Esercitazione - Fisica I - Analisi dimensionale e calcolo dell\'errore - Parte prima - a.a. 2016/2017 PDF

Preview

Summary

Download Esercitazione - Fisica I - Analisi dimensionale e calcolo dell'errore - Parte prima - a.a. 2016/2017 PDF

Description

Analisi dimensionale e calcolo dell’errore

Esempio 1. Si determinino 1) le dimensioni e 2) le unità di misura nel S.I. della costante di gravitazione mm universale γ presente nella legge di gravitazione universale: F = −γ 1 2 2 dove m1 e m2 sono due r masse, r è la distanza tra le due masse e F è la forza gravitazionale.

Mettiamo in evidenza la costante di gravitazione universale: γ = −

Fr 2 . m1m2

Per il principio di omogeneità le grandezze a sinistra e a destra dell’equazione devono avere le stesse dimensioni. Cominciamo con la forza F, per essa vale la relazione della dinamica forza = massa x accelerazione, ossia dimensionalmente : [F]=[M][L][T]-2 dove [M] indica dimensionalmente la massa, [L] la lunghezza e [T] il tempo da cui : [M][L][T]-2 [ L]2 [γ ] = = [ M ]−1[ L ]3[T]-2 [M][M] Nel S.I γ si misura quindi in kg-1m3s-2

Esempio 2. Il coefficiente di viscosità η di un liquido si determina sperimentalmente mediante la formula: p ⋅ p ⋅r 4 ⋅t η= 8⋅V ⋅ l dove p rappresenta la pressione, r il raggio del tubo, t il tempo, V il volume e l la lunghezza. Si determinino 1) le dimensioni e 2) le unità di misura nel S.I. di η.

Per il principio di omogeneità le grandezze a sinistra e a destra dell’equazione devono avere le stesse dimensioni. Cominciamo con la pressione p, per essa vale la relazione pressione = forza su superficie, ossia dimensionalmente: [p] =[F][L]-2=[M][L][T]-2[L]-2=[M][L]-1[T]-2 da cui : [M][L]-1 [T]-2 [ L]4 [T ] [η ] = = [ M ][ L]−1[T ]−1 [ L ]3[ L ] Nel S.I η si misura quindi in kg⋅m-1s-1

Esempio 3. Determinate nell’esempio 2 le dimensioni del coefficiente di viscosità η di un liquido, verificare la correttezza dimensionale delle seguente relazione: v F =η S l dove F è una forza, S una superficie, v una velocità e l una lunghezza.

Le dimensioni di η, dedotte nell’esempio precedente, sono: [η] = [ M ][ L]−1[T ]−1 . Nella relazione da verificare dimensionalmente mettiamo in evidenza η: F⋅l η= S⋅v Per il principio di omogeneità le grandezze a sinistra e a destra dell’equazione devono avere le stesse dimensioni, da cui: [M][L][T]-2 [ L] = [M][L]-1[T]-1 [ L]− 2[ L][T ]−1 e quindi la relazione da verificare risulta dimensionalmente corretta [M ][L ]−1 [T ]−1 =

Esempio 4 Il coefficiente di viscosità η di un liquido si determina sperimentalmente mediante la formula:

η=

p ⋅ p ⋅r 4 ⋅t

8 ⋅V ⋅ l dove p rappresenta la pressione, r il raggio del tubo, t il tempo, V il volume e l la lunghezza. Sapendo che le grandezze misurate sono affette dai seguenti errori relativi:

 ∆p   ∆r   ∆t   ∆V  = 0.003 ,  ∆l  = 0.001   = 0.013 ,   = 0.002 ,   = 0.005 ,      r  t  V  l   p  calcolare l’errore relativo con cui risulta determinato η 1) quando gli errori si possono considerare casuali ed indipendente; 2) quando gli errori non sono casuali ed indipendenti

1) Dalla definizione di errore relativo, applicato ad una formula monomia, nel caso in cui gli errori possono essere considerati casuali ed indipendenti si ottiene: 2

 ∆p   ∆ r   ∆ t   ∆ V   ∆l   ∆η   η  =  p  +  4 r  +  t  +  V  +  l  = 0.0164             2) Dalla definizione di errore relativo, applicato ad una formula monomia, nel caso in cui gli errori NON possono essere considerati casuali ed indipendenti si ottiene: 2

