Esercizi riepilogo moduli 1 4 pdf PDF

Preview

Summary

termodinamica applicata/fisica tecnica...

Description

Esercizi svolti - Riepilogo Moduli 1-4

Esercizio 1 Un contenitore termicamente isolato contiene inizialmente 130 g di acqua alla temperatura di 80◦ C ed un cubetto di ghiaccio di massa 12 g alla temperatura di −10◦ C. Si calcoli la temperatura finale di equilibrio sapendo che: • calore specifico dell’acqua è ca = 4, 186 kJ/(kgK); • calore specifico del ghiaccio è cg = 2, 220 kJ/(kgK); • calore latente di fusione hl = 333 kJ/kg;

Soluzione È possibile identificare tre sistemi termodinamici: • ghiaccio. Scambia calore ma non lavoro con il suo ambiente; • acqua. Scambia calore ma non lavoro con il suo ambiente; • sistema complessivo formato dalla somma degli altri due sistemi. È un sistema isolato. Il sistema complessivo è, formato da acqua e ghiaccio non scambia nè calore nè lavoro con l’ambiente (sistema isolato), quindi: ∆U = Q + L = 0

(1.1)

Il calore scambiato dall’acqua Qa sarà i opposto di quello scambiato dal ghiaccio (Qg ). Qg = −Qa (1.2) Il calore scambiato dal ghiaccio può essere scomposto in 3 contributi: 1

• riscaldamento dalla temperatura iniziale (T1g = −10◦ C) fino alla temperatura di fusione (Tl = 0◦ C) Qg1 = mg cg (Tl − T1g ) = 0, 2664 kJ

(1.3)

• calore latente di fusione. In questa fase il calore assorbito non causa l’innalzamento della temperatura del sistema ma la progressiva fusione del solido. Qg2 = mg hl = 3, 996 kJ (1.4) • Riscaldamento fino alla temperatura di equilibrio Tf Qg3 = mg ca(Tf − Tl )

(1.5)

Nel calcolo di Qg3 is è fatto uso del calore specifico dell’acqua perchè oramai il sistema è passato interamente allo stato liquido. Il calore scambiato dal sistema termodinamico acqua è: Qa = maca (Tf − T1a)

(1.6)

Q1g + Q2g + Q3g = −Qa

(1.7)

Dall’equazione (1.2) Utilizzando le espressioni (1.5) e (1.6) si ottiene Q1g + Q2g + mg cg (Tf − T1g ) = −maca (Tf − T1a)

(1.8)

Si osservi che la temperatura finale è comune ad entrambi i sistemi termodinamici considerati perchè i due sistemi si trovano in equilibrio termodinamico. Sostituendo i valori di Q1g e Q2g , e risolvendo per Tf si ottiene: Tf =

mg cg T1g + mg caTl − Q1g − Q2g = 66◦ C (ma + mg )ca

(1.9)

Esercizio 2 Dell’aria a temperatura T1 = 293 K e velocità w1 = 1 m/s attraversa un condotto inclinato a sezione costante. La differenza di quota tra la sezione di ingresso e di uscita è di 10 m. All’uscita la temperatura dell’aria è di T2 = 40◦ C e la velocità è w2 = 3 m/s. Determinare la quantità di calore scambiata (q) per unità di massa lungo il condotto, supponendo che non ci siano scambi di lavoro. Si utilizzino le formule di Langen per il calcolo del calore specifico dell’aria (a = 992, 082 J/kgK; a′ = 703, 248 J/kgK; b = 0, 134 J/kgK2 ) 2

Soluzione Dall’espressione del primo principio della termodinamica per sitemi aperti, ricordando che non si hanno scambi di lavoro, si ottiene: q = h2 − h1 +

w2 − w1 + g∆z 2

(2.1)

Considerando l’aria assimilabile ad un gas perfetto la variazione entalpica si può valutare come: h2 − h1 = c p 2 T 2 − c p 1 T 1 (2.2) Si osservi che, avendo considerato l’aria come un gas perfetto (ma non ideale), la funzione di stato entalpia, rimane funzione della sola temperatura del gas, ma i calori specifici non sono costanti lungo la trasformazione, bensì dipendono dalla temperatura attraverso le formule di Langen cp = a + bT . In particolare si ottiene: cp 1 = 1031 J/(kgK) cp 2 = 1034 J/(kgK)

(2.3)

Avendo avuto l’accortezza di convertire la temperatura di uscita in Kelvin T2 = 40◦ C = 313 K. Sostituendo i valori nell’eq. (2.1) si ottiene: q = 21567 J/kg

(2.4)

Esercizio 3 Un recipiente chiuso contiene una miscela di acqua allo stato liquido e di vapore in condizioni di saturazione alla temperatura di 120◦ C. Sapendo che il titolo è x = 0, 85, si determinino pressione entalpia, entropia e densità della miscela.

