Exercice mathématique calcul de primitives et intégrales PDF

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Exercice mathématique sur le calcul de primitives et d'intégrales...

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Exo7 Calculs de primitives et d’intégrales Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : 1)

2

1 x3 +1 x2 +x x6 +1

6) 11)

2) x3x+1

1 (x+1)7 −x7 −1

1 7) x4 +1

5

3) x3 −x2x−x+1 1 8) (x4 +1) 2

4) 9)

1−x (x2 +x+1)5 1 x8 +x4 +1

1 x(x2 +1)2 x 10) (x4 +1) 3

5)

Correction H

[005466]

Exercice 2 Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : 1 et 1) cosx

1 chx

6) coscosx x+sin x 11) 16)

1 1 sin x et shx cos(3x) 7) sin x+sin(3x) sin x 12) cos(3x) 17) sh15 x

2)

cos x+2 sin x sin x−cos x thx 1+chx

3)

1 tan x

et

1 thx

sin2 (x/2) x−sin x sin x sin(2x) 9) sin4 x+cos4 x+1 ch3 x 14) 1+shx

1 2+sin2 x tan x 10) 1+sin (3x)

5)

4)

1 cos4 x+sin4 x 1 13) α cos2 x+β sin2 x 18) 1−1ch x

8)

15)

√ ch x − 1

Correction H

[005467]

Exercice 3 Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : √ 1 x2 + 2x + 5 2) √2x−x q √2 7) 1−√x x

1 et x2 +2x+5 2 +1 6) x√xx4 −x 2 +1 1√ √ 10) x+1+ 3 x+1

1) √

3) 8)

√

1+x6 x

√1 1+ 1+x2

4) √1+x+1 √1−x 9)

√3

x3 +1 x2

et

5)

1 √ 3 3 x +1

Correction H

q

x+1 x−1

[005468]

Exercice 4 Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : 1) x ln1 x 6) argch x √ x 11) arctan x

2) arcsin x 3) arctan x 4) arccos x 5) argsh x 7) argth x 8) ln(1 + x2 ) 9) earccosx 10) cos x ln(1 + cos x) xex 13) ( xe )x ln x 14) xn ln x (n ∈ N) 15) eax cos(α x) ((a, α ) ∈ (R∗ )2 ) 12) (x+1) 2

16) sin(ln x) et cos(ln x) 17)

√

xn +1 x

18) x2 ex sin x

Correction H

[005469]

1

Exercice 5 Calculer les intégrales suivantes (a, b réels donnés, p et q entiers naturels donnés) a ln x 1) 1/a (0 < a) 2 R b px +1 3) a (x − a)(b − x) dx  R2 1 + x12 arctan x dx 5) 1/2 R x sin x 7) 0π 1+cos 2x

R

2) 0π 2 cos(px) cos(qx) dx et 0π 2 cos(px) sin(qx) dx et R2 (|x − 1| + |x| + |x + 1| + |x + 2|) dx 4) −2 R1 p 6) −1 1 + |x(1 − x)| dx R 8) 1x(lnt)n dt (n ∈ N∗ ) R

R

Rπ 0

2 sin(px) sin(qx) dx

Correction H

[005470]

Exercice 6 (x−a)(x−b)

Condition nécessaire et suffisante sur a, b, c et d pour que les primitives de x−c)2 (x−d)2 soient rationnelles (a, b, c et d réels donnés). Correction H

[005471]

Exercice 7 Etude de f (x) = Correction H

R1

sin x −1 1−2t cos x+t 2

dt . [005472]

Exercice 8 R Etude de f (x) = 01 Max(x,t) dt. Correction H

[005473]

Exercice 9 Intégrales de WALLIS Pour n entier naturel, on pose Wn =

R π/2 0

sinn x dx.

1. Calculer W0 et W1 . Déterminer une relation entre Wn et Wn+2 et en déduire W2n et W2n+1 en fonction de n. 2. Etudier les variations de la suite (Wn ) et en déduire limn→+∞

Wn+1 Wn .

