Esercizi svolti - Amplificatori operazionali in retroazione negativa - a.a. 2015/2016 PDF

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Esercizi - Fondamenti di elettronica...

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Cap. IV: Amplificatori Operazionali in retroazione negativa

Esempi ed Esercizi Vengono presentati esempi di analisi e di progetto di circuiti elettronici contenenti Amplificatori Operazionali (Op. Amp.) connessi in retroazione negativa. Negli esempi trattati si farà riferimento ad Op. Amp. ideali. Seguono alcune analisi che fanno riferimento ad Op. Amp. reali. 1. Calcolare il guadagno dell’amplificatore per strumentazione elettronica riportato in figura e già introdotto in slide 23

v1

+

va R4

R3

R2 i

2 R1

+

R2 v2

R3

R4

v0

vb

+

massa

amplificatori non invertenti Il circuito risulta formato da un amplificatore differenziale i cui ingressi va e v b sono le tensioni di uscita degli amplificatori non invertenti di ingresso alimentati dalle tensioni v1 e v 2. La tensione di uscita vale:

v

R4 v v R3 b a

o

Poichè gli amplificatori di ingresso non assorbono corrente, fra le tensioni va e v b vale la relazione:

va

vb

2 R2

2 R1 i

vb

va

2R 2

2 R1 i

da cui: L’Op Amp riporta i valori delle tensioni di ingresso ai terminali della resistenza centrale 2R 1, da cui la corrente:

i

v 2 v1 2R1

Sostituendo:

vb va

2 R2 2 R1

v2 v1 2R1

vo

R4  v2 v1   2 R 2 2 R1  R3  2 R1 

da cui:

vo

R4 R3

 1 

R2 R1

  v 2 v 1  Cap. IV, Esercizi, pag. 25

2. Analizzare l’amplificatore invertente di figura valutandone il guadagno ed effettuando un bilancio energetico fra la potenza elettrica in ingresso ed in uscita, nell’ipotesi di avere in ingresso: (a) un segnale in continua (b) un segnale (co)sinusoidale di pari ampiezza

RF

R

if

-

is

vs

Dati : R 2k R F 8k

io

+

vo

iL

RL

RL

12 k

a) continua

if

vo

v RF

vo RF

12 A 8 103

PS

Potenza erogata dalla sorgente:

Potenza erogata al carico:

8 3 2

RF v R s

vo

Tensione di uscita:

PL

Potenza dissipata sulla retroazione:

vo il

PF

12V

1.5mA

v s is

3 1.5 10

vo RL

v o2 RL

vo i f

vo

vo

is

3

122 12 103

vo RF

vo2 RF

4.5 mW

12mW

12 2 8 103

18mW

N.B.:PF+P L =30mW vengono forniti dall’Op.Amp. tramite l’alimentazione. L’Op. Amp. infatti eroga la corrente io = il+i f = –1.5–1 = –2.5mA alla tensione v o = –12V, corrispondenti alla potenza di 30mW b) sinusoidale Trattandosi di segnali sinusoidali in reti resistive non si inducono sfasamenti (cos =1), per cui le potenze dissipate, con riferimento ai fasori rappresentativi delle ampiezza dei segnali sinusoidali, valgono rispettivamente:

PS

VS I S 2

2 .25 mW

PL

2

6mW

PF

2

9mW

Cap. IV, Esercizi, pag. 26

Dato il circuito di figura, avente in ingresso la tensione corrente e la potenza elettrica dissipata nella resistenza

R2 R1

if

-

si calcoli la

Dati : R 1

2k

R3

R4

5k

R2 6k

8k R5

30k

R3

is

vs

+

R2 vs R1

vo

Tensione di uscita:

R3

R 4 R5 vo R 4 R5

Corrente attraverso R5 :

Potenza dissipata sulla resistenza R 5:

8 cos t 3 2

P5

5 5

5

i5

v5 R5

v 5 i5

12 cos

t

6 cos t 30 10 3

2

R5

i5

?