2

∆r ∆ t ∆ V ∆ l  ∆η  ∆p  = +4 + + + = 0.03  η p r t V l  

2

2

Esempio 5 Il periodo di oscillazione T di un pendolo semplice è dato dalla relazione: T = 2p

l g

dove l è la lunghezza del pendolo e g è l’accelerazione di gravità. Il pendolo viene usato per la determinazione del valore di g.  ∆l  Sapendo che   = 0.01 determinare 1) l’errore relativo massimo sul periodo di oscillazione e 2) il l   ∆g  numero minimo di oscillazioni che bisogna misurare affinché   ≤ 0.02 , sapendo che T = 10 s e  g  che il cronometro utilizzato ha la sensibilità di 0.2 s Per semplicità di calcolo, non considerare gli errori come casuali ed indipendenti

Poiché la grandezza da determinare è l’accelerazione di gravità g (misurata quindi in modo indiretto), per prima cosa ricaviamoci g dalla formula precedente: l g = 4p 2 2 T Dalla definizione di errore relativo, applicato ad una formula monomia, nel caso in cui gli errori NON possono essere considerati casuali ed indipendenti si ottiene: ∆T  ∆g  ∆l +2   = T  g  l dalla quale si può ricavare l’errore relativo del periodo di oscillazione:  ∆T  1 ∆ g 1 ∆l = − =  2 l T  2 g

1 1  ∆T  = 0.02 − 0.01 =0.005 da cui   2 2 T   MAX

Indicando con t il tempo impiegato a compiere n oscillazione del pendolo, si ha: t = n⋅T per cui l’errore assoluto del tempo (prodotto di una grandezza per una costante) risulta ∆t = n⋅∆T e l’errore relativo del tempo risulta ∆ t ∆T ∆t = = t T nT ∆t da cui n= T ∆T T  ∆T  Dovendo essere  = 0.005 e ∆t=0.2 s, si ottiene:   T  MAX

n MIN

0.2 = 10 = 4 0.005

Esempio 1: Calcolare le incertezze relative delle seguenti misure 3.2 Kg

4.0 m

(0.1 kg / 3.2 kg)*100 = 3.125 % (0.1 m / 4.0 m)*100 = 2.5 % (0.01 s / 7.58 s)*100 = 0.132 % (0.3 N / 4.2 N)*100 = 7.14 %

7.58 s

(4.2 ± 0.3) N

Esempio 2: supponiamo di aver misurato un angolo θ come θ= (20 ± 3) ° e di voler calcolare il cosθ, qual è la sua migliore stima? Δ(cosθ) = |d(cosθ)/dθ| ∗ Δθ = sinθ ∗ Δθ (in rad) Δθ deve essere espressa in radianti, poiché la derivata di cosθ è –sinθ solo se θ è espresso in radianti. Quindi Δθ = 3° = 3 * (π/180) = 0.05 rad Δ(cosθ) = sin(20°) * 0.05 = 0.34 * 0.05 = 0.02 cosθ = cos(20°) ± 0.02 = 0.94 ± 0.02

Esempio 3: Un fascio luminoso di intensità I0 che attraversa un materiale di spessore x emerge con intensità I = I0 e-μx , essendo μ il coefficiente di assorbimento. Sapendo che I0 = (10.00 ± 0.02) W/m2, I = (5.50 ± 0.01) W/m2, x = (0.0200 ± 0.0004) m, calcolare il coefficiente di assorbimento μ con la sua incertezza

1 ⎛I < μ >= ln⎜ 0 x ⎝ I

⎛ 10.00 W / m 2 ⎞ 1 ⎞ −1 ⎟ = m ln⎜⎜ 29 . 8918 ⎟= 2 ⎠ 0.02 m ⎝ 5.50 W / m ⎟⎠ 2

2

2

⎛ ∂μ ⎞ ⎛ ∂μ ⎞ 2 ⎛ ∂μ ⎞ 2 ⎟⎟ (Δ I 0 )2 + ⎜ Δμ = ⎜ ⎟ (Δx ) + ⎜⎜ ⎟ (ΔI ) ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂I ⎠ ⎝ ∂I 0 ⎠ ⎛ Δx ⎞ = ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠

2

2

2

2

1 ⎛ ΔI 0 ⎞ 1 ⎛ ΔI ⎞ ⎡ ⎛ I 0 ⎞⎤ −1 ⎜ ⎟ m 0 . 6129 + = + ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ x 2 ⎜⎝ I 0 ⎟⎠ x2 ⎝ I ⎠ ⎣ ⎝ I ⎠⎦

