ELABORATO DI MATEMATICA E FISICA DERIVATA E LEGGE DI AMPERE-MAXWELL PDF

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ELABORATO DI MATEMATICA E FISICA - ESAME DI STATO Giugno 2020 Mercuri Francesca .Derivata di una funzione.Legge di Ampére-Maxwell .Derivata di una funzione .1 DEFINIZIONE

Data una funzione y=f (x) ,definita in un intervallo [ a ; b] ,la derivata della funzione nel punto c❑ interno all’intervallo, che indichiamo con f ′ (c) ,è il limite se esiste ed è finito, per h che tende a 0,del rapporto incrementale di f relativo a c❑ ,per cui :risulta ′

f (c)=¿ lim f (c +h)− f (c ) h →0

h

Per riuscire a capire il perché di questa definizione, e il suo significato geometrico, facciamo un passo indietro. Consideriamo una funzione y=f (x) ,definita in un intervallo chiuso e limitato [ a ; b] ,e un punto A (c; f (c)) ,incrementiamo l’ascissa di A di una quantità h ≠ .0 Si ottiene così un punto B di :coordinate c +h = x B y B =f ( x B)=f (c + h)

Puntualizziamo che

si a

che c +h devono essere interni all’intervallo preso in c❑ considerazione e che h❑ può essere positivo o negativo. :Consideriamo gli incrementi Δ x =x B −x A= h

Δ y= y B− y A=f (c +h)−f (c)

Il rapporto dei due incrementi è

Δy Δx

=

f (c+h)− f (c ) h

;questo valore

corrisponde,da un punto di vista geometrico, al coefficiente angolare della retta secante s ❑ al grafico della funzione nei punti B A e Man mano che h assume valori sempre più piccoli, B tende ad avvicinarsi ad A e quando h →0 , B tende a sovrapporsi ad A m s →m t ,ovvero per cui arriviamo a capire che il

lim f (c +h)− f (c ) h →0

h

= f ′ (c) non è altro

che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della . A funzione nel punto SIGNIFICATO GEOMETRICO

La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto . c di ascissa

.2 ’CONTINUITA’ E DERIVABILITA Esaminiamo ora il nesso tra continuità e derivabilità di una funzione ,attraverso la dimostrazione di un teorema che lega le due .proprietà

TEOREMA

Se una funzione f (x) è derivabile nel punto x 0 ,in quel punto la .funzione è anche continua DIMOSTRAZIONE

lim f (x)= f (x 0 ) x→x0

lim f (x 0+ h)−f (x 0)

T s:

=f ′ ( x0 )

h →0

h

H p:

:Scriviamo la seguente relazione, che è un’identità per f (x 0 +h)− f (x 0 ) ⋅h+ f (x 0) h

dei due membri, :derivabile in x 0 per ipotesi h

→

Calcoliamo il ricordando che

lim f (x 0+h)−f (x 0) lim f (x 0 +h)=lim f ( x0 )+ h→0

h →0

tende a

0

≠ 0

f (x 0+h)=¿

limite per f (x) è

0

h

h →0

h

f ′ (x 0 ) tende a

lim h=f (x 0 ) h →0

tende a

f (x 0)

Ricorriamo ad un cambiamento di variabile:posto x 0+ h=x , se h →0 si ha che x→ x 0 . Sostituendo nella presente relazione, :concludiamo che la funzione f (x) è continua in x 0 , in quanto lim f (x)= f (x 0 ) x →x0

che è proprio la definizione di funzione continua in un punto, in . x 0 questo specifico caso in CV D

Da ciò consegue che la continuità è una condizione necessaria ma :non sufficiente per derivabilità ,infatti nonC→non D

D→C

C↛D

Una funzione continua, quindi ,non sempre risulta derivabile. Andiamo ad esaminare alcuni casi a conferma di questa .affermazione La funzione f (x)=√3 x−1 è continua in .1 , ma non è derivabile in questo punto x=1 poiché il limite del rapporto incrementale :non è finito,infatti lim √ h lim √ 1+ h−1−√ 1−1 = ¿ lim h3 = h →0 = h →0 h→0 h h h lim 1 h →0 =+∞ 3 √ h2

√

3

3

3

3

Dal grafico si può notare un cambiamento di concavità della funzione nel punto x=1 ,in cui la funzione non è derivabile .Si ha nel punto la presenza di un flesso :ascendente a tangente verticale in quanto ′

+¿ (1)=+ ∞ −¿′ (1)=f ¿ f¿

La funzione f (x)=¿ x + 4∨¿ è continua in .2 ¿ x +4∨¿ 0 ,tuttavia essa x=−4 , poichè xlim →−4 .non è derivabile nel punto ′