3

Soluzione

Figura 3.1: Estratto delle tabelle del vapore saturo. Dalle tabelle del vapore, di cui un estratto è riportato in Fig. 3.1, si ottiene che la pressione di saturazione alla temperatura di 120◦ C è di 1, 987 bar. La tabella in Fig. 3.1 riporta le principali grandezze di stato al variare della temperatura per il liquido saturo e vapore saturo. Le proprietà della miscela acqua/vapore in condizioni intermedie si calcolano per interpolazione lineare utilizzando come variabile interpolante il titolo. h(x) = xhv + (1 − x)hl = 0, 85 · 2706 kJ/kg + (1 − 0, 85) · 503 kJ/kg (3.1) = 2376 kJ/kg analogamente per le altre grandezze: s(x) = xsv + (1 − x)sl = 6, 890 kJ/(kgK)

(3.2)

v(x) = vsv + (1 − x)vl = 0, 758 m3 /kg

(3.3)

La densità si ricava come l’inverso del volume specifico: ρ=

1 = 1, 32 kg/m3 v

(3.4)

Esercizio 4 Un recipiente contiene vapore alla pressione p = 25 bar ed alla temperatura T = 400◦ C; calcolare entalpia ed entropia specifiche del sistema. 4

Soluzione

Figura 4.1: Estratto delle tabelle del vapore saturo. Dalle tabelle del vapore saturo, riportate in Fig. 4.1, si ricava che la temperatura di saturazione del vapore a 25 bar è pari a Ts = 224◦ C. Essendo T > Ts il fluido si trova in condizioni di vapore surriscaldato. Pertanto è necessario far riferimento alle tabelle dell’acqua/vapore surriscaldato, di cui un estratto è riportato in Fig. 4.2.

Figura 4.2: Estratto delle tabelle del vapore surriscaldato. Nella tabella in Fig. 4.2 non sono presenti i dati relativi alla pressione di 24 bar. È quindi necessario procedere all’interpolazione lineare tra le pressioni di 24 bar (Punto A nel seguito) e 26 bar (Punto B nel seguito) ed alla temperatura di 400◦ C. Utilizzando l’espressione della retta per due punti 5

abbiamo hB − hA h − hA hB − hA =⇒ h = hA + = (p − pA ) = 3240 kJ/kg (4.1) pB − pA pB − pA p − pA s − sA sB − sA sB − sA =⇒ s = sA + = (p − pA ) = 7, 0175 kJ/kgK (4.2) pB − pA pB − pA p − pA

Esercizio 5 Una caldaia produce vapore alla pressione di 40 bar ed alla temperatura di 300◦ C. Supponendo che il fluido si trovi inizialmente alla temperatura di 60◦ C, tracciare le trasformazioni termodinamiche e calcolare il calore assorbito da 1 kg di acqua. Si trascuri lo scambio di calore verso l’esterno della caldaia.

Soluzione

(a) Diagramma entropico

(b) Diagramma di Mollier

Figura 5.1: Rappresentazione delle trasformazioni sui diagrammi T − s ed h − s. La temperatura iniziale del fluido è minore della temperatura di saturazione alla pressione di 40 bar (Ts = 250, 3◦ C). All’uscita dalla caldaia si hanno condizioni di vapore surriscaldato poichè la temperatura, in questo caso è maggiore della temperatura di saturazione. Pertanto la trasformazione termodinamica seguita dal fluido nella caldaia, rappresentata in Fig. 5.1, può essere divisa in tre parti: 1-2 riscaldamento del liquido dalle condizioni iniziali fino alla condizione di liquido saturo. La trasformazione è una isobara, che risulta sostanzialmente coincidente con la curva limite inferiore nei diagrammi T − s ed h − s; 6

2-3 vaporizzazione del liquido. In questa fase il calore assorbito dall’acqua viene interamente assorbito dal calore latente di vaporizzazione, di conseguenza la temperatura rimarrà costante durante tutta la fase di vaporizzazione. La trasformazione si dice isotermobarica ed è rappresentata dal tratto orizzontale (2-3) sul piano T − s, e dalla retta (2-3) tangente alla curva limite inferiore sul piano h − s; 3-4 surriscaldamento del vapore saturo. Una volta terminata la fase di vaporizzazione la temperatura ricomincia ad aumentare lungo l’isoterma di surriscaldamento (3-4).