3. Montrer que la suite (nWnWn−1 )n∈N∗ est constante. En déduire limn→+∞ Wn , puis un équivalent simple Rπ R π/2 R de Wn . En écrivant 0 = 0α + α 2, retrouver directement limn→+∞ Wn . 2  1.3....(2n−1) = π1 . (Formule de WALLIS) 4. Montrer que limn→+∞ n 2.4....(2n) [005474]

Exercice 10 Pour n entier naturel, on pose In =

R π/4 0

tann x dx.

1. Calculer I0 et I1 . Trouver une relation entre In et In+2 . En déduire In en fonction de n. 2. Montrer que In tend vers 0 quand n tend vers +∞, et en déduire les limites des suites (un ) et (vn ) définies (−1)k−1 (−1)k−1 n (n ∈ N∗ ) et vn = ∑nk=1 2k−1 . par : un = ∑k=1 k Correction H

[005475]

2

Correction de l’exercice 1 N 1. I est l’un des deux intervalles ] − ∞, −1[ ou ] − 1, +∞[. f est continue sur I et admet donc des primitives sur I . 1 X3 + 1 où a = 1 X3 + 1

1 3(−1)2

= 31 et b =

=

a b b 1 , = + + 2 (X + 1)(X + j )(X + j ) X + 1 X + j X + j 2

1 3(− j )2

= 3j . Par suite,

1 −X + 2 j2 j 1 1 1 1 1 1 1 2X − 1 3 ) + + 2 + = ( )= ( )= ( − + 2 2 2 3 X +1 X + j X + j 3 X +1 X −X +1 3 X +1 2X −X +1 2 X −X +1 1 1 1 2X − 1 3 1 √ = ( − + ). 2 1 2 2 3 X +1 X −X +1 (X − )2 + ( 3 )2 2

2

Mais alors,

Z

x − 21 (x − 1)2 3 2 1 1 1 2x − 1 1 1 2 √ ln(x − x + 1) + (ln |x + 1 | − dx = + √ arctan √ +C. √ ) = ln arctan 3 3 6 x2 − x + 1 2 3 x +1 2 3 3 3 2

2. I est l’un des deux intervalles ] − ∞, −1[ ou ]1, +∞[. Sur I,

R

x2 x3 +1

dx = 31 ln(x3 + 1) +C.

3. X 3 − X 2 − X + 1 = X 2 (X − 1) − (X − 1) = (X 2 − 1)(X − 1) = (X − 1)2 (X + 1). Donc, la décomposition 5 d2 e . 1 en éléments simples de f = X 3 −XX2 −X +1 est de la forme aX 2 + bX + c + Xd−1 + X +1 + (X −1 )2 Détermination de a, b et c. La division euclidienne de X 5 par X 3 − X 2 − X + 1 s’écrit X 5 = (X 2 + X + 2)(X 3 − X 2 − X + 1) + 2X 2 + X − 2. On a donc a = 1, b = 1 et c = 2. (−1)5 (−1−1)2

5

1 = 12 . Enfin, x = 0 fournit = − 14 . Puis, d2 = limx→1 (x − 1)2 f (x) = 1+1 0 = c − d1 + d2 + e et donc, d1 = −2 − 12 + 41 = − 94 . Finalement,

e = limx→−1 (x + 1) f (x) =

1 X5 9 1 1 1 1 = X2 + X + 2 − + − , 3 2 2 4 X − 1 2 (X − 1) 4 X +1 X −X −X +1 et donc, I désignant l’un des trois intervalles ] − ∞, −1[, ] − 1, 1[ ou ]1, +∞[, on a sur I Z

1 1 x5 x3 x2 − ln |x + 1| +C. dx = + + 2x − 3 2 2(x − 1) 4 2 x −x −x+1 3

4. Sur R, Z

1−x 1 dx = − 2 5 2 (x + x + 1)

2x + 1 3 dx + 2 5 (x + x + 1) 2

1 1 3 1 dx dx = + 1 2 5 2 4 (x + x + 1) 8(x + x + 1) 2 ((x + 2 )2 + 34 )5 √ √ Z 1 3 1 u 3 1 3 √ = + du (en posant x + = ) 8(x2 + x + 1)4 2 (( 3u)2 + 3 )5 2 2 2 2 4 √ Z 1 1 28 3 du. = + (u2 + 1)5 34 8(x2 + x + 1)4 Z

