Fiche 2 - Symbole Sigma - Notes de cours 2 PDF

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Cours sous forme de devoir corrigé...

Description

Lycée Paul Gauguin

CPGE-EC1

Année 2016/2017

Fiche N°2 : Symboles de sommation Le symbole de sommation :





et de produit 

(sigma)

Soit p un entier supérieur à 1 et u1 , u 2 , u 3 ,..........u p des réels. p

u

La somme u1 u 2 +u 3 ....... u p se note aussi :

(se lit somme de 1 à p des un)

n

n 1

Dans cette notation, la lettre n peut être remplacée par toute autre lettre non encore utilisée. p

Ainsi

p

p

p

u  u  u  u n

n 1

i

i 1

k

k1

j

j 1

q

Proposition : Le nombre de termes de la somme

u

k

est égal à q-p+1

k p

Exercice 2.1 : 3

 u n  ..... n 1

Compléter les pointillés et donner le nombre de termes de chaque somme. 12

5

 ui  ..... i 7

....

....

....

k ...

....

k ...

k  ...

q

u  u k

 .....

1  2  3  4  5  6  ....  2n   ......

1  2  3  4  5  6  7   ......

kp

i

i 2

ln(1)  ln(2)  ln(3)  ...... ln(n)   ......

n ...

q 1

u

k 0

ln(1)  ln(2)  ln(3)  ln(4)   ......

Proposition :

2

 uk  .....

k p

k

 u q1

5

3

 2k k2

2

 ......

(A CONNAITRE ABSOLUMENT)

 Cette égalité est à la base de toutes les démonstrations visant à établir la valeur d’une somme par récurrence. Propriétés de linéarité du symbole de sommation : Soit p un entier supérieur à 1 et u1 , u 2 , u 3 ,..........u p et

v1, v 2 , v3 ,..........vp des nombres réels. Les égalités suivantes sont toujours vraies. 



p

p

p

n 1

n 1

n 1

 (un  vn )   un   vn p

p

n 1

n 1

 ( aun )  a   un pour tout réel a indépendant de n.

Preuve Changements d’indice : m

 Changement d’indice : i  k  n :

  u....

m

....

kp

i ...

k n

k p

 Changement d’indice : i  n  k :

....

u

i ...

 u nk   u....

https://fr.wikiversity.org/wiki/Sommation/Exercices/Changement_d%27indice 12

Lycée Paul Gauguin Exercice 2.2 :

CPGE-EC1

Année 2016/2017

Calculer les sommes suivantes en utilisant le changement de variable indiqué :

n

n2

k 1

k 3

 3 2k 1 et i  k  1

n

 3  et i  k  2

5

k 2

n k

et i  n  k

k 1

Somme télescopique ou « principe des dominos » n

 (u



k 0

k 1

 u k )  ....................

Ce principe est essentiel et à connaître absolument.

Preuve(s) Sommes de référence : Soit n un entier supérieur à 1. n

n

 a  ........

1  ........ k 1

k 1

n

1  2  3  .....  n   ......  k 1

n(n  1) 2

n

12  2 2  3 2  .....  n 2   ......  k 1

n(n 1)(2n  1) 6

 n(n 1)  1  2  3  .....  n   ......     2  k 1 n

3

3

A CONNAITRE PARFAITEMENT

3

Preuve Fiche n°3

2

3

.....

1  q  q 2  .....  q n   q k  k ....

ADMIS

1  q n 1 si q est différent de 1 1 q

.....

1  2q  3q2 .....  nqn 1   kqk 1  k ....

nq n 1  (n  1)qn  1 si q est différent de 1 (1  q)2

Preuve n

Exercice 2.3 :

1.

Exprimer en fonction de n :

2 , i

i 3

2n

i , 2

i 2

2n 1

n

 5 , 3 k

k n

k 0

n k

n

,

n

 2 ,  2 j 2k

i 2

j 0

Le symbole de produit :  Définition : Soit p un entier supérieur à 1 et u1 , u 2 , u 3 ,..........u p des réels. p

Le produit u1u 2 u 3....... u p se note aussi :

u

n

(se lit produit de 1 à p des un)

n 1

Dans cette notation, la lettre n peut être remplacée par toute autre lettre non encore utilisée. Donc

p

p

p

p

n 1

i 1

k 1

j 1

 un   ui   uk   uj 13

Lycée Paul Gauguin Propriétés : Soit p 

CPGE-EC1 .

 p  u n  n 1

p

 a  ...............



n 1

  p      v n   ..................................   n 1 

 p un     ....................  n 1 v n 



Exercice 2.4 :

Année 2016/2017

 p u n 1     ....................  n 1 u n 

si ui  0 pour i  1;p

Soit u1 , u 2 , u 3 ,..........u p des réels strictement positifs. n

 ui ..... exp( u i )  e i1   .....

p

p

ln(  ui )  .......

i1

i 1

.....