Figura 5.2: Estratto delle tabelle del vapore. Il calore complessivamente assorbito dall’acqua può essere calcolato applicando il primo principio per sistemi aperti (q + l = ∆h), tra le condizioni di ingresso ed uscita dalla caldaia. Ricordando che il lavoro scambiato è nullo (l = 0), ed utilizzando i dati di entalpia ricavati dalle tabelle del vapore surriscaldato (Fig. 5.2) si ottiene q = h4 − h1 = 2962 kJ/kg − 254 kJ/kg = 2707 kJ/kg

(5.1)

Si osservi che le tabelle del vapore generalmente riportano nella stessa tabella i dati relativi sia al vapore surriscaldato (T > Tsat) sia all’acqua liquida (T < Tsat ), mentre i valori relativi al fluido in transizione di fase sono tabellati separatamente. 7

Esercizio 6 Un contenitore rigido e chiuso contiene 10 kg di acqua ed 1 kg di vapore in condizioni di equilibrio alla pressione di p1 = 1 bar. Viene fornito calore al sistema fino al raggiungimento di una pressione p2 = 5 bar. Calcolare la quantità di calore fornita al sistema ed il titolo del vapore nelle condizioni iniziali e finali.

Soluzione La trasformazione può essere efficacemente rappresentata nel piano termodinamico p − v come effettuato in Fig. 6.1, dove si può osservare che l’aumento di pressione a volume costante porterà ad aumento del titolo della miscela. p

Curva limite inferiore Curva Limite Superiore

Vapore saturo p2

2

1

p1

v

Figura 6.1: Rappresentazione della trasformazione sul piano p − v . Il titolo nelle condizioni iniziali è pari al rapporto tra la massa di vapore mv 1 e quella totale mtot = mv 1 + ml1 : x1 =

mv 1 = 0, 09 mtot

(6.1)

Poichè il volume del contenitore non cambia, e non vi sono scambi di massa con l’ambiente, si avrà che il v1 = v2 . In entrambi gli stati il volume specifico della miscela si può calcolare come media pesata dei volumi specifici del liquido saturo e del vapore saturo v1 = x1 vv 1 + (1 − x1 )vl1 = x2 vv 2 + (1 − x2 )vl1 = v2

8

(6.2)

Figura 6.2: Estratto delle tabelle del vapore saturo. Dalle tabelle del vapore saturo, di cui è riportato un estratto in Fig. 6.2, si ricavano i valori dei volumi specifici in corrispondenza delle curve limite: vl1 = 0, 001043 m3 /kg vl2 = 0, 001093 m3 /kg vv 1 = 1, 6940 m3 /kg

(6.3)

vv 2 = 0, 3748 m3 /kg Sostituendo i valori nell’eq. 6.2 e risolvendo per x2 si ottiene: x2 =

x1 vl1 + (1 − x1 )vv 1 − vl2 = 0, 408 vv 2 − vl2

(6.4)

Il calore somministrato al sistema si calcola attraverso il primo principio per sistemi chiusi, nell’ipotesi di lavoro nullo ∆U = Q + L = Q

(6.5)

La variazione di energia interna può essere calcolata come ∆U = mtot(u2 − u1 ), dove l’energia interna specifica iniziale e finale è calcolata per interpolazione dalle tabelle del vapore. u1 = x1 uv 1 + (1 − x1 )ul1 u2 = x2 uv 2 + (1 − x2 )ul2 9

(6.6)

Se nelle tabelle del vapore a disposizione i valori dell’energia interna non fossero direttamente tabellati, come nel caso di Fig. 6.2, possono essere ricavati dal valore dell’entalpia attraverso la definizione di entalpia stessa h = u + pv: uv 1 = hv 1 − p1 vv 1 = 2675 × 103 J/kg − 1 × 105 Pa1, 694 m3 /kg = 2506 × 103 J/kg ul1 = hl1 − p1 vl1 = 417 × 103 J/kg

(6.7)

3

uv 2 = hv 2 − p2 vv 2 = 2561 × 10 J/kg ul2 = hl2 − p2 vl2 = 812 × 103 J/kg Si presti particolare attenzione all’utilizzo delle unità di misura nelle eq. 6.7, J per l’energia e Pa (anzichè bar) per la pressione, al fine di ottenere la’omogeneit‘a dimensionale dell’equazione. Utilizzando infine i valori in eq. 6.7, l’eq. 6.6 ed il primo principio per sistemi chiusi si ottiene il calore scambiato Q = ∆U = mtot(u2 − u1 ) = 2278 kJ

10

(6.8)...