Examen 5 Abril 2017, preguntas y respuestas PDF

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´ UNIVERSIDAD CATOLICA DEL NORTE ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ´ CALCULO II (DAMA 00235 - 00285) Pauta de Primera Prueba de C´atedra, mi´ercoles 05 de Abril del 2017 Preguntas y Respuestas 1. (15 ptos) √ ∫ √ 3 x+1 √ a) dx x {z } | (7 ptos) Soluci´ on Realizar sustituci´on, transformando la integral....

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´ DEL NORTE UNIVERSIDAD CAT OLICA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ´ CALCULO II (DAMA 00235 - 00285) Pauta de Primera Prueba de C´atedra, mi´ercoles 05 de Abril del 2017 Preguntas y Respuestas 1. (15 ptos)

√ ∫ √ 3 x+1 a) √ dx x | {z } (7 ptos)

Soluci´ on

Realizar sustituci´ on, transformando la integral. √ 1 Si u = x + 1 =⇒ du = √ dx. Luego quedaria que 2 x

√ ∫ √ ∫ 3 √ x+1 3 √ dx = 2 u du. x

C´ alculo de la integral en la nueva variable, dejando el resultado en variable original. √ ∫ √ ∫ 3 √ 3 4 3 √ x+1 4 3 u du = u 3 + C = ( x + 1) 3 + C √ dx = 2 2 2 x siendo C la constante de integraci´ on. b)

∫ |

x sen (3x + 1) dx {z } (8 ptos)

Soluci´ on En esta integral, aplicaremos el m´etodo de integraci´ on por partes. Selecci´ on de u y dv, as´ı como obtener du y v. Sea u = x ⇒ du = dx, dv = sen (3x + 1) dx ⇒ v = −

cos(3x + 1) . 3

Aplicar f´ ormula de integraci´ on por partes, y dar resultado final. ∫

x sen (3x+1) dx = −

x cos(3x + 1) 1 + 3 3

∫

cos(3x + 1) dx = −

x cos(3x + 1) sen (3x + 1) +C + 9 3 (1)

con C constante de integraci´ on. 

2. (10 ptos) Una part´ıcula inicialmente en reposo, se mueve por el eje x de manera tal que su aceleraci´ on es a(t) = cos t con t > 0. Si se sabe que en el instante inicial t = 0, su posici´on es x = 3, calcule su velocidad y posici´on en tiempo t. Soluci´ on Obtener funci´on velocidad de la part´ıcula, seg´ un velocidad inicial. Se conoce que la aceleraci´ on de la part´ıcula viene dada por v ′ (t) = a(t) = cos t. Luego integrando ∫ tenemos que v(t) = cos t dt = sen t + C1 Como la part´ıcula estaba inicialmente en reposo, se tiene que v(0) = 0, luego C1 = 0. Quedando as´ı v(t) = sen t Obtener funci´on posici´ on de la part´ıcula, seg´ un posici´on inicial. Por otro lado, como la funci´on posici´ on satisface que x′ (t) = v(t) = sen t, de igual modo ∫ integrando obtenemos que x(t) = sen t dt = − cos t + C2 Seg´ un posici´on inicial de la part´ıcula, x(0) = 3, vale que C2 = 4. Finalmente se concluye que x(t) = 4 − cos t  3. (15 ptos) Sea la regi´on limitada por las curvas f (x) =

√ x , la recta g(x) = x − 2 y el eje x.

Represente la regi´on y calcule su ´area. Soluci´ on Representaci´on gr´ afica de la regi´ on, indicando interceptos.

√ x

A1

A2

x−2

Intersectando funciones: √ x = x − 2 ⇒ x = x2 − 4x + 4 ⇒ x2 − 5x + 4 = (x − 4)(x − 1) = 0 ⇒ x = 4, x = 1

Siendo la soluci´on real x = 4, formando el punto (4, 2). Dividiendo la regi´on en dos a´reas A1 y A2 , calculamos el a´rea de cada una de ellas. Calcular A1 . A1 =

∫

2 0

2 √ √ 2 3  4 2 2 2 [u ] x dx = x  = 3 3 0

Calcular A2 . A2 = = = =

∫

4 (√

) x − (x − 2) dx 2 ) 4 (2 3 x2 + 2x  x2 − 2 3 2 √ 16 4 2 + 2) −( 3 √3 4 2 2 10 − [u ] 3 3

Calcular A. Finalmente A = A1 + A2 =

10 2 [u ] 3

Una segunda forma de completar la soluci´ on de esta pregunta Podemos directamente calcular el a´rea de la regi´on integrando respecto a y. Veamos A=

∫

2 0

2

(y + 2 − y ) dy =

2 8 y3 )  10 2 [u ] =2+4− = + 2y −  3 3 0 3 2

( y2



( 3 )2 9 4. (18 ptos) Considere la regi´on que est´a en el interior de la curva x2 + y − = 4 y al exterior 2 de la curva r = 1 + sen θ. Represente la regi´ on y c´alcule su ´area usando coordenadas polares Soluci´ on Representaci´on gr´ afica de la regi´ on.

A1

r = 3 sen θ .

r = 1 + sen θ

π . Luego as´ı, basta 2 con calcular el ´area de la subregi´on ubicada a la derecha de dicho eje (ll´ amese A1 ), y luego Notemos que la circunferencia y la cardioide son sim´etricas respecto al eje

duplicar la misma. Transformar ecuaci´ on cartesiana de la circunferencia, a su forma polar. La ecuaci´ on polar de la circunferencia es r = 3 sen θ . Encontrar a´ngulos de intersecci´ on de circunferencia r = 3 sen θ y cardioide r = 1 + sen θ en el primer y segundo cuadrante. Intersectando las mismas curvas tenemos 1 π 5π =⇒ θ = , 6 6 2 Obs: Pensando en simetr´ıa, se podr´ a considerar solamente el intercepto del primer 1 + sen θ = 3 sen θ =⇒ sen θ =

cuadrante. C´ alculo de A. A = 2A1 = 2 ·

1 2

∫

π 2 π 6

∫ ( ) (3 sen θ )2 − (1 + sen θ )2 dθ =

π 2 π 6

(8 sen2 θ − 2 sen θ − 1) dθ

(4 puntos)

] π 2 (2 puntos) 3θ − 2 sen 2θ + 2 cos θ  π 6 √ ) 3π ( π √ − 3+ 3 (2 puntos) − = 2 2 = π [u2 ] 

=

[...