EL DESARROLLO ILÓGICO DE UNA TEMA LÓGICO - Morris Kline PDF

Preview

Summary

Informe...

Description

MORRIS KLINE

Morris Kline (1 de mayo de 1908 – 10 de junio de 1992) fue profesor de matemáticas, escritor de historia, filosofía y enseñanza de las matemáticas, y un gran divulgador de temas matemáticos. Después de graduarse de la de Brooklyn, estudió matemáticas en la Universidad de Nueva York, obteniendo la licenciatura en 1930, la maestría en 1932, y el doctorado en 1936. Continuó en la NYU como instructor hasta 1942. Escribió numerosos artículos y libros sobre diversos aspectos de las matemáticas, en particular sobre la enseñanza de las matemáticas. En repetidas ocasiones insistió en la necesidad de enseñar a las aplicaciones y la utilidad de las matemáticas en lugar de esperar a que los estudiantes disfruten de ella por méritos propios. Instó a que se concentra la investigación matemática en la solución de problemas planteados en otros ámbitos en lugar de construir las estructuras de interés sólo para otros matemáticos. Kline fue protagonista en el programa de reforma a la educación matemática que se produjo en la segunda mitad del siglo XX, período incluido en los programas de la nueva matemática. En 1956 publicó en una revista matemática "textos matemáticos y profesores: una diatriba", donde menciona como los profesores culpan a los estudiantes de los fracasos en la enseñanza. Kline continuó su crítica de la educación matemática con su artículo de 1966 «intelectuales y escuelas: un caso histórico» en la (36:505-11). En 1970 siguió con «lógica versus pedagogía» en la American Mathematical Monthly (77:264-82). En 1973, contribuyó al diálogo al criticar la publicación de Kline, El fracaso de la matemática moderna. ¿Por qué Juanito no saber sumar?. Su primer capítulo es una parodia de la instrucción que muestra como las intuiciones de los estudiantes son desafiadas por la nueva jerga. El libro recapitula los debates de los profesores de matemáticas, con Kline concediendo algunos progresos: Cita de Howard Fehr de la Universidad de Columbia, que trató de unificar el tema a través de sus conceptos generales, los sistemas, operaciones, asignaciones, las relaciones y la estructura. En 1977 Kline se dirigió a la educación universitaria de pregrado, y comenzó un debate con la Academia Matemática establecida con su ¿Por qué el profesor no puede enseñar?: el dilema de la educación universitaria. Kline sostiene que la exigencia original de los profesores de matemáticas les distrae demasiado del amplio conocimiento necesario para enseñar.

EL DESARROLLO ILÓGICO DE UNA TEMA LÓGICO El tema que aborda el autor es que durante los últimos dos mil años los matemáticos creyeron que aplicar el razonamiento deductivo a los axiomas matemáticos era el camino para conseguir verdades. Pensaban que cualquier falacia que pudiera encontrarse en los razonamientos podía ser eliminada fácilmente. Principalmente fueron las mismas creaciones que forzaron a los matemáticos a abandonar la idea de verdad (geometría no euclídea y los cuaterniones) las que les hicieron caer en la realidad del triste estado en que se encontraba la lógica. Argumenta luego que la creación de nuevas álgebras fue el motivo por el cual los matemáticos comenzaron a revisar las bases lógicas de la aritmética y el álgebra de los números reales y complejos (aunque corroboraron su solidez). Lo que se consideraba como disciplinas totalmente lógicas, resultaba que había sido desarrollado de una manera totalmente ilógica. Para este asunto, el autor se ubica desde Platón, para el cual las matemáticas eran consideradas una realidad extra sensible. Las matemáticas deductivas comenzaron con los griegos, y la primera estructura aparentemente solida fueron los elementos de Euclides. Éste definió: 1. Punto es lo que no tiene partes. 2. Una línea (curva) es una longitud sin anchura. 3. Una línea recta es aquella que se extiende uniformemente con respecto a cada uno de sus puntos. Pero Aristóteles había dicho que una definición debía describir el concepto de lo que se estaba definiendo en términos de conceptos conocidos, para ellos debía haber conceptos indefinidos de los cuales partir. En base a esto, aunque Euclides conocía los trabajos (en particular de Aristóteles), definió no obstante todos sus conceptos. La totalidad de los matemáticos que le siguieron durante dos mil años no cayeron en la cuenta de la necesidad de términos indefinidos, aunque el primero en dar aviso de esto fue Pascal, pero fue ignorado. Euclides usó la palabra cosa para designar longitudes, áreas, volúmenes y números enteros y utilizó axiomas confusos para probar algunos teoremas. Además, Euclides usó axiomas que jamás enunció. Gauss fue quien observó que Euclides hablaba de puntos (rectas) que estaban entre otros puntos (rectas) sin tratar la noción de estar entre. Euclides utilizó el hecho de que una línea que vaya desde un punto A, situado a un lado de una recta L, hasta un punto B, situado en el lado opuesto tiene un punto en común con la recta L. Pero ningún axioma hablaba de la existencia de ese punto. Entonces, supuestamente Euclides había ofrecido demostraciones precisas, pero no fue así, la presentación de este personaje fue lamentablemente defectuosa. Aunque para los grandes matemáticos, filósofos y científicos anteriores a 1800 fue considerado como el ideal de la demostración rigurosa. Isaac Barrow, maestro de Newton, enumeraba ocho razones para la certidumbre de la geometría:      