Pour n ∈ N∗ , posons alors In =

R

du . (u2 +1)n

Z

Une intégration par parties fournit

u u2 + 1 − 1 du = + 2n(In − In+1 ), 2 n+1 2 (u + 1) (u + 1)n   1 u et donc, In+1 = 2n + (2n − 1)In . Mais alors, (u2 +1)n In =

u + 2n 2 (u + 1)n

Z

3

Z

1 7.5 1 7 7 u u u + + + I4 = I 8 (u2 + 1)4 8.6 (u2 + 1)3 8.6 3 8 (u2 + 1)4 8 1 7.5 7.5.3 7 u u u = + + + I 8 (u2 + 1)4 8.6 (u2 + 1)3 8.6.4 (u2 + 1)2 8.6.4 2 1 7.5 7.5.3 7.5.3.1 7 u u u u = + + + + I1 8 (u2 + 1)4 8.6 (u2 + 1)3 8.6.4 (u2 + 1)2 8.6.4.2 u2 + 1 8.6.4.2 7.5 7.5.3 7.5.3.1 7 u u u u 1 + + + + arctan u +C. = 2 3 2 2 2 2 4 8.6 (u + 1) 8.6.4 (u + 1) 8.6.4.2 u + 1 8.6.4.2 8 (u + 1)

I5 =

Maintenant, 4 4 1 4 1 2 u2 + 1 = ( √ (x + ))2 + 1 = x2 + x + + 1 = (x2 + x + 1). 2 3 3 3 3 3 Par suite, √ √ Z 1 28 3 28 3 du = 34 (u2 + 1)5 34

1 1 1 2 2 2 7 33 √3 (x + 2 ) 7.5 32 √3 (x + 2 ) 1 34 √3 (x + 2 ) + + 8 44 (x2 + x + 1)4 8.6 43 (x2 + x + 1)3 8.6.4 42 (x2 + x + 1)2 ! 2 1 2x + 1 7.5.3 3 √3 (x + 2 ) 7.5.3.1 + arctan √ +C . + 8.6.4.2 4 x2 + x + 1 8.6.4.2 3

7 35 35 2x + 1 2x + 1 2x + 1 1 2x + 1 + + + 2 4 2 3 2 2 8 (x + x + 1) 36 (x + x + 1) 108 (x + x + 1) 54 x2 + x + 1 √ 2x + 1 70 3 + arctan √ +C, 81 3 =

(il reste encore à réduire au même dénominateur). 5. On pose u = x2 et donc du = 2xdx Z

1 dx = 2 x(x + 1)2

x 1 dx = 2 2 2 2 x (x + 1)

Z

Z

du 1 = 2 u(u + 1) 2

1 1 (ln |u| − ln |u + 1| + ) +C 2 u+1 1 x2 1 = (ln 2 + ) +C. 2 x + 1 x2 + 1

Z

1 1 1 ( − − ) du u u + 1 (u + 1 )2

=

6.

R R x2 +x dx =

x2 x6 +1

dx + x6x+1 dx. Ensuite, en posant u = x3 et donc du = 3x2 dx, x6 +1

Z

R

x2 1 dx = 6 3 x +1

Z

1 u2 + 1

du =

1 1 arctan u +C = arctan(x3 ) +C, 3 3

et en posant u = x2 et donc du = 2x dx, Z

x (u − 1 )2 1 1 1 1 2u − 1 du = ln 2 dx = + √ arctan √ +C (voir 1)) 3 6 6 u −u+1 2 u +1 x +1 3 3 2 2 2 2x − 1 1 (x − 1) 1 +C = ln 4 + √ arctan √ 6 x − x2 + 1 3 3 Z

Finalement, Z

2x2 − 1 x2 + x (x2 − 1)2 1 1 1 3 √ arctan √ +C. ln dx = arctan(x ) + + 6 x4 − x2 + 1 3 x6 + 1 3 3 4

7.

