Examen Mayo 2019, preguntas PDF

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AURJC – ESTADÍSTICA EMPRESARIAL IIExámenes 8 de mayo 2019BLOQUE TEÓRICO: TEST1.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el T.C. es falsa?a) Permite la convergencia hacia cualquier modelo de probabilidad. b) Necesita para su aplicación práctica una suma numerosa de variables aleatorias independie...

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A URJC – ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II Exámenes 8 de mayo 2019

BLOQUE TEÓRICO: TEST 1.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el T.C.L. es falsa? a) Permite la convergencia hacia cualquier modelo de probabilidad. b) Necesita para su aplicación práctica una suma numerosa de variables aleatorias independientes. c) Permite, bajo ciertas condiciones, aproximar la distribución binomial a la normal. d) Hace referencia a la convergencia en distribución hacia el modelo normal. 2.- El cociente entre dos varianzas de dos variables normales X e Y, tomando muestras independientes, 𝜎2 obedece a la siguiente expresión 𝑥⁄ 2 y se estima a través del intervalo [0,5; 10,3] para un nivel de 𝜎𝑦

confianza del 95%. Elija la afirmación correcta sobre lo que eso supone a ese nivel de confianza a) La varianza de X es menor que la de Y. b) La varianza de X es mayor que la de Y. c) No hay diferencias significativas entre las varianzas de X y de Y. d) Las tres afirmaciones anteriores son falsas.

3.- Elija la afirmación correcta sobre la situación que se plantea en un contraste de hipótesis con poca potencia. a) El p-valor es bajo. b) Se acepta la hipótesis nula más veces de las que se debería. c) La probabilidad de cometer el error de tipo II es baja. d) La probabilidad de rechazar la hipótesis nula no se conoce. 4.- El contraste chi-cuadrado de Pearson. a) Aplicable a distribuciones discretas. b) Aplicable a distribuciones continuas. c) Aplicable a la distribución Normal. d) Aplicable a distribuciones discretas o continuas. 5.- En la ficha técnica de cierta encuesta se dice que el error muestral obtenido ha sido de 0,026 para el caso de p = q y un 95% de nivel de confianza. ¿Cuál ha sido, aproximadamente, el tamaño de la muestra aleatoria simple empleada? (Justifique su respuesta). a) 1212 b) 1421 c) 1250 d) 38

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6.- El peso en gramos de una pescadilla se distribuye como una variable aleatoria N(1000,200). En estas condiciones, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que una pescadilla concreta pese 800 gramos? (Justifique su respuesta). a) 0,1587 b) 0,8413 c) 0,5 d) 0 7. Determinar el estimador de “θ” por el método de los momentos en la siguiente distribución cuya función de densidad es: 𝑓(𝑥, 𝜃) = { (Justifique su respuesta) a) 𝑥 b) 𝑥⁄𝑛 c) 𝑛𝑥 d) Ninguna de las anteriores.

2𝑥+𝜃 2𝜃2

𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑥 < 𝜃 0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

8.- Elija la afirmación falsa respecto a la distribución Chi-cuadrado de Pearson. a) La función de densidad sólo toma valores positivos. b) Se define como una suma de variables N(0,1) al cuadrado e independientes. c) Reproduce fenómenos que se dan en la realidad económica. d) Los grados de libertad se corresponden con el número de variables normales que la definen. 9- Sobre el nivel crítico “p” (p-valor): a) Respecto del contraste, conocido “p” se sabe todo sobre el resultado del experimento ya que permite valorar la evidencia aportada por la muestra. b) Respecto del contraste, conocido “p” se sabe todo sobre la región crítica. c) El valor de “p” no se asocia a la credibilidad de H0. d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta. 10.- La llegada de coches a una gasolinera en 1 hora ha sido de 8 coches. En función de esto, calcule la probabilidad de que en 30 minutos lleguen dos coches. a) 0,0107. b) 0,1465 c) 0,0085. d) Ninguna de las anteriores.

