Exericicis MUPAD UDG 2 PDF

Preview

Summary

Download Exericicis MUPAD UDG 2 PDF

Description

Pr` actica 2. Resoluci´ o de sistemes lineals. ` Algebra. Grau Enginyeria Inform` atica. L’objectiu d’aquesta pr`actica ´es veure una de les maneres que t´e el MuPAD de resoldre sistemes lineals. Tot i que aquests es poden resoldre a trav´es de la comanda solve, quan els sistemes s´on grans conv´e escriure’ls en forma matricial i, per tant, acabar resolent un sistema del tipus AX = B on A ´es la matriu amb els coeficients del sistema, B el vector de termes independents i X el vector d’inc`ognites.

2.1

Resoluci´ o de sistemes lineals amb MuPAD

Comen¸carem carregant aquest paquet: reset() use(linalg); Un sistema del tipus AX=B es soluciona amb la comanda matlinsolve(A,B). Exemple 1 Considerem el sistema:    En busquem la soluci´o amb el MuPAD:

x + z = −1

−3x + z = 2   −x + 2y + 3z = 10

A:=matrix([[1,0,1],[-3,0,1],[-1,2,3]]); B:=matrix([-1,2,10]); X:=matlinsolve(A,B); Tenim un sistema compatible determinat. I podem guardar la soluci´o en les diferents variables: x:=X[1]; y:=X[2]; z:=X[3]; 1

Exercici 1  3x + 6y + z − 3t = 0     2x − 2y − 5z + 9t = 0 Resoleu-lo amb l’ajut del MuPAD.

 x + 3y + 2z − 5t = 0    2x + 3y − z + 2t = 0

Si ho heu fet b´e, haureu observat que el sistema surt compatible indeterminat amb un grau de llibertat. De fet, podem comprovar que el rang de la matriu del sistema es igual al rang de la matriu ampliada pero inferior al nombre d’inc`ognites escrivint: rank(A); rank(concatMatrix(A,B)); La soluci´o del sistema s’ha d’interpretar de la manera seg¨ uent: (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0) + p(2, −1, 3, 1), p ∈ R. De fet, si ho volem, podem guardar x, y, z, t com funcions de p: delete p; x:=p->X[1][1]+X[2][1][1]*p; y:=p->X[1][2]+X[2][1][2]*p; z:=p->X[1][3]+X[2][1][3]*p; t:=p->X[1][4]+X[2][1][4]*p; x(p); y(p); z(p); t(p); Exercici 2    Resoleu-lo amb l’ajut del MuPAD.

x + 2y − 3z = 1 2x + 6y − 11z = 2   x − 2y + 7z = 2

Si ho heu fet b´e, haureu obtingut un sistema surt incompatible, ja que el rang de la matriu del sistema es diferent al rang de la matriu ampliada: rank(A); rank(concatMatrix(A,B)); 2.1.1

Sistemes amb restriccions

Sovint les solucions d’un sistema tenen restriccions addicionals. Veiem-ho en els exemples seg¨ uents. 2

Exemple 2 Tenim tres tipus d’un mateix material, cadascun amb una certa quantitat de ferro, n´ıquel i carboni. Imaginem que el nombre d’unitats de cada element e´s el que s’indica a la taula seg¨ uent:

Mat. 1 Mat. 2 Mat. 3

Fe 1 1 0

Ni 2 1 1

C 4 3 1

Volem una barreja d’aquest material que contingui 5 unitats de ferro, 13 de n´ıquel i 23 de carboni. Com es pot fer? Si anomenem: x=quantitat de Mat. 1, y =quantitat de Mat. 2, z =quantitat de Mat. 3 obtenim el sistema seg¨ uent:   