1 X 4 +1

π

π

λk i( 4 +k 2 ) 3 = ∑k=0 . De plus, λk = X −zk où z k = e

1 1 =− 4 4 X +1 =−

1 4

zk 1 = 4z 4 4z3k k

= − z4k . Ainsi,

eiπ/4 −e−iπ/4 −eiπ/4 e−iπ/4 + + + iπ/4 −iπ/4 iπ/4 X +e X −e X −e X + e−iπ/4 ! √ √ 2X − 2 2X + 2 . √ − 2 √ 2 X − 2X + 1 X + 2X + 1

!

Mais, √ √ 2X − 2 2X − 2 1 √ √ =√ − X 2 − 2X + 1 2 X 2 − 2X + 1 (X −

1 √

1 , )2 + ( √1 )2 2 2

et donc, Z

√ √ √ √ 1 2x − 2 √ dx = √ ln(x2 − 2x + 1) − 2 arctan( 2x − 1) +C, x2 − 2x + 1 2

Z

√ √ √ √ 1 2x + 2 √ dx = √ ln(x2 + 2x + 1) + 2 arctan( 2x + 1) +C. x2 + 2x + 1 2

et de même,

Finalement, Z

√ √ √ 1 1 x2 − 2x + 1 √ − 2(arctan( 2x − 1) + arctan( 2x + 1)) +C. dx = √ ln 2 √ 4 x +1 2 x + 2x + 1

8. Une intégration par parties fournit Z

1 x4 + 1 − 1 4x4 x x + 4 + dx = dx = dx x4 + 1 x4 + 1 (x4 + 1)2 x4 + 1 (x4 + 1)2 Z Z x 1 1 = 4 dx − 4 +4 dx x4 + 1 x +1 (x4 + 1)2 Z

Z

Et donc, Z

9. Posons R =

1 x 1 +3 dx = ( 4 4 x +1 (x4 + 1)2

Z

1 dx) = ... x4 + 1

1 . X 8 +X 4 +1

X8 + X4 + 1 =

11 (X − e2ikπ/12 ) X 12 − 1 ∏k=0 = X 4 − 1 (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)

= (X − eiπ/6 )(X − e−iπ/6 )(X + eiπ/6 )(X + e−iπ/6 )(X − j )(X − j 2 )(X + j )(X + j 2 ). R est réelle et paire. Donc, R= a=

a a a b b b b a . + − − + − − + X − j X − j 2 X + j X + j 2 X − eiπ/6 X − e−iπ/6 X + eiπ/6 X + e−iπ/6

1 8 j 7 +4 j 3

2

2 j +1 1 = = 4(2 j+ 1) = 4(2 j+1)(2 j 2 +1)

−1−2 j 12

et donc, 5

1 −1 − 2 j −1 − 2 j 2 1 1 a 1 1 a √ = ( )= = , + + 2 X − j2 4 X 2 + X + 1 4 (X + 1 )2 + ( 3)2 12 X − j X−j X−j 2 2 et par parité, a a a 1 1 1 a √ √ ). + − − = ( + 2 2 1 1 3 X−j X−j X+j X+j 4 (X + )2 + ( )2 (X − )2 + ( 3)2 2 2 2 2 Ensuite, b =

1 8e7iπ/6 +4e3iπ/6

=

1 4eiπ/6 (−2− j 2 )

=

e−iπ/6 4(−1+ j)

=

e−iπ/6 (−2− j) e−iπ/6 (−1+ j 2 ) = 12 12

=

−2e−iπ/6 −i , 12

et donc,

√ √ 1 b b 1 −2e−iπ/6 − i −2eiπ/6 + i 1 −2 3X + 3 2X − 3 √ ( = − √ √ + + = )= . 12 X 2 − 3X + 1 X − eiπ/6 X − e−iπ/6 12 X − eiπ/6 X − e−iπ/6 4 3 X 2 − 3X + 1 Par parité, √ √ 1 b b b b 1 2X + 3 2X − 3 + √ √ + − − =− √ 2 √ . X − eiπ/6 X − e−iπ/6 X + eiπ/6 X + e−iπ/6 4 3 X − 3X + 1 4 3 X 2 + 3X + 1 Finalement, Z

