Examen 2018, preguntas y respuestas PDF

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Universidad Católica del Norte Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Pauta Tercer Control de Cátedra Cálculo 3 MA-389-410 27 de Julio de 2017 Profs. Iván Jirón, Michel Molina, Felipe Mondaca y Juan Carlos Egaña Nombre: Rut: Profesor: Observaciones: Apague su teléfono celular; No se acepta...

Description

Universidad Católica del Norte Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas

Pauta Tercer Control de Cátedra Cálculo 3 MA-389-410 27 de Julio de 2017 Profs. Iván Jirón, Michel Molina, Felipe Mondaca y Juan Carlos Egaña

Nombre:

Rut:

Profesor:

Observaciones: Apague su teléfono celular; No se aceptan preguntas durante la prueba; To-

P

das las respuestas deben estar debidamente justi…cadas; Dispone de 90 minutos para responder la prueba; La nota de la prueba se calcula según la fórmula

N ota

=

puntos obtenidos

4

+ 1.

Preguntas: 1. Determine si las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas. En cualquier caso, justi…que debidamente su respuesta. Esto es, si es verdadera, debe demostrarlo; si es falsa, basta dar un contra ejemplo. (a) (2.0 puntos) Si

S

es la super…cie cerrada orientada por un vector normal unitario

que limita la región sólida y el plano

xy ,

(2yz 2 ; x3 z 2 ;

Q

comprendida entre el paraboloide

ZZ

p) y



~ F

entonces la integral de ‡ujo

~ dS N

es

z

p

@ (2yz 2 ) @ (x3 z 2 ) @ ( y ) @x ; @y ; @z )

= (0; 0; 0),

ZZ ~ F

radio

2

x

2

y

2

=

S

.

(b) (2.0 puntos) Si

 

63 ~ (x; y; z ) , donde F 2

Respuesta: La a…rmación es Falsa. En efecto, notemos que div

(

=4

!( F



~ F



(x; y; z ) =

y por el Teorema de la Divergencia tenemos

ZZZ ~ dS N

=

div F~ dV = 0

S

x; y; z



Q

) = (2x + y; x + 2y; 1

Z

y centro en el origen, entonces

~ F

2 ) z

 ! = 0 d r

y

C

es la circuferencia de

.

C

Respuesta: La a…rmación es Verdadera. En efecto, notemos que F~ es un campo vectorial conservativo, es decir,



rot

~ F



(x; y; z )

= (0; 0; 0)

gunta 2.). Por otra parte, de acuerdo al Teorema de Stokes

1

(ver respuesta pre-

Z ~ F

 ! d

ZZ =

r

~ rot F

( )



S

C

ZZ (0; 0; 0)

=

~ dS N



~ dS N

S

= 0: (c) (2.0 puntos) Si

R

x2 es la región interior de la elipse 9

Z

y2

= 1,

4

2xydx + (x2 + 2x)dy = 12 , donde C

entonces la integral de línea de

+

de área

6 ,

es el contorno

C

R.

Respuesta: La a…rmación es Verdadera. En efecto, de acuerdo al Teorema de Green tenemos

ZZ 

Z 2

2xydx + (x + 2x)dy =

@x

R

C

@N



ZZ =

(2x + 2

@M



@y

2 ) x

dA

dA

R

ZZ = 2

dA

R

= 2 Área = 2 (6 ) = 12: 2. (6.0 puntos) Considere el campo de vectorial

Z

¿La integral de línea



cos

 t  2

;

sen

 t   2

;t

;

~ F

C con

 ! 0   1 d r

! ( F

de

x; y; z

R



es independiente del camino , que une los puntos

t

2 ) ! ( ) =

) = (2x + y; x + 2y; 1

A

C

dado por

(1; 0; 0)

y

B

r

Respuesta: Veri…camos que el campo de vectores F~ (x; y; z ) = (2x + y; x + 2y; 1 es conservativo, esto es,

rot

 rot

~ F



(x; y; z ) = (0; 0; 0).

  ^{  @ ~ F (x; y; z ) =  @x 2x + y 

2

En efecto,

^

|

@ @y

x

+ 2y

bk   @  @z  1 2z



.

t

(0; 1; 1)?.

