 127.5 63 37.5 427

Media: μ=Ʃ fM N μ= Ʃ FM Ʃf μ=427/24, la media es igual 17.79 Mediana: =17+ [(24/2 – 9)/7] (5) = 19.14 Moda: = 17+ [7-5/ (7-5) + (7-5)] (5) = 19.5 En este caso, la radiodifusora...