Risulta infatti che

+¿ (− 4 ) −¿′ (−4)≠ f ¿ . Essendo la f¿

derivata sinistra e la derivata destra entrambe finite ma diverse ,si ha la presenza di un punto di non derivabilità e, nello specifico, di . x=−4 un punto angoloso in

.3 Abbiamo approfonditamente esaminato il legame tra derivabilità e continuità.Ma quando una funzione è continua?E quando si parla di ?punti di discontinuità di una funzione Come abbiamo già visto nella dimostrazione del teorema precedente, una funzione f (x) ,definita in un intorno di un punto x 0 , è continua in x 0 se lim f (x)= f (x 0 ) x→x :E,in particolare f (x) risulta continua in x 0 se f (x 0) La funzione è definita in x 0 ,cioè se esiste lim f (x)=l Esiste ed è finito il x→x 0

0

l=f (x 0)

Se

DEFINIZIONE

Si dice che una funzione f (x) è discontinua in un punto x 0 ,o che presenta un punto di discontinuità in x 0 ,se non è continua nel :punto, ovvero se lim f (x )≠ f ( x 0 ) x→x0

E quindi se almeno una delle condizioni enunciate precedentemente .non risulta verificata A questo proposito si parla di punti di discontinuità e si fornisce una classificazione che conta tre tipologie di punti:discontinuità di prima specie, discontinuità di seconda specie e .discontinuità di terza specie :PUNTO DI DISCONTINUITA’ DI I SPECIE Un punto x 0 è un punto di discontinuità di prima specie per la funzione f (x) se −¿

+¿

x → x 0 f (x )=ld lim ¿

x → x 0 f ( x)=ls lim ¿

¿

¿

Frequente nelle funzioni con valore assoluto, si verifica quando i due limiti sono finiti ma diversi; il .valore ¿ l s−l d∨¿ è definito salto della funzione :PUNTO DI DISCONTINUITA’ DI II SPECIE Un punto x 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la :funzione f (x) se

oppure

∃

+¿ x → x 0 f (x )=± ∞ lim ¿ ¿

∃ oppure

−¿ x → x 0 f ( x)=± ∞ lim ¿ ¿

Si verifica quando almeno uno dei due limiti o ∃ o è ± ∞ ;in quest’ultimo caso bisogna esaminare per la possibile presenza di asintoto verticale nel punto, di equazione x = x o (per la definizione f (x)=±∞ verticale si ha che stessa di asintoto .( xlim →x 0

DISCONTINUITA’ DI III SPECIE(o

PUNTO DI :(eliminabile punto di discontinuità di terza specie Un punto x 0 è un x0 ∉ D

oppur

:per la funzione f (x) se l∈ R

con

lim f (x)=l f (x 0)≠l

x → x0

Si verifica quando esiste ed è finito il li m per x → x 0 di f (x) ma o la funzione non risulta definita in x 0 oppure è definita ma in quel punto non coincide con il limite.Si parla di discontinuità eliminabile perché è possibile eliminare tale discontinuità attribuendo alla f (x 0)=l funzione in quel punto il valore del suo limite,ponendo cioè . .4 ’CRITERIO DI DERIVABILITA

Enunciamo ora un criterio utile per esaminare, senza ricorrere al calcolo del limite del rapporto incrementale, la derivabilità della .funzione in un punto :TEOREMA

¿

Sia f (x) una funzione continua in [ a ; b] e derivabile in ¿ a ;b ¿ :tranne al più in un punto x 0 appartenente ad [ a ; b] . Allora +¿ ′ x → x 0 f (x ) ′ +¿ (x 0 )=lim ¿

−¿ ′ x → x 0 f (x) ′ −¿ (x 0)=lim ¿

e

¿

¿

f¿

In particolare, se

f¿ x → x0+¿ f ′ ( x)=l ′ x → x−¿ 0 f ( x )=lim ¿ ¿

allora la funzione è derivabile in

lim ¿ ¿

f ′ (x 0 )=l

xo

e risulta

TEOREMA DI LAGRANGE

Sia una funzione f (x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [ a ; b] e derivabile in ogni punto interno ad esso, allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo per cui vale la :relazione f (b)−f (a) ′ =f (c ) b−a

Per la dimostrazione di tale teorema è necessario avere come .prerequisito la conoscenza del teorema di Lagrange DIMOSTRAZIONE

Consideriamo un punto x< x0 , allora nell’intervallo [ x ; x 0] è applicabile il teorema di Lagrange,poichè sono valide le sue ipotesi di continuità nell’intervallo e di derivabilità in tutti i punti interni ad f (x 0 )− f (x ) ′ =f (c) x 0−x

esso; deve esistere quindi un punto

−¿

c

tale che

. x→ x 0¿ Calcoliamo a questo punto i limiti dei due membri se :Al primo membro, per definizione di derivata sinistra risulta ′