μ =< μ > ± Δμ = (29.9 ± 0.6) m −1

y = a ⋅ xα ⋅ w β ⋅ zγ 2

2

monomia

2

⎛ Δy ⎞ ⎛ Δz ⎞ Δw ⎞ ⎛ Δx ⎞ ⎛ ⎟⎟ = ⎜ α ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⎟ + ⎜γ ⋅ ⎟ +⎜ β ⋅ ⎝ < y >⎠ ⎝ < x >⎠ ⎝ < w> ⎠ ⎝ < z > ⎠

2

Esempio 4: Si vuole misurare la costante dielettrica relativa εr di un materiale misurando la capacità C = (ε0 εr S) / d di un condensatore piano ad armature circolari di raggio r poste a distanza d (essendo ε0 la costante dielettrica del vuoto e S la superficie delle armature) tra cui è posto il materiale stesso. Sapendo che l’incertezza di ε0 è trascurabile e che le incertezze relative di C, r, d valgono rispettivamente 0.05, 0.01, 0.03, calcolare l’incertezza relativa di εr :

εr = Δε r

εr

C ⋅d ε 0π r 2 2

2

2

⎛ ΔC ⎞ ⎛ Δd ⎞ 2 ⎛ Δr ⎞ = ⎜ ⎟ +2 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎝⎠ ⎝ < r >⎠ ⎝ < d >⎠ =

(0.05)2 + 22 (0.01)2 + (0.03)2

= 0.06

Esempio 5: Si vuole misurare la costante dielettrica relativa εr di un materiale misurando la capacità C = ε0 εr S / d di un condensatore piano ad armature circolari di raggio r poste a distanza d (essendo ε0 la costante dielettrica del vuoto e S la superficie delle armature) tra cui è posto il materiale stesso. Sapendo che l’incertezza di ε0 è trascurabile e che le incertezze relative di r, d valgono rispettivamente 0.01,0.02, con che incertezza relativa occorre misurare C affinché l’incertezza relativa di εr sia dell’ordine di 0.03 ?

⎛ Δε r ⎜⎜ ⎝ εr

2

2

2

⎞ ⎛ ΔC ⎞ ⎛ Δd ⎞ 2 ⎛ Δr ⎞ ⎟⎟ = ⎜ 2 + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ < > < > < > C r d ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 2

2

2

⎛ Δε r ⎞ ΔC ⎛ Δd ⎞ 2 ⎛ Δr ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − 2 ⎜⎝ < r > ⎟⎠ − ⎜⎝ < d > ⎟⎠ = ε

⎝ r ⎠ =

(0.03)2 − 22 (0.01)2 − (0.02)2 = 0.01

2

y = a ⋅ xα ⋅ w β ⋅ z γ ⋅ [ f (w) ]

ρ

2

2

2

2

⎛ Δy ⎞ ⎛ Δf ( w ) ⎞ Δz ⎞ ⎛ Δw ⎞ ⎛ Δx ⎞ ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜ α ⋅ ⎟ +⎜ρ ⋅ ⎟ + ⎜γ ⋅ ⎟ + ⎜β ⋅ f (< w >) ⎠ ⎝ < y >⎠ ⎝ < x > ⎠ ⎝ < w >⎠ ⎝ < z > ⎠ ⎝

2

Esempio 6: Si vuole determinare la velocità v di un proiettile misurando la gittata s e sapendo che, trascurando l’attrito dell’aria, s. = ( v 2 / g) sin(2α) g è l’accelerazione di gravità e α l’alzo del cannone. Sapendo che α = (0.52 ± 0.01) rad, l’incertezza relativa di s vale 0.01 e che l’incertezza relativa di g vale 0.01, determinare l’incertezza relativa di v.

s⋅g v= sin(2α )

Δ (sin(2α ) ) = 2cos (2α ) Δα 2

2

2

Δv ⎛ 1 Δs ⎞ ⎛ 1 Δ g ⎞ ⎛ 1 2 cos(2 < α >) Δα ⎞ ⎟⎟ = ⎟⎟ + ⎜⎜ = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ v ⎝ 2 < s > ⎠ ⎝ 2 < g > ⎠ ⎝ 2 sin(2 < α >) ⎠ 2

2

⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 = ⎜ 0.01⎟ + ⎜ 0.01⎟ + ( 0.0059)2 = 0.009 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2...