√ 2x − 1 1 1 x2 + 3x + 1 1 2x + 1 = √ (arctan √ + arctan √ ) + √ ln √ +C. x8 + x4 + 1 2 3 3 4 3 x2 − 3x + 1 3

10. En posant u = x2 et donc du = 2x dx, on obtient Pour n > 1, posons In =

In =

u + 2 (u + 1)n

Z

R

1 (u2 +1)n

R

x (x4 +1)3

dx =

1 2

R

1 . (u2 +1)3

du. Une intégration par parties fournit :

u.(−n)(2u) u du = 2 + 2n 2 n+1 (u + 1) (u + 1 )n

Z

u2 + 1 − 1 du (u2 + 1)n+1 =

et donc, ∀n > 1, In+1 = On en déduit que

1 u 2n ( (u2 +1)n

u (u2 + 1)n

+ 2n(In − In+1 ),

+ (2n − 1)In ).

3 3 1 u u + + arctan u +C, I3 = ( 2 + 3I2 ) = 2 2 2 2 4(u + 1) 8(u + 1) 8 4 (u + 1) et finalement que Z

x 2x2 1 3 + 3 arctan(x2 )) +C. ( dx = + 4 4 3 4 2 x +1 16 (x + 1) (x + 1)

11. (X + 1)7 − X 7 − 1 = 7X 6 + 21X 5 + 35X 4 + 35X 3 + 21X 2 + 7X = 7X (X 5 + 3X 4 + 5X 3 + 5X 2 + 3X + 1) = 7X (X + 1)(X 4 + 2X 3 + 3X 2 + 2X + 1) = 7X (X + 1)(X 2 + X + 1)2 .

Par suite, a b c1 c2 c1 c2 1 7 = + + + + + = . (X + 1)7 − X 7 − 1 X (X + 1)(X − j)2 (X − j 2 )2 X X + 1 X − j (X − j)2 X − j 2 (X − j 2 )2 a = limx→0 xR(x) = 1, b = limx→−1 (x + 1)R(x) = −1, et 6

c2 = limx→ j (x − j)2 R(x) =

= − j 2 (1−21 j+ j 2 ) = 31. Puis,

c2 2X 2 + 2X − 1 c2 1 (X − j 2 )2 + (X − j)2 , ( = + = 3(X 2 + X + 1)2 3 (X 2 + X + 1 )2 (X − j)2 (X − j 2 )2

et

R−(

1 j ( j+1)( j− j 2 )2

2X 2 + 2X − 1 3 − X (X + 1)(2X 2 + 2X − 1) c2 1 c2 − = + ) = X (X + 1)(X 2 + X + 1)2 3(X 2 + X + 1)2 (X − j)2 (X − j 2 )2 3X (X + 1)(X 2 + X + 1)2 −2X 2 − 2X + 3 −2X (X + 1)(X 2 + X + 1) + 3 + 3X (X + 1) = = . 3X (X + 1)(X 2 + X + 1)2 3X (X + 1)(X 2 + X + 1)

Puis, c2 =

−2 j 2 −2 j+3 3 j ( j +1)( j− j 2 )

Ainsi,

= − j−5 j 2 =

5( j − j 2 ) ( j− j 2 )( j 2 − j )

=

5( j − j 2 ) . 3

1 1 1 1 1 1 5( j − j 2 ) 5( j 2 − j) 1 )) ( + = ( − + + + 7 7 2 2 (X − j 2 )2 (X + 1) − X − 1 7 X X + 1 3 X − j X−j (X − j) 1 1 1 5 1 1 1 )) = ( − − 2 + ( + 2 (X − j 2 )2 7 X X + 1 X + X + 1 3 (X − j) 1 1 1 1 5 1 1 )). + ( √ = ( − − + 2 1 3 2 (X − j 2 )2 7 X X + 1 (X + )2 + ( ) 3 (X − j) 2 2 Finalement, Z

     x  10 1 1 x+1 1 1 1   − √ arctan 2√ ) +C ( + dx = ln − x + 1  3 x − j x − j2 (x + 1)7 − x7 − 1 7 3 3      x  10 2x + 1 2x + 1 1   √ √ − arctan − ln = +C. x + 1  7 3(x2 + x + 1) 3 3