La claridad de sus conceptos. La falta de ambigüedad de sus definiciones. Nuestra seguridad intuitiva de la verdad universal de sus nociones comunes. La clara posibilidad e imaginabilidad de sus postulados. Pequeño número de axiomas. Forma claramente concebible en que son generadas las magnitudes.

 

Fácil orden de las demostraciones. Evitación de las cosas no conocidas.

Henry John Stephen decía: “La geometría no es nada si no es rigurosa… Los métodos de Euclides son, por consenso casi universal, impecables en cuanto al rigor.” Luego de esto, la geometría no euclídea fue el obstáculo con el que chocó la lógica de la geometría euclídea la cual, es por supuesto, solo una parte de las matemáticas. Veamos ahora como le fue al desarrollo lógico de los números. El autor afirma que los primero en trabajar con números fueron los egipcios y babilonios, los cuales aproximaron racionales en aplicaciones prácticas. Al igual que para los griegos, sus matemáticas estaban basadas en datos empíricos y en la intuición. Aunque el primer tratamiento lógico de los números enteros fue hecho por Euclides en los libros VII, VIII y IX de Los Elementos. Los griegos encontraron una dificultad insuperable en el desarrollo lógico de los números: los números irracionales (cantidades inconmensurables). Los pitagóricos y los griegos clásicos en general no quisieron aceptar los números irracionales porque dicho concepto se les escapaba. La resolución de este problema, que se debió a Eudoxo, consistió en concebir todas las magnitudes de forma geométrica. De este modo las raíces de ecuaciones aparecían como segmentos y esto fue lo que dio inicio al algebra geométrica. Convertir las matemáticas en geometría, excepto la teoría de números enteros, tuvo varias consecuencias importantes: Por una lado provocó la separación entre número y geometría y por otro lado ésta ultima de convirtió en la base de las matemáticas rigurosas. Como bien sabemos, para la ciencia y la ingeniería la verdadera utilidad está en la respuesta numérica exacta con la mayor cantidad de cifras decimales posibles. Pero los griegos despreciaban las aplicaciones y se contentaban con la solución geométrica que hallaban. Luego de la Grecia clásica surgió la civilización griega alejandrina, la cual produjo una mezcla de matemáticas empíricas y deductivas. Arquímedes y Apolonio prosiguieron el método axiomático y deductivo de Euclides, mientras que los alejandrinos pusieron las matemáticas a trabajar. Un ejemplo es el caso del ingeniero egipcio-alejandrino Herón quien dio la fórmula para el área de un triángulo en términos de sus lados y su semiperímetro. Además en todos sus desarrollos trabajaron con los números irracionales libremente. El logro supremo fue la creación de una astronomía cuantitativa por Hiparco y Tolomeo, la cual permitía predecir el movimiento de los planetas, el sol y la luna. Herón resolvió problemas algebraicos por métodos puramente aritméticos y el punto más alto del algebra griega alejandrina fue alcanzado por Diofanto. Éste se tomó el trabajo de introducir algún simbolismo al algebra. Además solucionó ecuaciones indeterminadas, por ejemplo, ecuaciones con dos incógnitas, siendo el fundador de la rama del algebra llamado análisis diofántico.

BIBLIOGRAFIA https://es.wikipedia.org/wiki/Morris_Kline Matemáticas: La pérdida de la certidumbre – Morris Kline....