12cos t

R4 R5 R 4 R5

R4 R5

Tensione ai terminali di R5:

v5

R4

vo

6 30 6 30 6 cos

5k

t

0 .2 cos t [ mA ]

6 0 . 2 10 2

3

0. 6mW

Si progetti un amplificatore invertente con resistenza di ingresso 20k 40dB.

e guadagno

Nell’amplificatore invertente (riportato in slide 14) la resistenza di ingresso si identifica con la resistenza R, che viene assunta =20k . Essendo inoltre il guadagno in modulo pari a 40dB=100, per soddisfare la specifiche di progetto basta inserire nello schema di riferimento una resistenza di retroazione di valore: R F = 100R = 2000k = 2M Si progetti un amplificatore non invertente con guadagno 40dB. Nell’amplificatore non invertente (slide 14) la resistenza di ingresso si identifica con la resistenza di ingresso dell’Op. Amp e risulta . Essendo inoltre il guadagno in modulo pari a 40dB =100 = 1 + ( RF/R S ), per soddisfare la specifica di progetto scelta (sempre con riferimento allo schema

Cap. IV, Esercizi, pag. 27

riportato in slide 14) una R = 20k (ad esempio) basta imporre una resistenza di retroazione di valore: R F = ( 100 – 1 )R = 1980k = 1.98M . 6. Con riferimento al sommatore di figura, calcolare la tensione di uscita e la corrente erogata dall’Op. Amp. a vuoto ed in presenza di un carico

Dati : R1

1k

R2

2k

RF

3k

; v1

2 sin(1000 t ) v2

4 sin( 2000 t)

RF R1

if

i1

? vo

i2

v2

io

+

R2

v1

iL

?

RL

massa

Soluzione (si applichi la sovrapposizione degli effetti):

RF v1 R1

vo

RF v2 R2

6 sin(1000 t ) 6 sin( 2000 t ) V

a) in assenza di carico:

io

if

vo RF

6 sin(1000 t ) 6 sin(2000 t ) 3 10 3

2 sin(1000 t) 2 sin(2000 t) mA

b) in presenza di carico:

io

if

iL

vo RF

vo RL

6 sin(1000 t ) 6 sin( 2000 t ) 3 103

6 sin(1000 t ) 6 sin( 2000 t) 60

6 sin(1000 t ) 6 sin( 2000 t) 60

100 sin(1000 t) 100 sin( 2000 t) mA

Cap. IV, Esercizi, pag. 28

7. Si progetti un traslatore di livello del tipo illustrato in slide 19 atto ad eliminare la componente continua del segnale di ingresso v i(t)=1.8+0.1cos( t) e ad amplificare di un fattore 20 la componente cosinusoidale.

RF RS

if +

vi

vo

Vref

?

massa Il circuito assume la forma di figura. La tensione in uscita vale:

vo

  RF  RF RF  RF  1  Vref Vref v i  1 1. 8 0.1cos t R R R R S S S S     1 20 Vref 20 1. 8 0.1cos t 21Vref 36 2 cos t

dove si è assunto RF/R S=20 per garantire l’amplificazione del segnale cosinusoidale richiesta dalle specifiche del problema. Per eliminare la componente continua in uscita occorre soddisfare l’equazione:

21V 36 0 ref che definisce il valore Vref=1.71V da applicare all’ingresso non invertente dell’Op Amp.

Cap. IV, Esercizi, pag. 29

8. Analizzare la risposta in frequenza caso particolare in cui siano

V

del circuito di figura nel caso generale e nel

e

C1

R1

R2 +

Vi

C

Vo

Dati: R 1 =10k R 2 =0.1k C 1=C2 =1 F

2

massa Si ha in generale:

V

Vi

Vo / 1 j C1

1/ j C 2 R2 1 / j C2 V / 1 j C1

Vi

V R1

1

1 j R2 C2

 V  j C 1 

Vo - V 1 / j C1

V

1  R1 

V

1 j /

1 1

j R1C1 R1

1

1

V R1

j R1C1 R1

1 Vi 1 j R2 C 2

da cui la risposta in frequenza:

HV( j )

Vo Vi

1 1 j R1 C1 j R1 C1 1 j R2 C2

1

j / j /

1 2

1 1 2 10 2 rad / s 10 4 rad / s R1C1 R2 C2 il cui modulo viene riportato in figura (diagramma di Bode) 1

H v ( j ) dB

1

2

ottenuto sommando i diagrammi asintotici delle funzioni elementari: 1 j /

1 1 dB

j /

1 1 dB

1

j /

2 dB

Cap. IV, Esercizi, pag. 30

Nel caso particolare citato la risposta in frequenza diventa:

Vo Vi

H V( j )

j RC j RC

1 1 j RC 1

1

1 j /

j RC

0

dove 0=1/RC, ed il circuito opera come un integratore non invertente ( si osservi che nel dominio delle frequenze la divisione per j corrisponde ad una integrazione). Infatti, per v i V i cos t si ottiene in uscita:

vo

 Vi  Re    j ω / ω0 

Vi /

1  Vi   sin t  RC  

cos t 90 0

1 v dt RC ∫ i

9. Analizzare la funzione di trasferimento del circuito di figura per una variazione lineare della tensione di ingressi da 0 a 10V.