Calcule el valor de la integral.



z

2 ) z





rot F~ (x; y; z )

=

@ @ @ b (1  2z )^{ + (2x + y ) |^ + @x (x + 2y ) k @y @z @ b  @y (2x + y) k  @z@ (x + 2y)^{  @x@ (1  2z) |^ 



rot F~ (x; y; z ) Dado que el campo de vectores

= (0; 0; 0):

F~ (x; y; z ) es conservativo, se tiene que la integral de

línea

Z C es independiente del camino

Z

C

C.

r F~  d!

Luego,

r = f (!r (1))  f (!r (0)) = f (B)  f (A) F~  d!

f es la función potencial del campo F~ (x; y; z ). Entonces, para calcular la función ~ , es decir, potencial usamos la ecuación rf =F

donde

@f @x

= 2x + y

f (x; y; z ) = x2 + xy +  (y; z ) @f @y

=x+

@ @ = x + 2y =) @y @y

)  (y; z ) = y

= 2y =

2

+ ' (z )

f (x; y; z ) = x2 + xy + y 2 + ' (z ) @f @z donde

K

= '0 (z ) = 1

 2z =) ' (z) = z  z

es una constante arbitrariaSi elegimos

K

= 0,

2

+K

entonces la función potencial

es

f (x; y; z ) = x2 + xy + y 2 + z  z 2 : Por tanto,

Z C

r = f (B)  f (A) = f (0; 1; 1)  f (1; 0; 0) = 1  1 = 0: F~  d! 3

3.

(6.0 puntos) cular recto x Si el campo

Considere la super…cie S determinada lateralmente por un cilindro cir-

2

+ y 2 = b2 , con bases inferior el plano z = 1 y base superior el plano z = 3. ~ vectorial que actua sobre la super…cie está dado por F = (x; y; z 2 ), use

el Teorema de la Divergencia, para probar que

ZZ ~ F

S Respuesta:

 N~ dS = 8b2 :

Consideremos Q la región sólida acotada por la super…cie S , orientada

positivamente, es decir, Q



= (x; y; z ) 2 R3 : x2 + y 2



 b2 ; 1  z  3

~ Se puede comprobar fácilmente que las componentes del campo F

y; P

=

2

z , tienen derivadas parciales continuas en Q.

de la Divergencia,

ZZ ~ F



ZZZ ~ N dS

~ dV; div F

=

Q

S tenemos que

@M

div F~ =

@x

+

@N

+

@y

= 1  1 + 2z = 2z :

@P @z

Luego, integrando en coordenadas cilíndricas, tenemos que

ZZZ

ZZZ div

~ F dV

=

2z dV

Q Z 2 Z b Z

Q =

Z 2 Z b

= =

0

0

Z 0 2

0

1

3

2z  rdz drd

8rdrd

4b2 d

0

= 8b2 Por tanto,

ZZ ~ F

S

 N~ dS = 8b2 : 4

:

M

=

x; N

=

Entonces, según el Teorema

4.

(6.0 puntos) Sea

C la curva determinada por la intersección del plano

2x + y + 2z = 2

y los tres planos coordenados. Use el Teorema de Stokes para calcular la integral

Z (x2 + y )dx + (yz )dy + (x



z

2

)dz :

C

Respuesta:

El Teorema de Stokes dice que

Z ~ F

ZZ !   =

~ rot F

( )

dr

C



~ N dS:

S

Tenemos que

 rot

~ F

 bk   @  @z  2 x z

  ^{ | ^  @ @  =  @x @y x2 + y yz



(x; y; z )



 1 1)

= (

y;

;

:

y la función de la super…cie

(

G x; y; z

cuyo gradiente es

r

)=x+

(

G x; y; z

y

2

+z

) = (1;

1

;

1 ; 1): 2

Luego

~ rot F

( )

r

 1 1)  (1 12 1)   32

= (

G

=

y;

;

;

;

y

La integral queda:

Z ~ F

 ! dr

ZZ ( )



( )

r

~ rot F

= S

C

ZZ =

~ rot F

R

Z 1Z = 0

=

 136

22x 0

5

~ dS: N

GdA



 y

3 2

 dydx...