Examen 15 Noviembre 2017, preguntas y respuestas PDF

Preview

Summary

Universidad Católica del Norte-Departamento de Matemáticas Pauta Segunda Prueba de Cátedra DAMA389-DAMA410 15 de noviembre de 2017 Nombre...........................................................Rut.....................Puntaje.................... 1. Considere la función f : R2 ! R de…nida por f (x;...

Description

Universidad Católica del Norte-Departamento de Matemáticas Pauta Segunda Prueba de Cátedra DAMA389-DAMA410 15 de noviembre de 2017 Nombre...........................................................Rut.....................Puntaje.........Nota............ 1. Considere la función f

R2 ! R  2

:

de…nida por

xy

f (x; y )

i) [8 puntos]

x2 +y 4

=

;

0;

6

si

(x; y ) = (0; 0)

si

(x; y ) = (0; 0)

¿ Es la función f continua en

(0; 0)

? Justi…que.

Solución: Tenemos que

!

lim

(x;y )

(0;0) x=0

f (x; y )

=

=

0

!

0 y4

lim

y

=

 

2 0

!

lim

y

y

02 + y 4 0

0

y

!

lim

(x;y )

(0;0)

f (x; y )

=

x=y

= = =

2xx

!

0 x2

!

0 x2 (1

!

0

lim

x

2x 2

lim

x

lim

x

2

2

=

!

lim

!

lim

(x;y )

(0; 0) :

iste. Por lo tanto, f no es continua en Sea y

+ x2 )

1 + x2

Como ambos límites son distintos, entonces

Usando rectas:

+ x4

(0;0)

f (x; y ) no ex-

mx: Entonces

(x;y ) (0;0) y =mx

f (x; y )

=

= =

2mx2

!

0 x2

!

0

lim

x

lim

x

+ m4 x 4 2m

1 + m4 x 2

2m

Como el límite depende de m; el límite no existe. función no es continua en

(0; 0) :

1

Por lo tanto la

Usando coordenadas polares:

!

lim

(x;y )

(0;0)

f (x; y )

=

x

=

r

cos ; y =

!

=

!

0 r2

4

0 cos2 

4

+ r 2 sin

@f

(0; 0)

@x

Solución: @f

!

f (0

(0; 0) = lim h

@f @x

(0; 0)

@x

@y

h

(0; 0)

!

=

@y

iii) [4 puntos]



f (0; 0)

 0

2h 0 h2 +04

h

!

0

!

0h

lim

h

h

0

(0; 0) = 0

=

@f

(0; 0) :

+ h; 0)

lim

(0; 0) = lim

@f

@f @y

h

=

@f

@y

y

0

=

@f

Por lo tanto la

(0; 0) :

Hallar, si existen,

@x



cos 

Como el límite depende de ; el límite no existe.

ii) [6 puntos]



2 cos  sin 

2 sin 

=

función no es continua en

Entonces

cos2  + r 4 sin

lim

r

sin :

2r 2 cos  sin 

lim

r

r

f (0; h)

0



f (0; 0)

h

!

  0

20h 02 + h 4

lim

h

!

0

lim

h

h

0

0h

(0; 0) = 0

¿ Es la función f diferenciable en

(0; 0)

? Justi…que.

Solución: Como la función no es continua en enciable en

iv) [6 puntos] el punto

(0; 0) ;

entonces la función no es difer-

(0; 0). Hallar la ecuación del plano tangente a la grá…ca de f en

(1; 1; 1) :

Solución: Un vector normal al plano tangente es

n = (

@f @x

2

(1; 1) ;



@f @y

(1; 1) ; 1)

Por otro lado, tenemos que @f @x

@f @y

(x; y) =

(x; y) =

2y 5

2

2

x y

( x2 + y 4 ) 2x 3

6

2

xy

4

2 ( x2 + y 4 )

Entonces @f @x @f @y Entonces

(1; 1) = 0

(1; 1) =

1

n = (0; 1; 1)

Luego, La ecuación del plano tangente es

(x

 1  1  1)  (0 1 1) = 0 ;y

;z

Es decir, y

3

+z =2

;

;

p

2. [8

puntos] Usando la aproximación lineal de una función de dos variables en un punto adecuado (a escoger), aproxime el valor de 12 3 7; 99e0;01 : No puede usar calculadora.

