Esercitazione 5 - esercizi su idrostatica 2 con soluzioni - fisica I - a.a. 2015/2016 PDF

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esercizi su idrostatica 2 con soluzioni - fisica I - a.a. 2015/2016...

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F

Il secchio viene sollevato a velocità costante, quindi deve  essere: Fi  0 Secondo principio della dinamica

 i



S

S  ρ acquaVsecchiog  ρ acqua

P

Quindi:

 

ma Esplicitando: F  P  S P = mg = (1.5 kg) (9.81 m/ s2)= 15 N m ρ secchio

g

 1.5kg    9.81m/s2  1.9N  (1000kg/m 3 )   3   8000kg/m 

F = P – S = (15 – 1.9)N = 13.1 N

Il lavoro è:

L = F  s = 13.1 N  4 m = 52.4 J

Esercizio n. 2 Un recipiente cilindrico, il cui diametro interno è D = 80 cm, contiene acqua ed è munito sul fondo di un foro, di sezione S = 1.0 cm2, chiuso da un tappo. Stappato il recipiente, l’acqua inizia a fuoriuscire con una portata q = 0.5 litri/ s. Calcolare a) la pressione idrostatica sul fondo del recipiente nell’istante in cui si toglie il tappo, b) la massa di acqua contenuta nel recipiente nel medesimo istante. a) 900 mmHg, 1000 kg b) 1.25 10 4 Pa, 638 kg c) 1 atm, 100 g d) 125 Pa, 1 kg e) 300 Pa, 300 g

Una volta rimosso il tappo, l’acqua inizia a fuoriuscire con velocità: La velocità si può determinare dalla legge della portata:

v  2 gh

(Formula di Torricelli)

q 0.5l / s 500cm3 / s   500cm / s  5m / s v  S 1cm2 1cm2 L’altezza h della superficie libera dell’acqua rispetto al foro è:

(5m / s )2 v2  h  1.27 m 2g 2  (9.81m / s 2 ) La pressione idrostatica esercitata dall’acqua sul fondo del recipiente, nel momento in cui si toglie il tappo è quindi:

p   g h  (1000kg / m 3 )  (9.81m / s 2 )  (1.27m )  1.25 104 Pa

La massa d’acqua contenuta nel recipiente, nel momento in cui si toglie il tappo è:

m  V Il volume è quello del cilindro di diametro D:

D2 V  h 4

La massa d’acqua quindi sarà:

(0.8m )2 D2 m  (1.27m)(1000kg / m3 )  638kg  h    (3.14) 4 4

Esercizio n. 3 Un condotto di raggio R in cui circola acqua si suddivide in 4

rami di raggio la metà del primo. Quale è il rapporto tra la velocità dell’acqua nei condotti derivati e quella in ingresso? a) 2) b) 3 c) 1 d) 3/ 2 e) 1/ 2

Per la legge di continuità deve essere: r/ 2

r

S v = 4 S’ v’

v' S πr 2 πr 2    1 v 4 S' 4πr' 2 4 π r 2 / 4

Esercizio n. 4 Quale delle seguenti affermazioni relative alla portata di un

fluido che scorre lungo un condotto con moto stazionario non è corretta? a) è costante se si tratta di in liquido privo di attrito b) può variare se si tratta di un gas c) è costante se si tratta di un liquido viscoso d) può variare se il condotto non è orizzontale e) portata di un liquido si misura in m3/s La portata è conservata sia per un liquido ideale che per un liquido viscoso

a)

e

c)

vere

La portata può variare se si tratta di un gas in quanto non incomprimibile

b)

vera

Nel S.I. la portata di un liquido si misura in m 3/ s

e)

vera

Esercizio n. 5 Due condotti di raggio R in cui scorre un liquido con velocità

v confluiscono in un unico condotto di raggio R/ 3. Quanto vale la velocità del liquido nell’ultimo condotto? a) 9/ 2 v b) 4/ 3 v c) 18 v d) 3/ 2 v e) 9 v 2

La portata si conserva, quindi:

v v

v’ 3

1

Esplicitando:

r2 2 πr v  π v' 9 2

v’ = 18 v

Q1 + Q2 = Q3

Esercizio n. 6 Un’arteria con la portata di 0.5 cm 3/ s si suddivide in n

arteriole ciascuna di raggio 100 µm. Sapendo che la velocità media del sangue in ciascuna arteriola è di 1.6 cm/ s dire quanto vale approssimativamente il numero n. a) 500 b) 1400 c) 1000 d) 1900 e) 2000

Sappiamo che: Q arteria = 0.5 cm 3/ s rarteiola = 100 m v m = 1.6 cm/ s

Dalla legge di continuità:

Q arteria = n q arteriola

Esplicitando: Q arteria = n (r 2 v m) Q arteria 0.5cm 3 /s n 2   10 3 2 4 π r v m π  (100  10 cm)  (1.6cm/ s)

