Ensayo Pitagoras - Practicas PDF

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Ensayo de la Unidad 2: Triángulos

Introduccion El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5. Objetivo: Demostrar que el teorema de Pitágoras también se cumple con otras figuras, considerando que la suma de las áreas de los polígonos regulares semejantes construidos sobre los catetos será igual al área del polígono regular semejante construido sobre la hipotenusa Hipótesis: En todo triangulo rectángulo, la suma de las áreas de los polígonos regulares semejantes construidos sobre los catetos, es igual al área del polígono regular semejante construido sobre la hipotenusa. Problemática: Demostrar que el área de la figura regular construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras regulares semejantes construidas sobre los catetos

Marco Teórico “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.” La historia de Pitágoras se resume en que fue un filósofo y matemático de la antigua Grecia que contribuyó de manera significativa en el avance de las matemáticas, la filosofía y la geometría. El filósofo fue el impulsor de la escuela pitagórica en el siglo VI a.C y gracias a la ayuda de los pitagóricos, aquellos que pertenecían a la escuela, consiguió el descubrimiento de lo que hoy en día conocemos como el Teorema de Pitágoras. Actualmente, no podemos asegurar con certeza que el verdadero origen del Teorema de Pitágoras pertenezca en su totalidad a Pitágoras pero lo cierto es que la propiedad de la proporcionalidad de los triángulos rectángulos fue un estudio realizado por Pitágoras así como su consiguiente demostración y aplicación. Para aplicar su teoría, Pitágoras elaboró una ecuación conocida como la fórmula del Teorema de Pitágoras mediante la cual se expresaba que la suma del cuadrado de los lados menores de un triángulo rectángulo, es decir los catetos, era igual al cuadrado del lado, la hipotenusa, mayor del mismo triángulo. Gracias a ésta fórmula surgió el origen de la demostración del Teorema de Pitágoras consiguiendo aportaciones de grandes filósofos como la demostración del teorema de Pitágoras por Euclides y se reveló la proporción que guardan este tipo de triángulos.

Demostración Una de las demostraciones geométricas más conocidas, es la que se muestra a continuación que suele atributarse al propio Pitágoras A partir de la igualdad de los triángulos rectangulares es evidente la igualdad

Ejercicio de aplicación: Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8,8 metros de longitud. Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11,2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?

Según el diagrama, la profundidad de la piscina es de 2,4 metros. Calculamos su longitud: Tenemos un rectángulo de altura 2,4m y cuya diagonal mide 8,8m. Por Pitágoras, su base bb es:

Pero como el clavadista cae a 1 metro de la plataforma, la longitud de la piscina es 9,46 metros. Para calcular la altura aa de la plataforma nos ayudamos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 11,2m y cuya base mide 9,46m:

Por tanto, la altura de la plataforma es de casi 6 metros por encima del nivel del agua. Generación de ternas pitagóricas: Las tres longitudes de un triángulo rectángulo cuando estas se corresponden a números naturales se llaman en Matemáticas ternas pitagóricas. Es decir una terna de números, (a, b, c), que cumplan el teorema de Pitágoras se dice que es una terna Pitagórica. Algunos investigadores suponen que para generar dichas ternas utilizaron la fórmula: Ejemplos:

Teorema del cateto opuesto al ángulo de 30° Para hallar las razones trigonométricas del ángulo de 30º partiremos del mismo triángulo rectángulo usado para el ángulo de 60°. Sólo hay que tener en cuenta que el cateto opuesto al ángulo de 60 es el contiguo al ángulo de 30 y el cateto contiguo al ángulo de 60 es el opuesto al de 30. La hipotenusa es la misma para los dos ángulos. Con esto, sólo queda hacer los cálculos y las simplificaciones correspondientes.

Teorema del cateto opuesto al ángulo de 60° Para hallar las razones del ángulo de 60° debemos partir de un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de esa medida. Podemos construir un triángulo así de una forma muy sencilla de recordar. Partimos de un triángulo equilátero, que como sabemos tienen tres ángulos de 60°. Trazamos una altura y consideramos uno de los dos triángulos rectángulos en los que queda dividido. Como en un triángulo equilátero las alturas y las mediatrices coinciden, la altura cae sobre el punto medio del lado y así un cateto mide exactamente la mitad de la hipotenusa. Como además la altura también coincide con la bisectriz, el ángulo quedará también dividido en dos partes iguales. Y así, tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo de 60 y otro de 30 que nos servirá para hallar las razones trigonométricas de los dos ángulos. Para que los cálculos sean fáciles tomaremos como hipotenusa 2 unidades y así el cateto contiguo al ángulo de 60° medirá 1.

Recíproco Teorema de Pitágoras “Si en un triángulo la suma de los cuadrados de las medidas de los lados menores es igual al cuadrado de la medida del lado mayor, entonces el triángulo es rectángulo”

Ejemplo: Calcular el ángulo de mayor medida en un triángulo, sabiendo que las longitudes de sus lados son: 5u, 12u y 13u. Sea el triángulo ABC, con los datos del problema:

Notamos que:13u > 12u > 5u

Del gráfico el lado mayor es 13u, entonces el ángulo de mayor medida será «x«, el cual piden calcularlo. También vemos que en el triángulo ABC se cumple el teorema de Pitágoras 132= 52+ 122 Entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo, recto en «B».

∴ El mayor ángulo del triángulo es 90°.

Teorema general Platón: La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos. Platón aborda y resuelve el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo e isósceles, (catetos iguales). Al ser las áreas construidas sobre los catetos iguales, el área construida sobre la hipotenusa es el doble de cada uno de los construidos sobre los otros lados. Euclides: La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Bhâskara: El cuadrado sobre la hipotenusa se divide en 4 triángulos rectángulos iguales al original y un cuadrado de lado la diferencia de los catetos. Reordenando las 5 piezas anteriores se obtienen dos cuadrados de lados los catetos del triángulo inicial. Muchos historiadores admiten que la demostración de Pitágoras se basaría en su propia Teoría de las Proporciones –imperfecta por aplicarse sólo a cantidades conmensurables–, de modo que la prueba de Pitágoras podría haber sido alguna de las dos siguientes:

Sea ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en A, y sea AD perpendicular al lado BC. Según Euclides VI.8 los triángulos DBA y DAC son ambos semejantes con el triángulo ABC y semejantes entre si...