Examen 2017, preguntas y respuestas PDF

Preview

Summary

Ay: Isadora Navarro 1 Pauta Control N◦ 2 [Paralelo de Vargas] ´ MAT 186 - Algebra Lineal 1. Considere el plano π : x − y + z = 1 y el punto P = (−1, 1, −3). a) Determine la ecuaci´on cartesiana de la recta l que pasa por P y es paralela a π. Soluci´ on: Recordemos que una recta es paralela a un plan...

Description

1

Ay: Isadora Navarro

Pauta Control N◦ 2 [Paralelo de Vargas] ´ Lineal MAT 186 - Algebra

1. Considere el plano π : x − y + z = 1 y el punto P = (−1, 1, −3). a) Determine la ecuaci´on cartesiana de la recta l que pasa por P y es paralela a π . Soluci´ on: Recordemos que una recta es paralela a un plano, cuando el vector normal del plano es perpendicular al vector director de la recta. Luego, si vD = (a, b, c) es el vector director de la recta, debe cumplirse que: (1, −1, 1) · (a, b, c) = 0 ⇔ a − b + c = 0 De lo anterior, se tiene que hay infinitos vectores que cumplir´ıan dicha condici´on. En particular, podemos considerar el vector director vD = (1, 1, 0) el cual satisface la igualdad anterior. Y considerando ese vector y el punto P , se tiene que la ecuaci´on de la recta L es: L : (x, y, z) = (−1, 1, −3) + λ(1, 1, 0)

λ∈R

b) Determine Q ∈ R3 , tal que d(P, π) = d(Q, π), y la recta que une P con Q sea perpendicular a π . Soluci´ on: → La recta que une P con Q debe tener por vector director − v a cualquier vector → n = (1, −1, 1). En particular, paralelo al vector normal del plano π, el cual es − → → podemos elegir − v =− n , obteniendo que la ecuaci´on de la recta que une P y Q es: L2 : (x, y, z) = (−1, 1, −3) + λ(1, −1, 1)

λ∈R

Sea Q = (a, b, c) el punto pedido y R = (x, y, z) el punto de intersecci´on entre L2 y π. Como R ∈ L2 , se tiene que x = −1 + λ; y = 1 − λ; z = −3 + λ

2 pero adem´as, como R ∈ π, sus coordenadas satisfacen la ecuaci´on del plano. Es decir, −1 + λ − (1 − λ) + (−3 + λ) = 1 De donde se obtiene que λ = 2. Y as´ı, R = (1, −1, −1). Por otro lado, note que R es el punto medio de P y Q, as´ı que este punto es de la forma:   a−1 b+1 c−3 , , R= 2 2 2 De ac´a se deduce que a = 3; b = −3; c = 1 ∴ Q = (3, −3, 1)

− → → → → → → → 2. Sean − u ,− v ,− w 3 vectores en R3 tales que ||u|| = 2, ||v|| = 3, ||w|| = 4 y − u +− v +− w = 0. − → − → − → − → − → − → Determine los ´angulos entre u y v , u y w , y v y w Soluci´ on: − → → → → → → Recordemos que − u ·− u = ||u||2 . Sabiendo esto y la condici´on − u +− v +− w = 0 , po→ u , se obtiene que: demos obtener 3 nuevas ecuaciones. Si multiplicamos la ecuaci´on por − − → → → → − → u +− v +− /·− w = 0 u − → − → − → − → − → − → u · u + v · u +w· u = 0 → → → → ||u||2 + − v ·− u +− w ·− u = 0 − → − → − → − → (1) 4+ v · u + w · u = 0 → Si multiplicamos la ecuaci´on por − v , se obtiene que: − → → → u +− v +− w − → − → − → − → − → − → u · v + v · v +w· v − → → → → v u ·− v + ||v||2 + − w ·− − → − → − → − → u · v +9+ w · v

− → = 0 = 0 = 0 = 0

→ v /·−

(2)

→ w , se obtiene que: Por ´ultimo, si multiplicamos la ecuaci´on por − − → → → → − → u +− v +− /·− w = 0 w − → − → − → − → − → − → u · w+ v ·w+w· w = 0 − → → → → u ·− w +− v ·− w + ||w||2 = 0 − → → → → w + 16 = 0 (3) u ·− w +− v ·− → → → → → → Si llamamos x = − u ·− v,y=− u ·− w yz=− v ·− w , y reordeamos las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

3

Ay: Isadora Navarro

x + y = −4 x + z = −9

y + z = −16

3 11 21 Cuya soluci´on es x = , y = − , z = − . Luego, hay que recordar cu´al es la f´ ormula 2 2 2 para calcular el a´ngulo y reemplazar (ustedes calculan el valor exacto con calculadora, me interesa el procedimiento): 

     u·v x 1 ∠(u, v) = arc cos = arc cos = arc cos ||u||||v || ||u||||v || 4       y 11 u·w = arc cos = arc cos − ∠(u, w) = arc cos ||u||||w|| ||u||||w|| 16       z 7 v·w = arc cos = arc cos − ∠(v, w) = arc cos ||v ||||w|| ||v ||||w|| 8 3. Una part´ıcula sale desde el punto (1,3,0) con direcci´ on dada i − j + 3k, con una rapidez de 1 metro/seg. Determine el tiempo en que alcanza el plano 2x + y + z − 1 = 0. Soluci´ on: Para calcular esto, en primer lugar debemos encontrar la recta L que describe el movimiento de la part´ıcula. Notar que P = (1, 3, 0) es el punto por donde pasa y i − j + 3k representa el vector director de la recta, luego: L : (x, y, z) = (1, 3, 0) + λ(1, −1, 3) de donde se desprende que x = 1 + λ , y = 3 − λ y z = 3λ (∗). Adem´ as, hay que recordar que en f´ısica, se tiene que la velocidad es equivalente a la distancia sobre el d tiempo, y despejando, se tiene que t = , y como la velocidad es 1, entonces el tiempo v va a valer lo mismo que la distancia. Luego, para conocer el tiempo que se demora la part´ıcula, basta con calcular la distancia entre la part´ıcula y el plano, y para eso, lo que haremos es calcular el punto de intersecci´ on de L con el plano, al que le llamaremos R y −→ luego, calcularemos el vector P R, cuya norma (magnitud) es lo que nos estan pidiendo. Como R pertenece a la recta L, cumple con las igualdades que aparecen en (∗) y como adem´ as pertenece al plano, cumple con la ecuaci´on del plano. Luego, 2(1 + λ) + (3 − λ) + 3λ − 1 = 0

4 , de donde se tiene que λ = −1. Reemplazando dicho valor, se obtiene que R = (0, 4, −3). −→ Ahora, vamos a calcular el vector P R = R − P = (0, 4, −3) − (1, 3, 0) = (−1, 1, −3). Para finalizar, se calcula la magnitud de dicho vector p √ −→ ||P R|| = (−1)2 + (1)2 + (−3)2 = 11 √ Por lo tanto, el tiempo que se demora la part´ıcula en alcanzar el plano son 11 segundos (3,31 segundos aproximadamente)...