Resum comandes MUPAD PDF

Preview

Summary

Resum comandes mupad (MATLAB)...

Description

MATLAB: MuPAD INSTRUCCIONS BÀSIQUES Eliminar la memòria total

reset()

Carregar les llibreries d’àlgebra lineal

use(linalg)

Carregar les llibreries de les funcions de dibuix

use(plot)

Carregar les llibreries pels colors a les gràfiques

use(RGB)

Assignar variables o paràmetres (número, equació... a una lletra o paraula)

:=

Eliminar variables o paràmetres

delete( )

Separar instruccions (majúscula + intro per baixar una instrucció) Fer canvis en una mateixa operació (substituir +1 paràmetre d’una matriu...)

; :

Escriure comentaris dins la cel·la d’instrucció

//

Llista

[ ]

Conjunt

{ }

Avaluar fraccions (decimals)

float( )

Canviar el nombre de dígits decimals

DIGITS:=20

Arrel quadrada

sqrt( )

Paràmetres diferents de 0

assume(a0)

Paràmetres positius

assume(b>0)

Paràmetres reals

assume(k,Type::Real)

FUNCIONS I EQUACIONS Dibuixar una gràfica (dibuixar la funció entre els punts x=0 i x=10)

plot(f,x=0..10)

Resoldre la funció igual a 0 amb la variable x

solve(f=0,x)

Resoldre una equació amb una variable x

solve(eq1,x)

Resoldre un sistema (dues equacions amb dues variables x i y)

solve({eq1,eq2},[x,y])

Substituir x d’una funció per un valor

subs(f,x=4)

MATRIUS I DETERMINANTS

Definir una matriu A per files (assignar una lletra majúscula menys D i E)

A:=matrix([[a,c],[b,d]])

Matriu identitat 3x3

Id:=matrix(3,3,1,Diagonal)

Determinant

det(A)

Traça

tr(A)

Matriu transposada

transpose(A)

Rang

rank(A)

Matriu inversa

inverse(A) // A^(-1)

Canviar un valor dins la matriu

A[2,4]:=0

Producte de matrius

A*B

Concatenació de matrius (afegir una al costat de l’altra) Generar una matriu aleatòria (dimensions 10x10) Matriu ampliada amb les equacions

A.B randomMatrix(10,10,Unimodular) MA:=expr2Matrix({eq1,eq2,eq3},[x,y,z})

Matriu del sistema 3x3 (menys els termes independents) Valors del paràmetre “a” on el determinant de la matriu és igual a 0

M:=submatrix(MA,1..3,1..3) solve(det(MA)=0,a)

VALORS I VECTORS PROPIS eigenvalues(A)

Valors propis Tota la informació de la matriu [valors propis, multiplicitat (repetit o no), vectors propis] Localitzar un vep de dins la llista ([ ] és una llista, començar de l’exterior a la més interior) Concatenar vectors (matriu de veps en columnes)

llista:=eigenvectors(A) vep1:=llista[1][3][1]

Norma d’un vector (suma components)

norm(vep1,1)

Normalitzar un vector (suma de components = 1)

vep1/norm(vep1,1)

Vector normalitzat en percentatge

vep1/norm(vep1,1)*100

Equació característica dels vaps (matriu A amb incògnita λ)

-charpoly(A,`λ`)

eigenvectors(A)

V:=vep1.vep2.vep3

MODELS MATRICIALS Matriu de projecció del model

A:=matrix( )

Vector columna amb la distribució inicial de població

x0:=matrix([],[],[])

Població inicial = norma vector

norm(x0,1)

Evolució de la població

x1:=A*x0

FUNCIONS, DERIVADES I INTERGRALS Expressió (no podem calcular derivada)

p:=2x^2-5*x+7

Funció (a cada x li correspon una y)

f:=x->2x^2-5*x+7

Valor de y en un punt x

y:=f(3) // y:=subs(x,x=3)

Resoldre el punt x on y té un valor concret

solve(f(x)=3,x)

Derivada 1a

f’

Derivada 2a

f’’

Dues gràfiques en la variable t

plot((funcio1,funcio2,t=-2..2)

Derivada respecte t

diff(funcio,t)

Integral definida d’una funció (àrea entre 0 i 10)

A:=int(y,x=0..10); float(A)

Integral indefinida

int(funcio,x) integrate(f(x),x= .. )

RECTA TANGENT Recta tangent en un punt x0

y:=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)

Gràfica de la funció i recta tangent

plot(f,y)

Punt de tangència

punt:=Point2d(x0,f(x0))

Gràfica de la funció amb recta tangent i el punt de tangència

plot(punt,f,y)