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1.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el T.C.L. es falsa? a) Permite la convergencia hacia cualquier modelo de probabilidad. b) Necesita para su aplicación práctica una suma numerosa de variables aleatorias independientes. c) Permite, bajo ciertas condiciones, aproximar la distribución binomial a la normal. d) Hace referencia a la convergencia en distribución hacia el modelo normal. 2.- El cociente entre dos varianzas de dos variables normales X e Y, tomando muestras independientes, 𝜎2 obedece a la siguiente expresión 𝑥⁄𝜎 2 y se estima a través del intervalo [0,5; 0,8] para un nivel de 𝑦 confianza del 95%. Elija la afirmación correcta sobre lo que eso supone a ese nivel de confianza. a) La varianza de X es menor que la de Y. b) La varianza de X es mayor que la de Y. c) No hay diferencias significativas entre las varianzas de X y de Y. d) Las tres afirmaciones anteriores son falsas. 3.- Elija la afirmación correcta sobre la situación que se plantea en un contraste de hipótesis con poca potencia. a) El p-valor es bajo. b) Se acepta la hipótesis nula más veces de las que se debería. c) La probabilidad de cometer el error de tipo II es baja. d) La probabilidad de rechazar la hipótesis nula no se conoce. 4.- El Test de Kolmogorov-Smirnov: a) Compara frecuencias teóricas esperadas con frecuencias obtenidas. b) Compara las funciones de distribución teórica y empírica. c) Mide el ajuste de la muestra representada en papel probabilístico normal a una recta. d) Comprueba si dos muestras o submuestras independientes provienen de una misma población continua. 5.- En la ficha técnica de cierta encuesta se dice que el error muestral obtenido ha sido de 0,0253 para el caso de p = q y un 95% de nivel de confianza. ¿Cuál ha sido, aproximadamente, el tamaño de la muestra aleatoria simple empleada? (Justifique su respuesta). a) 1000 b) 1500 c) 1250 d) 750 6.- El peso en gramos de una pescadilla se distribuye como una variable aleatoria N(1000;200). En estas condiciones, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que una pescadilla concreta pese más de 800 gramos? (Justifique su respuesta). a) 0,1587 b) 1 c) 0 d) 0,8413 7. Determinar el estimador de “θ” por el método de los momentos en la siguiente distribución cuya 2(𝜃−𝑥) función de densidad es: 𝑓(𝑥, 𝜃) = { 𝜃2 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜃 0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (Justifique su respuesta) a) 𝑥 b) 𝑥⁄2 c) 3𝑥 d) Ninguna de las anteriores. Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales. Campus de Fuenlabrada

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8.- Elija la afirmación correcta sobre la distribución 𝐹𝑚,𝑛 : a) Es simétrica. b) Es el cociente de dos distribuciones chi-cuadrado independientes divididas por sus grados de libertad. c) Es el cociente de dos distribuciones normales. d) Es el cociente de dos distribuciones t-Student. 9.- Sobre el nivel crítico “p” (p-valor): a) Es la probabilidad de obtener una discrepancia menor o igual que la observada en la muestra cuando H0 es cierta. b) Es la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra cuando H0 es cierta. c) Es la probabilidad de obtener una discrepancia igual al nivel de significación. d) Ninguna de las anteriores afirmaciones es cierta. 10.-Las características teóricas de una muestra aleatoria simple indican que disponemos de: a) Datos altamente significativos al ser recogidos de forma dirigida con técnicas simples. b) Datos dependientes al ser recogidos de manera aleatoria. c) Elementos muestrales que son variables aleatorias con una distribución de probabilidad idéntica a la poblacional. d) Elementos con las condiciones de cualquier muestreo sin reemplazamiento.

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BLOQUE PRÁCTICO Ejercicio 1. El hotel “Nuevo México” en Cancún quiere tomar una muestra de la temperatura a las 12:00 horas de los últimos diez días de junio. El gerente del hotel recibe de la empresa de mantenimiento “ Cleaning S.L” los siguientes datos en grados centígrados: 25,2

28,7

23,2

30,4

35,8

19,1

29,9

31,7

27

25

a) El gerente quiere conocer si los datos han sido tomados de manera aleatoria. Compruebe la aleatoriedad mediante la aplicación del test de rachas para un nivel de significación del 5%. Efectúe el contraste planteando las hipótesis, el estadístico de prueba, la región crítica/aceptación y la decisión tomada. b) Además, quiere saber si la temperatura procede de una distribución normal. Compruebe la normalidad de dicha muestra mediante el contraste de Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors para un nivel de significación del 1%. Efectúe el contraste planteando las hipótesis, el estadístico de prueba, la región crítica/aceptación y la decisión tomada. c) Calcule el p-valor para el contraste de Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors e interprete su resultado. Ejercicio 2. El hotel “Saratoga” situado en la Habana, ha realizado una toma de datos en relación a la temperatura los mismos días que el hotel “Nuevo México”. El gerente de dicho hotel afirma que la temperatura media no es inferior a 30º C. Para demostrar esta afirmación se ha tomado una m.a.s. compuesta de 10 mediciones a lo largo de ese periodo de tiempo, recogiendo la siguiente información. 10

∑ 𝑥𝑖 = 272

𝑖=1

Supuesta la normalidad de la población, se pide:

10

∑ 𝑥𝑖2 = 7652,54 𝑖=1

a) Plantear el contraste de hipótesis que debe realizar el gerente para probar su conjetura, para un nivel de significación del 1%. Plantee las hipótesis, el estadístico de prueba, la región crítica/aceptación y la decisión tomada. b) Resuelva también el apartado anterior empleando el p-valor. c) En base a la decisión tomada en el apartado a) de este ejercicio, justificar razonadamente que tipo de error se puede cometer. d) Si el nivel de significación pasa a ser del 10%, ¿cuál sería la decisión tomada en relación al contraste? Ejercicio 3. La revista de turismo “Más verano”, quiere comparar la información aportada por ambos hoteles respecto a la temperatura en ambas zonas turísticas los últimos diez días de junio, siendo X = Hotel “Nuevo México” e Y = Hotel “Saratoga”. Supuestas que las muestras de los ejercicios 1 y 2 son m.a.s. que provienen de una distribución normal, cuyas varianzas poblacionales son 21 y 25 respectivamente. Elabora un intervalo de confianza para la diferencia de medias con una confianza del 95% e interprete los resultados.

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Ejercicio 4. La revista de turismo “Más verano” desea conocer la temperatura media en los diez últimos días de junio en la Patagonia argentina. Para ello toma dos estimadores. Supuesta una m.a.s. de tamaño 10 obtenida de una población 𝑁(𝜇, 𝜎), estudiar: a) Sesgo, eficiencia y consistencia de los dos estimadores siguientes escogiendo el mejor de ellos. (Justifique su respuesta). 𝜇1∗ =

2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 4

𝜇∗2 = 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

b) Explicar brevemente el significado de la eficiencia de un estimador. Al comparar dos estimadores, ¿cuál es más eficiente?

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Ejercicio 1. El gerente de la empresa de telefonía “JuanPhone” quiere estudiar el consumo de datos de sus clientes en el último mes. Para ello, recibe del departamento comercial el consumo del último mes en gigas de 10 clientes: 25,2

28,7

23,2

30,4

35,8

19,1

29,9

31,7

27

25

a) El gerente quiere conocer si los datos han sido tomados de manera aleatoria. Compruebe la aleatoriedad mediante la aplicación del test de rachas para un nivel de significación del 5%. Efectúe el contraste planteando las hipótesis, el estadístico de prueba, la región crítica/aceptación y la decisión tomada. b) Además, quiere saber si el consumo de datos se distribuye de forma normal. Compruebe la normalidad de dicha muestra mediante el contraste de Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors para un nivel de significación del 1%. Efectúe el contraste planteando las hipótesis, el estadístico de prueba, la región crítica/aceptación y la decisión tomada. c) Calcule el p-valor para el contraste de Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors e interprete su resultado. Ejercicio 2. La compañía rival, “Movistrella”, también ha realizado una toma de datos en relación al consumo de gigas en el mismo mes que “JuanPhone”. El gerente comercial de “Movistrella” afirma que el consumo medio no es inferior a 30 gigas en dicho mes. Para demostrar esta afirmación se ha tomado una m.a.s. compuesta por el consumo en gigas de 10 clientes en ese periodo de tiempo, recogiendo la siguiente información. 10

∑ 𝑥𝑖 = 272

𝑖=1

Supuesta la normalidad de la población, se pide:

10

∑ 𝑥𝑖2 = 7652,54 𝑖=1

a) Plantear el contraste de hipótesis que debe realizar el gerente para probar su conjetura, para un nivel de significación del 1%. Plantee las hipótesis, el estadístico de prueba, la región crítica/aceptación y la decisión tomada. b) Resuelva también el apartado anterior empleando el p-valor. c) En base a la decisión tomada en el apartado a) de este ejercicio, justificar razonadamente que tipo de error se puede cometer. d) Si el nivel de significación pasa a ser del 10%, ¿cuál sería la decisión tomada en relación al contraste? Ejercicio 3. El portal de internet “Rastreador Plus”, quiere comparar la información aportada por ambas compañías respecto a consumo de gigas en el último mes, siendo X = “JuanPhone” e Y = “Movistrella”. Supuestas que las muestras de los ejercicios 1 y 2 son m.a.s. que provienen de una distribución normal, cuyas varianzas poblacionales son 21 y 25 respectivamente. Elabora un intervalo de confianza para la diferencia de medias con una confianza del 95% e interprete los resultados.

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Ejercicio 4. La revista tecnológica “I+D+I Consulting” desea conocer el consumo medio mensual en gigas de “Ameno”. Para ello toma dos estimadores. Supuesta una m.a.s. de tamaño 10 obtenida de una población 𝑁(𝜇, 𝜎), estudiar: a) Sesgo, eficiencia y consistencia de los dos estimadores siguientes escogiendo el mejor de ellos. (Justifique su respuesta). 𝜇1∗ =

2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 4

𝜇∗2 = 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

b) Explicar brevemente el significado de la eficiencia de un estimador. Al comparar dos estimadores, ¿cuál es más eficiente?

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