Solución: Sea f (x; y )

= 12

f (7:99; 0:01)

= 12

f

(x0 + h; y0 + k )

3

y

7; 99e

0;01

en (x0 ; y0 ) está dada por

f



xe

p

Entonces

La aproximación lineal de

p

f

( x0 ; y 0 ) +

@f @x

( x0 ; y 0 ) h +

@f @y

( x0 ; y 0 ) k

donde (x0 ; y0 ) y (h; k ) se deben elegir de manera que (x0 + h; y0 + k ) = (7:99; 0:01) Entonces podemos elegir (x0 ; y0 ) = (8; 0) (h; k ) = (

0 01 0 01) :

;

:

de esta manera tenemos que f (7:99; 0:01)

p

= 12

3

7; 99e



0;01

f

(8; 0)+

Por otro lado @f @x @f @y

(x; y) = 4x

2

(x; y) = 12

@f @x

3

=

e

p3

xe

(8; 0) (

0 01)+ ;

@f

@y

(8; 0) (0; 01)

y

y

Entonces @f @x @f @y

Entonces f (7:99; 0:01)

= 12

p 3

(8; 0) = 1

(8; 0) = 24

 24 + 1  (0 01) + 24  (0 01) p3 12 7 99 0 01  24 23 7; 99e

0;01

;

4

e

;

;

;

;

3. Sea z

=

 1 2 2 xy 2 x +y e :

i) [4 puntos]

Suponga que

Determine

@z @u

x

=

u

+v

y

=

u

v



usando la regla de la cadena

Solución: Tenemos que @z @u

=

@z @x



@x @u

+



@z @y

@y @u

Como @z @x @z @y

xy + 1 y x2 + y 2  exy

=

xe

=

xy + 1 x x2 + y 2  exy ye

2

2

@x @u

=

@y @u

=1

obtenemos @z @u

=

@z @x

+

@z @y

xy + 1 y x2 + y 2  exy + yexy + 1x x2 + y 2  exy

=

xe

=

1 2 xy 2  xy (x + y ) e + x +y e (x + y )

=

xy (x + y ) e

2

2

 2

Entonces @z @u



1+

= 2ue

5

 1 2 2 x +y 2

u2 v 2 1 + u2 + v 2 

@z ii) [4 puntos] Determine @u sin usar la regla de la cadena Solución:

Sustituyendo se obtiene que

z

1

=

2 1

 2  x + y 2 exy

=

 2  2 2 u + v 2 e u v  2 2  2 u + v 2 e u v

=

2ue

u2 v 2 + u2 + v 2  eu2 v 2 2u

=

2ue

2 2

=

Entonces

@z @u

u2 v 2 1 + u2 + v 2 

iii) [6 puntos] Mostrar que

@2z @u@v

@2z @x2

=

2

 @@yz2

Solución:

@2z @u@v

=

@2z @v@u   @ @z @v @u  @  u 2 v 2  2 2 1+u +v 2ue @v  @  u 2 v 2  2 2 2u 1+u +v e @v h 2 2 i   2 2 2u eu v  (2v ) 1 + u2 + v 2 + 2veu v

=

4uve

= = = =

  u2  v 2 + 1



  2 u + v2

=

4uveu2 v2

=

 1  @ xexy + y x2 + y 2 exy @x 2

=

exy + xyexy + y

=

exy

Por otro lado

@2z @x2

u 2 v 2  1



1

2



1 + 2xy +

6



2xe

xy + y x2 + y 2  exy 



 y2  2 x + y2 2



@2z @y2

= = =

@ @y



yexy +

1 2





x x2 + y 2 exy



   1  exy + xyexy + x 2yexy + x x2 + y 2 exy 2    x2  2 2 exy 1 + 2xy + x +y 2

Entonces

@2z @x2

2

 @@yz2

1

=

2 1

=

2



exy x2 + y 2

@2z @u@v

=

7

 x2



 2 2  eu v 2 u2 + v2 (4uv)

4uveu2 v2

=

 2 y

  2 u + v2

4. Considere la función

g

de…nida por

g (x; y; z )

=

ze

p

xyz :

p

@g i) [4 puntos] Calcular @u (1; 0; 1) donde u = 22 i  22 k: Solución: rg(x; y; z ) = z 2 yexyz ; z2 xexyz ; exyz + xyexyz



Entonces



rg(1; 0; 1) = (0; 1; 1)

Entonces @g @u

(1; 0;

1)

rg(1; 0; 1)  u p p ! 2 2 = (0; 1; 1)  ; 0;  2 2 p 2 @g (1; 0; 1) =  =

2

@u

ii) [4 puntos] Determine la dirección de máximo crecimiento de

el punto

g

desde

(1; 0; 1) :

Solución:

Tenemos que

rg(x; y; z ) =



2

z ye

xyz ; z 2 xexyz ; exyz + xyexyz



La dirección de máximo crecimiento está dada por

rg(1; 0; 1) = (0; 1; 1) iii) [6 puntos] Sea

S

la super…cie de nivel de…nida por

S

=



(x; y; z )

2 R3 =g(x; y ; z) = 1

Determine la ecuación del plano tangente a

S



en el punto

(1; 0; 1) :

Solución:

Un vector normal a la super…cie en el punto dado es n

=

rg(1; 0; 1) = (0; 1; 1)

Entonces la ecuación del plano es (x

 1; y  0; z  1)  (0; 1; 1) = 0

Es decir y

+z =1

*******************************************************************************************

Cálculo de la Nota: Si P es el puntaje obtenido, entonces la nota N se obtiene

de la siguiente manera:

N

 =

si 0  P  36 si 36  P  60

1 12 P + 1; 1P 1; 2 8



8...