x+y = 5

2x + y + z = 13  4x + 3y + z = 23

Per`o cal tenir en compte les restriccions addicionals seg¨ uents: x >= 0, y >= 0, z >= 0 ja que, altrament, les solucions no tindrien sentit f´ısic. Ho resolem amb el MuPAD: A:=matrix([[1,1,0],[2,1,1],[4,3,1]]); B:=matrix([5,13,23]); X:=matlinsolve(A,B); I guardem les solucions en forma de funci´ o: delete p; x:=p->X[1][1]+X[2][1][1]*p; y:=p->X[1][2]+X[2][1][2]*p; z:=p->X[1][3]+X[2][1][3]*p; x(p); y(p); z(p); ´ a dir: si utilitzem p unitats de Mat. 3, hem d’utilitzar 8 − p unitats de Mat. 1 i p − 3 unitats Es de Mat 2. Imposem ara les restriccions addicionals, tamb´e amb el MuPAD: solve({x(p)>=0,y(p)>=0,z(p)>=0},p) Per tant, la quantitat de Mat. 3 a utilitzar ha de ser m´es gran o igual que 3 i menor o igual que 8. 3

Exercici 3 La figura mostra una xarxa de canonades d’un u ´nic sentit de circulaci´o. A cada node s’ha de complir que el fluid total que entra en cada node ha de ser igual al que surt. Digueu: (a) Quin ´es el sistema associat. (b) Quines s´on les restriccions addicionals. (c) Resoleu-lo i digueu si hi ha alguna limitaci´o en algun cabal per tal que la soluci´ o tingui sentit f´ısic.

Exercici 4 Una ind´ ustria fabrica tres tipus de productes, P1, P2 i P3. Per produir una unitat de P1 es necessita 1 unitat del compost A, 1 del compost B i 2 del compost C. Per produir una unitat del P2 es necessiten 3 unitats d’A, 4 de B i 5 de C i per al tipus P3 fan falta 2 unitats d’A, 1 de B i 5 de C. Tamb´e sabem que al magatzem hi ha 25000 unitats del compost A, 20000 del B i 55000 del C (a) Quantes unitats de cada producte es poden fabricar amb els compostos emmagatzemats? Hi ha una u ´nica opci´o? (b) Quantes unitats de cada tipus es poden fabricar en funci´o de la quantitat de P3? Podem deduir algunes limitacions en la producci´ o de P3?

2.1.2

Sistemes amb par` ametres

Els sistemes amb par`ametres s’han d’analitzar convenientment si no es volen perdre solucions. Veiem-ho amb el sistema seg¨ uent: 4

Exemple 3    ax + y + z = 1 x + ay + z = 1   x + y + az = 1

Si ens limitem a aplicar la comanda matlinsolve obtindrem: delete a; A:=matrix([[a,1,1],[1,a,1],[1,1,a]]); B:=matrix([1,1,1]); X:=matlinsolve(A,B); simplify(X) Sembla doncs que el sistema es compatible determinat. Per` o que passa si a = −2? I si a val 1? Per a una an`alisi completa de les solucions s’ha d’aplicar la comanda gaussElim a la matriu ampliada del sistema i analitzar els casos problem`atics: denominadors igual a 0 o pivots igual a 0. AB:=concatMatrix(A,B); gaussElim(AB); (a) a = 0 A1:=subs(A,a=0); X1:=matlinsolve(A1,B); Sistema Compatible Determinat. (b) a = 1 A2:=subs(A,a=1); X2:=matlinsolve(A2,B); Sistema Compatible Indeterminat que dep`en de dos par`ametres. (c) 2 − a − a2 = 0 solve(2-a-a^2=0,a); El cas a = 1 ja ha estat estudiat. Fem el cas a = −2. A3:=subs(A,a=-2); X3:=matlinsolve(A3,B); Sistema Incompatible.

5

Exercici 5 Resoleu el sistema seg¨ uent en funci´ o del par`ametre m:  x + my − 5z = 4   2x + 5y − 4z = 6   4x + 10y − (4 + m2 )z = m + 10 Atenci´o: el par`ametre tamb´e apareix en la matriu de termes independents.

6...