Fragment recta tangent (dx=1) (recta tangent a una distància de 1 del punt de tangència x0) + canvi de color de la recta Gràfica de la funció i el fragment de la recta tangent

recta:=Line2d([x0-dx,f(x0)f’(x0)*dx], [x0+dx,f(x0)+f’(x0)*dx], Color=Green) plot(punt,recta,f)

CORBES DE NIVELL Corbes de nivell f (x,y) = c

corbes:=Implicit2d(funció, x=0..3,y=0..4, Contours=[valors de c])

Gràfica corbes de nivell

plot(corbes)

Representar l’animació en moviment de les corbes de nivell

animacio:=Implicit2d(funció, x=0..3,y=0..4, Contours=[a],a=-2..4 valors c, Frames=7 nºc) plot(animacio)

FUNCIONS DE DUES VARIABLES Funció de dues variables z = f (x,y)

f:=(x,y)-> y^2-x^3+4*x

Valor de z en un punt (x,y)

z0:=f(x0,y0)

Derivada parcial respecte x

fx:=D([1],f)(x0,y0)

Derivada parcial respecte y

fy:=D([2],f)(x0,y0)

Superfície

superficie:=Function3d(f(x,y),x=0..2,y=0..2)

Gràfica de la funció 3D

plot(superficie) plot(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2,#3D)

Punt de tangència

punt:=Point3d(x0,y0,z0)

Recta en 3d (d=1) (vector gradient)

recta:=Line3d([x0-fx*d,y0-fy*d,z0-fx^2*dfy^2*d],[x0+fx*d,y0+fy*d,z0+fx^2*d+fy^2*d])

OPTIMITZACIÓ

1 D

2 D

Derivada 1a

simplify(f’(x))

Derivada 2a

simplify(f’’(x))

Punts crítics

punts:=solve(f’(x)=0,x)

Estudi dels punts crítics

x0:=punts[1]; f’’(x0)

Derivada parcial respecte x

D([1],f)(x,y)

Derivada parcial respecte y

D([2],f)(x,y)

Vector gradient gradient(f(x,y),[x,y]) (derivades parcials en columna) Punts crítics punts:=solve(gradient(f(x,y),[x,y])=(0,0),[x,y]) (gradient = 0) solve([D([1],f)(x,y)=0,D([2],f)(x,y)=0],[x,y]) (fx / fy = 0) punts[1] Escollir un punt crític concret Derivades parcials segones (fxx, fyy i fxy = fyx)

D([1,1],f); D([2,2],f); D([1,2],f)

Matriu hessiana

H:=hessian(f(x,y),[x,y])

Determinant matriu hessiana

det(H)

Determinant en un punt (x0,y0)

det:=D([1,1],f)(x0,y0)*D([2,2],f) (x0,y0)-D([1,2],f)(x0,y0)^2

Avaluar els punts crítics a la matriu (substituir per cada punt)

subs(H(x,y)punts[1])

Derivada parcial segona en un punt

fxx:=D([1,1],f)(x0,y0)

EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINÀRIES eq:=x’(t)=k*x(t)

EDO (especificar la dependència del temps x(t)) Solució general EDO

X:=ode::solve(eq,x(t))

Solució EDO amb condició inicial (PVI)

S:=ode::solve({eq,x(0)=x0},x(t))

Seleccionar la solució sense claus

X1:=S[1]

Gràfica de la solució

plot(S(t),t=0..200)

Punt de màxim (entre dos valors)

t1:=solve(diff(S,t)=0,t=0..200)

Valor de màxim

float(subs(S,t=t1))

Concentració en un dipòsit

c:=S/V(t)

Calcular la concentració en un temps

c1:=float(subs(c,t=60))

Calculat el temps per a una concentració (seleccionat dins la llista entre claus)

t1:=float(solve(c=10,t)[1])

Límit de concentració quan t tendeix a infinit

límit(c,t=infinity)

Mitjana de la funció continua (concentració)

c_mitjana:=1/200*int(c,t=0..200)

SISTEMES EDOs Sistema EDOs Solució general amb constants

eq1:=x’(t)=... / eq2:=y’(t)=... equacions:={x’(t)... , y’(t)...} X:=ode::solve({eq1,eq2},{x(t),y(t)}) X:=ode::solve(equacions,{x(t),y(t)})

Solució amb condició inicial (PVI)

S:=ode::solve({eq1,eq2,x(0)=x0,y(0)=y0})

Separar les solucions x(t) i y(t)

X1:=S[1][2] // X2:=S[1][1]

Gràfica de les solucions PVI

plot(rhs(X1),rhs(X2),t=0..10)

Trajectòria en el pla (x,y)

plot([rhs(X1),rhs(X2)],t=0..10)...