−¿ ( x0 ) lim f (x 0 )− f (x ) x → x0

x 0−x

=f ¿

−¿

−¿

Al secondo membro, se x → x¿0 :ha che

anche c→ x 0¿

,quindi per ipotesi si

lim f ′ (c )=l c → x0

−¿(x 0 )=l f¿

:Dunque si ottiene

Si procede in modo analogo se si considera x> x0

,ottenendo

′

+¿ (x 0 )=l . Si arriva quindi alla tesi per cui f¿

′

f (x 0 )=l

ESERCIZIO 1

Determinare l’equazione della retta tangente e della retta normale alla curva di equazione y=3 x √x 2−2 x nel suo punto di ascissa x 0=−2

Per soddisfare la richiesta, bisogna aver chiaro il concetto di retta .tangente e retta normale ad una curva in un suo punto In generale ,data una funzione y=f (x) ,l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x 0 ; f (x 0 )) , è . y −f ( x 0 )=f ′ (x 0 )( x−x 0) Per retta normale invece, si intende la retta perpendicolare alla tangente passante per il punto (per cui questa ha per coefficiente angolare l’antireciproco di quello della retta tangente),avente equazione y−f (x 0 )=

−1 (x − x 0 ) f ′ (x 0)

:Procediamo con il calcolo della derivata della funzione data 2 2 6 x 2−6 x 6 (x −2 x )+6 x −6 x 2 x−2 2 = y =3 √ x −2 x +3 x = √ x −2 x 2 2 2 2 √x −2 x 2 √ x −2 x 2 √ x −2 x 2 2 2 2 3 (2 x −3 x ) 6 (2 x2 −3 x ) 6 x −9 x 6 x −12 x + 6 x −6 x 12 x 2−18 x ¿ 2 ¿ ¿ = = 2 2 √ x 2−2 x 2 √ x 2−2 x 2 √ x −2 x √ x −2 x √ x2 −2 x ′ x 0=−2 ,troviamo f (x 0 ) sostituendo alla x ′

2

razionalizzando risulta ′

f (− 2)=

21 √2 2

quindi

24+ 18 42 21 = = √ 4+ 4 2 √ 2 √2 21 √ 2 21 √ 2 f ′ (−2)= = √ 2 √2 2

f ′ (−2)=

A questo punto troviamo f (x 0) sostituendo nella funzione x 0=−2 x y=3 x √ x 2−2 x alla f (−2)=−12 √ 2

f (−2)=−6 ⋅2 √ 2=−12 √ 2

quindi

Per trovare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in x 0=−2 , sostituiamo all’ equazione y=3 x √x 2−2 x ′ : y−f (−2 )= f (−2 )[ x −(−2 )] i valori ottenuti 21 √ 2 (x +2) ⟶ 2 21 y= √ 2 x +21 √ 2−12 √ 2 2

y +12 √ 2=

da

y=

21 √ 2 x +9 √ 2 2

21 √ 2 ⋅[ x−(−2 )] 2 21 2 21 2 y +12 √ 2= √ x+ √ ⋅2 2 2

y−(−12 √ 2)= ⟶

⟶

cui ne consegue

equazione retta tangente al grafico della funzione nel punto dato Per determinare l’equazione della retta normale al grafico della funzione y=3 x √ x 2−2 x in x 0=−2 , sostituiamo all’equazione −1 [ x −(−2 )] : y−f (−2)= ′ f (−2)

y +12 √2=

−√ 2 (x+2) 21

da cui ne y=

⟶

i valori ottenuti y−(−12 √ 2)=

2 2 2 y= √ x− √ −12 √2 21 21

254 √ 2 −√ 2 x− 21 21

−√ 2 [ x−(−2 )] 21

⟶

y +12 √ 2=

2 2 −√ 2 x− √ 21 21

⟶

consegue

equazione retta normale al grafico della funzione nel punto dato

ESERCIZIO 2

Studiare i punti di non derivabilità della seguente funzione C . E . x ≤1 y=¿ x∨+ √1−x

Per prima cosa andiamo a studiare la funzione, tenendo in considerazione la presenza del valore assoluto

Verifichiamo la continuità della funzione in

x=0 +¿

x → 0 x + √1−x=1 lim ¿ ¿

−¿

x → 0 −x + √ 1−x=¿ lim ¿ ¿

La funzione risulta continua nel punto, allora ha senso verificare la derivabilità nel .punto stesso Deriviamo la funzione, ottenendo

C . E . x...