RF

R1

Dati: V Z = 3V R 1 = R 2= R F=R

R2 +

vi

vo

VZ massa

Per vi VZ =3V il diodo Zener è in interdizione, l’Op Amp non assorbe corrente di ingresso e le resistenze R2 ed R 1 ( e di conseguenza RF ) non sono percorse da corrente per cui:

v

i

v

v

v

o

Per vi VZ =3V il diodo Zener è in conduzione e stabilizza al valore V Z la tensione all’ingresso invertente dell’Op Amp, per cui:

v

v

VZ

vo 3

vi VZ R1 vo

3

vi

vo

vi VZ R

VZ RF

2V Z

vi 10

v o VZ R

6

vi

4

Cap. IV, Esercizi, pag. 31

10.

Con riferimento al circuito di figura: si analizzi la risposta in frequenza H V(j ) e si disegnino i diagrammi di Bode del modulo e della fase assumendo RC = 11 s; b) dal diagramma di Bode, senza eseguire calcoli esatti, si valuti la v O (t) 4 corrispondente a v i(t) = 0.5 + V icos(10 t)

a)

C 10 R

R R +

Vi

Vo

10 R

10 C

massa a) il circuito è riconducibile al seguente schema generale:

Z1

Z2

Z3

+

Vi

Vo

Z4

massa R 1 j RC

Z1

Z2

Z3

10 R

R

10 R

Z4

1

j 100 RC

per cui:

Vo

Vo

V - Z1

Z2 Z1

Vi

Z4 Z3

Z1 Z2 Z4 Z1

10 R R 10 R 1 j 100RC 1 j RC Vi 10R R R 1 jω100 RC 1 j RC

perchè:

Vi

V

Vi

Z4 Z3

Z4

V

10 11 j 10RC 11 j 100RC Cap. IV, Esercizi, pag. 32

La risposta in frequenza:

Hv ( j )

10 1 j / 1 j /

11 10RC

2 2

1

105 rad / s

1

11 100 RC

10

1 j /

2 dB

10 4 rad / s

2

viene riportata nei diagrammi di Bode:

H v ( j ) dB

10 dB

20

0

10

1 1

1

10

2

[ rad / s ]

2

20 1

j /

1

1 dB

Hv ( j )

1

j /

2

90 45 0

10

1 1

1

10

2

2

[ rad / s ]

45 90 1 1 j

/

1

4 c) per la componente co(sinusoidale) a frequenza 10 rad/s dal diagramma di Bode si evince un modulo pari a 20dB (guadagno pari a 10) ed una fase di -45°, per cui l’ampiezza del segnale di ingresso viene moltiplicata per 10 e la fase traslata di -45°. Anche la componente continua della tensione di ingresso viene amplificata con guadagno 10, ma senza traslazione di fase (si osservi che in continua le capacità sono assimilabili a dei circuiti aperti ed il circuito è quindi riconducibile ad un amplificatore non invertente. Per sovrapposizione degli effetti il segnale di uscita diventa: v o t( ) 5 10Vi cos 104 t 45

11. Con riferimento all’amplificatore di figura: ; a) determinare il guadagno b) supponendo di avere disponibili resistori commerciali fino ad un valore massimo di 1M , e guadagno si dimensionino le resistenze in modo da avere resistenza di ingresso

Cap. IV, Esercizi, pag. 33

R

i3

3

vx

i2

i1

R R

4

i4 2

R1

vi

v

massa

o

a) nell’ipotesi di Op Amp ideale v =massa virtuale, per cui indicando con vx la tensione al nodo x:

 i1  i 2

 vi R  1   vx  R2

i2 i4

i3

vx R2 vo

vx

vx

R4

R3

 v x   v  o 

R2 v R1 i  1 R4   R4

1 R3

1  v R 2  x

da cui:

Av

vo vi

R2 R1

 R4 1  R3

R4   R 2 

b) poiché nello schema di figura R i R 1=1M , rimangono da determinare le resistenze R2,R 3,R4. Una possibile soluzione per soddisfare le specifiche consiste nel fissare R2 =R4 =1M e determinare il valore di R3 imponendo il guadagno di 40dB, corrispondente ad Av=100. Si ottiene:

Av

100

106 106

 10 6 1 R3 

10 6 10 6

  

100 1

10 6 1 R3

R3

10 6 98

10 .2 k

Si osservi che per ottenere le stesse specifiche utilizzando lo schema base dell’amplificatore invertente occorrerebbe una resistenza di feedback RF =100M , non facilmente disponibile..