Cas particulier : Factorielle d’un entier naturel .....

si n 

: on pose 1  2  3  ......  n 

 .....  n!

et par convention 0!  1

k 1

1!  .....

5! .....

Exercice 2.5 :

12! 3! 9!

Exercice 2.6 : n

2

k

2

k1

k

Exercice 2.7 : somme.

2n! .... .....  .........

(2n)!  .....

n! 

2

n! (n  2)!

2  4  6 ...... (2n)

Ecrire sans le symbole  les expressions suivantes 5

 i ;  3 ;  (1) i 1

n! (n  1)  .....

Simplifier les fractions suivantes :

6! 3! 4! 5!

5

6!  .....

n1

n2

x 2 n 4 ; n1

2n

n

n

5

i ;  n i ;  a (1 a i n

i 1

2 p

p3

) ;

8

2n

n

n 1

 ai ;  2k ;  3k ; u

n

2

k 1

k 1

k 2 k pair

2k

k 0

;

2

n

k 1

Ecrire les sommes suivantes à l’aide du symbole de sommation. On ne cherchera pas à calculer la

A  3 6 9 ............... 126

B  e  e2  e4  e8  ...... e256

C  1 2  3 4 ..............  97

D  5000  5015 5030 ...............  6500

1 1 1 1 1 E      ..............  1 2 5 10 257

F  ln(7) 

G  25  35  ......  n5

ln(8) ln(9) ln(10) ln(40)    ............... 3 5 7 67

H  1  a  a 2  a 3  .....  ( 1)n a n

K

a2 a4 a6 a 2n    ......  2 4 6 2n 14

Lycée Paul Gauguin L

CPGE-EC1

1 2 3 n    ..  ( 1) n 1  2 3 4 n 1

Année 2016/2017

M  ln(1 2  3 ..... n)



Calculer les sommes suivantes (on utilisera les sommes de référence et les propriétés de linéarité)

Exercice 2.8 :

 20  B    3k   2  k 1 

20

A   3k  2 k 1

6

C   2  k k

2

k0

8

1  D    j1  3 



p

2007

1 2006 1  k 1 k i 2 i

G   7  5  2n  4

F 

 H 

n

n 1

3019

 i 

 ln  i  1  i 1

Exprimer en fonction de n les sommes suivantes :

Exercice 2.9 :

A  1 3  3 2  ............... 3 n

n

n

D  i2

C   5n k

B  2  22  23  ............... 22n

k 0

n

n

E   j3

F   (2k)2

G

Exercice 2.10 : n

An  (3 i  2) i 1

k 

k 

H 

k

k 0

j 2

2n

1 k 1 2

n

K   2k 2

L   3  6 2k

k 1

k 1

Calculer les sommes suivantes :

2j j 1 j 0 3 n

Bn  

E n  1  22  24  28  ......  22 n Exercice 2.11 :

6

3n

5

k n 1

k0

j 3

j 1

 1   3 p 2   n

Cn 

p

n

Dn   (3 k  2 2 k ) k 1

Fn  1  3  32  33  .......  ( 1) n 3n

Gn  2.32  2.33  2.34  ......  2.3n

Somme télescopique : Vérifier les égalités suivantes puis calculer les sommes associées

1 1 1   k(k  1) k k  1

S1 

n

1

 k(k  1) k 1

1 1 1 2 1  1 1 1 1 1            k(k  1)(k  2) 2  k k  1 k  2  2  k k  1 k  2 k  1 

A l’aide des idées vues avant, exprimer en fonction de n, S3 

2n

n

S2  

k 1

1 k(k  1)(k  2)

1

 (k  2)(k  3) k 4

Exercice 2.12 :

Exercice 2.13 :

 n 1

x 

n n Soient a et x deux réels quelconques. Montrer que pour n non nul : x  a  (x  a) 

Plus difficile. Calculer An 

n



k

k 0

n 1k

 ak  



  2  pour n entier non nul. On pourra commencer à calculer

k 1

j

 j 0



A1,A 2,A 3 n

Exercice 2.14 :

Exprimer en fonction de n, le produit



1

 1 k  . k 1

Exercice 2.15 :

 Ecrire un algorithme permettant le calcul de 10!

15...