Correction de l’exercice 2 N 1. On pose t = tan 2x et donc dx =

2dt . 1+t 2

    Z  tan π + tan 2x  1 + t  1 1 + t 2 2dt 4     +C = 2 dt = ln  +C = ln  1 − t2 1 + t2 1 − tan π4 tan 2x  1 − t2 1−t  x π = ln | tan( + )| +C. 2 4

1 dx = cos x

Z

Z

ou bien Z

1 dx = cos x

   1 + sin x  cos x  +C...  dx = ln  1 − sin x  1 − sin2 x

Z

ou bien, en posant u = x + π2 , (voir 2)) Z

1 dx = cos x

Z

1 du = cos(u − π2 )

Ensuite, en posant t = ex et donc dx = Z

1 dx = ch x

Z

dt t

Z

1 x π u du = ln | tan | +C = ln | tan( + )| +C. 2 2 sin u 4

,

2 dt =2 t + 1t t 7

Z

1 dt = 2 arctan(ex ) +C, 1 + t2

ou bien 1 dx = ch x

Z

Z

ch x dx = arctan(sh x) + C. sh x + 1 2

2. En posant t = tan 2x , Z

1 dx = sin x

1 + t 2 2dt = 2t 1 + t 2

Z

Z

x 1 dt = ln |t| +C = ln | tan | +C. t 2

R cosx R 1 R dx tan x = sin x dx = ln | sin x| +C et thx = ln | sh x| +C. R R sin2 (x/2) 1 1−cos x 1 4. x−sin x dx = 2 x−sin x dx = 2 ln |x − sin x| +C.

3.

5.

1 2+sin2 x

dx =

Z

1

dx

2 +tan2 x cos2 x cos2 x

1 2 + sin2 x

dx =

=

Z

1 d(tan x), 2+3 tan2 x

1 1 du = 2 2 + 3u 3

r

et en posant u = tan x,

r r 3 1 3 3 u) +C = √ arctan( tan x) +C. arctan( 2 2 2 6

sin x 6. Posons I = coscosx cos x+sin x dx. Alors, I + J = dx = x +C et I − J = x+sin x dx et J = ln | cos x + sin x| +C. En additionnant ces deux égalités, on obtient :

R

R

R

I=

R − sin x+cos x cos x+sin x

dx =

1 cos x dx = (x + ln | cos x + sin x|) +C. cos x + sin x 2

Z

ou bien, en posant u = x − π4 ,

Z cos(u + π4 ) sin u 1 cos x 1 √ (1 − ) du = (u + ln | cos u|) +C √ du = dx = π cos u 2 2 2 cos(x − 4 ) 2 cos u π 1 1 1 = (x − + ln | √ (cos x + sin x)|) +C = (x + ln | cos x + sin x|) +C. 2 4 2 2

I=

Z

cos x dx = cos x + sin x

Z

Z

7. 3 cos x 3 1 cos(3x) 4 cos3 x − 3 cos x 1 4 cos3 x − 3 cos x 1 4 cos x − )= − = = ( . dx = 3 2 sin x cos x sin x 2 sin(2x) sin x + sin(3x) 4 sin x − 4 sin x 4 sin x(1 − sin x) 4 sin x Par suite, Z

cos(3x) 3 dx = ln | sin x| − ln | tan x| +C. sin x + sin(3x) 4

8. cos4 x + sin4 x = (cos2 x + sin2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x = 1 − 21sin2 (2x), et donc Z

1 1 du (en posant u = 2x) dx = 2 2 1 2 − sin u sin (2x) 1−2 Z Z dv 1 1 (en posant v = tan u) = du = 1 2 1 + cos u 1 + 1+v2 1 + v2