12. Con riferimento all’amplificatore di figura, calcolare il guadagno di tensione.

Cap. IV, Esercizi, pag. 34

Similmente a quanto fatto nell’esercizio precedente, si procede alternando equazioni delle correnti ai nodi e legge di Ohm.

Vin I1 R 0 R I1

Iin Vx

Vin

Si calcolano quindi I 2 , I3 e Vy :

I3

Vx Vin I1 R R I1 I2 2 I1

Vy

Vx

I2

R I3

Vin 2Vin

3Vin

Infine, si calcolano I4 , I5 e V out:

Vy

3Vin R R I 3 I 4 5I 1

I4 I5

Vout Vout

R I5

3 I1 3Vin 5Vin

8Vin

Il guadagno di tensione vale pertanto -8 V/V.

Esempi con Op. Amp. Reali 13. Si consideri un amplificatore operazionale reale la cui unica non idealità sia il guadagno ad anello aperto finito pari ad A. Si analizzino il guadagno ad anello chiuso per l’amplificatore invertente e non invertente. a) Amplificatore invertente

La relazione ingresso-uscita ad anello aperto imposta dall’operazionale è:

vout

A v

v

ma nel caso in questione v +=0, per cui:

vout

A v Cap. IV, Esercizi, pag. 35

L’equazione delle correnti al nodo invertente:

vin v R1

v

v out R2

può allora scriversi come:

vout A

vin

vout v out A R2

R1

dalla quale è immediato ricavare:

R2 vin R1

R2 vout R1 A

vout A

vout

e quindi:

vout vin

R2 R1

1 R2  1  1  1  R1  A 

che restituisce la nota espressione del guadagno per l’amplificatore invertente qualora si consideri A ∞

b) Amplificatore non invertente

La relazione ingresso-uscita ad anello aperto imposta dall’operazionale è:

vout

A v

v

ma nel caso in questione v +=v in, per cui:

vout

A (v in v )

ovvero:

v

vin

1 v A out Cap. IV, Esercizi, pag. 36

L’equazione delle correnti al nodo invertente:

v R1

vout v R2

può allora scriversi come:

vout A

vin

vout vin

vout A

R2

R1

dalla quale è immediato ricavare:

R   2 1  vin  R1 

vout A

R2 1 v out R1 A

vout

e quindi:

vout vin

 1 

R2   R1 

1  1  1 

R2 R1

 1   A

che restituisce la nota espressione del guadagno per l’amplificatore invertente qualora si consideri A ∞

14. Si consideri un amplificatore operazionale reale le cui uniche non idealità siano il guadagno ad anello aperto e la banda passante finiti, secondo l’espressione:

A0

A j 1

j b

Si analizzino le funzioni di trasferimento ad anello chiuso per l’amplificatore invertente e non invertente. a) Amplificatore invertente

Il risultato ottenuto in precedenza può essere generalizzato, per cui: Cap. IV, Esercizi, pag. 37

vout vin

R2 R1

1 1  R2  1  1  R1  A( j ) 

Sostituendo l’espressione di A nell’equazione si ottiene:

vout vin

R2 R1

1  1 j  R2    1  1 R1  A0 

  b 

e quindi:

v out v in

R2 R1

1  1  1 

R2 R1

 1   A0

j A0

b

 R2   / 1 R1  

che, considerando il fatto che A0>>(1+R 2/R 1), può scriversi:

1 R2 R1 1 j

vout vin

0

in cui:

A0

0

b

R 1 2 R1

essendo

t

t

R 1 2 R1

il prodotto guadagno-banda accennato in slide 51.

b) Amplificatore non invertente

In maniera del tutto analoga, si ricava:

vout vin

 R2  1   1 R1  1 j  0

Cap. IV, Esercizi, pag. 38

in cui:

A0 0

1

b

t

R2 R1

R2 R1

1...