Esercizio n. 7 In una condotta orizzontale, di sezione S1, in cui fluisce acqua in regime di moto stazionario con velocità v 1 = 2 m/ s, è innestato un tubo piezometrico T aperto all’atmosfera; la condotta presenta un restringimento di sezione S2 = S1/ 4, in corrispondenza del quale è innestato un secondo tubo piezometrico T’. Assimilando l’acqua ad un fluido ideale, determinare: a) la velocità v 2 dell’acqua in corrispondenza del restringimento; b) la differenza h fra le altezze raggiunte dall’acqua nei due tubi piezometrici. a) 1.1 m/ s, 2.01 m b) 8.0 m/ s, 3.06 m c) 20.0 cm/ s, 1.2 m d) 3.6 m/ s, 2.0 m e) 10mm/ s, 1 m

In condizione di moto stazionario vale l’equazione di continuità:

S1v1  S 2 v2 S S v2  1 v1  1 v1  4  v1  4  2m / s  8m / s S2 S1 / 4

h S1

h’ S2

Dal momento che l’acqua è assimilabile ad un liquido ideale, possiamo applicare l’equazione di Bernoulli alle due superfici S1 e S2:

h1 = h2

p1 

1 2 1 v1  p2  v22 2 2

Da cui:

p1  p2 

1 1  (v 22  v12 )  (1000kg / m 3 )(64  4)m 2 / s 2  3 10 4 Pa 2 2

L’altezza raggiunta dall’acqua in un tubo piezometrico innestato nella condotta è determinata dalla pressione dinamica in corrispondenza della sezione ove il tubo è inserito.

p1  pa  gh1 p2  p a  gh2

p1  p2  g (h1  h2 )

p1  p2 (3 10 4 Pa ) h    3.06m g (1000kg / m3 )(9.81m / s 2 )

Esercizio n. 8 La velocità media di un liquido in un condotto conico

attraverso una sezione di raggio r = 1 cm è di 36 cm/ s. Quale è la velocità del liquido attraverso una sezione di raggio r = 3 cm? a) 4 cm/ s b) 12 cm/ s c) 18 cm/ s d) 108 cm/ s e)316 cm/ s

Dalla legge di continuità

S v = cost

Abbiamo:

S1

S1 v 1 = S2 v 2

2 S1 (1cm)2 πr1  36cm/ s  4cm/ s v 2  v1  v  2 1 S2 (3cm) 2 πr2

S2

Esercizio n. 9 Un recipiente sulla cui parete è praticato un foro di raggio 1.5

cm è riempito d’acqua tramite un rubinetto con la portata di 90 l/ min. A quale altezza, rispetto al foro, si porterà in condizioni stazionarie il livello dell’acqua nel recipiente? a) 1.1 m b) 50 cm c) 35 cm d) 23 cm e) 76 cm Dal teorema di Bernoulli abbiamo:

1 1 ρv 12  ρgh1  p 1  ρv 2 2  ρgh2  p2 2 2 Ma

p 1 = p 2 = pressione atmosferica h2 = 0 v 1= 0 il livello dell’acqua scende con velocità approssimativamente uguale a zero

Quindi :

1 2 ρgh1  ρv 2 2

v 2  2gh1

S1

S2

In condizioni stazionarie:

Q rec = Q foro

Q rec  Sforo v 2  Sforo 2gh1 2

Q rec  S2 foro 2gh1 Q 2 rec  0.23m  23cm h1  2 2gS foro

Esercizio n. 10 In regime di moto stazionario nel tratto A di una condotta cilindrica orizzontale fluisce acqua con una velocità di 2.9 m/ s; la pressione dinamica in A è di 2.5 10 5 Pa. Successivamente la condotta si restringe presentando un diametro che è la metà del diametro iniziale; un tubo piezometrico T inserito nel tratto B di minor sezione si innesta in un serbatoio S ad altezza h = 7 m rispetto alla condotta (vedi figura). Assimilando l’acqua a un fluido ideale, a) determinare la pressione dinamica nel tratto B; b) sapendo che la pressione esterna è pari a 1 atm, verificare se la pressione dinamica in B è sufficiente a erogare acqua al serbatoio. a) 1.87 10 2 Pa, è sufficiente b) 2.22 10 5 Pa, è insufficiente c) 1 atm, è sufficiente d) 1.87 10 5 Pa, è sufficiente e) 1mmH g, insufficiente

Applichiamo l’equazione di Bernoulli ad una sezione SA del tratto A e ad una sezione SB del tratto B:

pA 

1 2 1 v A  p B  v 2B 2 2

S T

B

A

pB  p A 

1  (v A2  v B2 ) 2

Sappiamo che il diametro bel tratto B è la metà del diametro nel tratto A, quindi applicando la legge di continuità:

S Av A  S B v B

vB  Quindi:

D 2A / 4 vA vB  2 DB / 4

S v B  A vA SB

D A2 D A2 / 4

v A  4v A

1 15 p B  p A   (v 2A  v B2 )  (2.5  105 Pa )   (1000kg / m 3 )  (2.9 2 m 2 / s 2 )  2 2  1 .87  105 Pa Per alimentare il serbatoio collegato con il tubo piezometrico T occorre una pressione dinamica in B che sia almeno uguale a quella necessaria per far salire l’acqua nel tubo fino al punto di innesto del serbatoio, cioè deve essere:

p  p0  gh

p  (1.01105 Pa )  (1000kg / m 3 )  (9.81m / s 2 )  (7 m)  1.7 10 5 Pa Nel tratto B:

pB  p

La pressione dinamica in B è sufficiente ad erogare acqua al serbatoio....