Entregable Símbolos De Christoffel, Las Ecuaciones De Gauss Y De Weingarten Y Una Reducción Del Tensor De Riemann. PDF

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Curso 2014–15

Geometr´ıa Diferencial y C´ alculo Tensorial

Fecha de publicaci´ on: 28 de abril de 2015

Evaluaci´ on Continua 4

Fecha de entrega: 11 de mayo de 2015

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1 Calcule los s´ımbolos de Christoffel Γ αβλ para una superficie de revoluci´ on parametrizada por x(u, v) = (u cos v, u sen v, f (u)), con 0 < u, 0 < v < 2π .

2 Sabiendo que 

   1 0 1 0 , (b ) = , αβ 0 sen2 u 0 sen2 u son, respectivamente, la primera y la segunda forma fundamental de una superficie parametrizada x(u, v), reconstruya la superficie mediante los siguientes pasos: (gαβ ) =

(a) Escriba las ecuaciones de Gauss y de Weingarten. (b) Eliminando nu entre las ecuaciones para xuu y nu demuestre que x(u, v) = a(v) sen u + b(v) cos u + c(v). (c) Utilizando la ecuaci´on para xuv demuestre que b y c son vectores constantes. (d) Utilizando las restantes ecuaciones demuestre que a(v) = d cos v + e sen v, con d y e vectores constantes. (e) Finalmente, calculando con la expresi´ on resultante para x(u, v) la primera forma fundamental, demuestre que los vectores b, d y e son ortonormales y que por tanto la superficie es una esfera.

2 (cont.)

3 A partir del tensor de Riemann Rµνλσ se definen el tensor de Ricci Rν σ = Rµνµσ y la curvatura escalar R = Rµµ . Sabiendo que en dimensi´on 2 (es decir, para una superficie) el tensor de Riemann se puede escribir como Rκνλσ = (gκλ gνσ − gκσ gνλ )K , donde K es la curvatura gaussiana, encuentre la forma del tensor de Ricci y de la curvatura escalar para una superficie....