1 dx = cos4 x + sin4 x

Z

=

Z

Z

1 tan(2x) v dv 1 = √ arctan √ +C = √ arctan √ +C. v2 + 2 2 2 2 2

9. 2 sin2 x 2 sin2 x sin x sin(2x) cos x dx = dx = cos x dx 1 − 2 sin2 x cos2 x + 1 sin4 x + cos4 x + 1 2 − 2 sin2 x(1 − sin2 x) =

u2 du (en posant u = sin x). u4 − u2 + 1 8

6

+1 = (u − eiπ/6 )(u − e−iπ /6 )(u + eiπ /6 )(u + e−iπ/6 ), et donc, Maintenant, u4 − u2 + 1 = uu2 +1

u2 a a a a , = + − − 4 2 iπ/6 −iπ/6 iπ/6 u −u +1 u−e u + e−iπ/6 u−e u+e

ou a =

(eiπ/6 )2 (eiπ/6 −e−iπ/6 )(eiπ/6 +eiπ/6 )(eiπ/6 +e−iπ/6 )

=

(eiπ/6 )2 √ i.2eiπ/6 . 3

=

iπ/6 −ie √ , 2 3

et donc

u2 1 −ieiπ/6 ie−iπ/6 ieiπ/6 ie−iπ/6 √ ( ) = − + + u4 − u2 + 1 2 3 u − eiπ/6 u − e−iπ/6 u + eiπ/6 u + e−iπ/6 1 u u √ √ = √ ( ) − 2 3 u2 − 3u + 1 u2 + 3u + 1 √ √ √ √ 1 1 1 1 2u − 3 1 2u + 3 3 3 √ √ √ √ √ = ) ( − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 u + 3u + 1 2 3 u − 3u + 1 u − 3u + 1 u + 3u + 1 √ √ 1 2u + 3 2u − 3 1 1 1 )+ ( √ √ − 2 √ + = √ ( 2 √ ) 1 4 (u + 3 )2 + ( )2 (u − 3)2 + ( 1 )2 4 3 u − 3u + 1 u + 3u + 1 2

2

2

2

et donc, Z

   sin2 x − √3 sin x + 1  1 √ √ 1 +  (arctan ( 2 sin x − 3 )+arctan ( 2 sin x + 3)+C. √ √ dx =   ln sin4 x + cos4 x + 1 4 3  sin2 x + 3 sin x + 1  2 sin x sin(2x)

10. En posant u = sin x, on obtient

u sin x 1 tan x cos x dx = dx = du 3 2 1 + sin(3x) (1 + 3u − 4u3 )(1 − u2 ) 1 + 3 sin x − 4 sin x cos x

Or, 1 + 3u − 4u3 = (u + 1)(−4u2 − 4u − 1) = −(u − 1)(2u + 1)2 et donc, (1 + 3u − 4u3 )(1 − u2 ) = (u + 1)(u − 1)2 (2u + 1)2 et donc, a b1 b2 c1 c2 u = + + + + . (1 + 3u − 4u3 )(1 − u2 ) u + 1 u − 1 (u − 1)2 2u + 1 (2u + 1)2 −1 (−1−1)2 (−2+1)2 − 94 .

a = limu→−1 (u + 1) f (u) = et c2 =

−1/2 (− 21 +1)(− 12 −1)2

=

= − 41 , b2 =

1 (1+1)(2+1)2

=

1 18

1 Ensuite, u = 0 fournit 0 = a − b1 + b2 + c1 + c2 ou encore c1 − b1 = 14 − 18 + 94 = 23 36 . D’autre part, en multipliant par u, puis en faisant tendre u vers +∞, on obtient 0 = a + b1 + c1 et donc b1 + c1 = 14 et 7 donc, c1 = 49 et b1 = − 36 . Finalement,

1 7 1 4 4 u =− − + + − . (u + 1)(u − 1)2 (2u + 1)2 4(u + 1) 36(u − 1) 18(u − 1)2 9(2u + 1) 9(2u + 1)2

Finalement, Z

2 1 2 7 1 1 tan x + ln |2 sin x +1|+ dx = − ln(sin x + 1)− ln(1− sin x)− +C 18(sin x − 1) 9 1 + sin(3x) 36 4 9 2 sin x + 1

11. (voir 6)) Z

cos x + 2 sin x dx = sin x − cos x

Z 1 2 ((sin x + cos x) − (sin x − cos x)) + ((sin x + c...