Fiche TD2 2020 - Correction PDF

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TD2 ECO TRAVAIL...

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Cours d’Economie du Travail IAE Nantes L3 AE et EGO - 2020/2021 TD2 – L’Offre de travail et l’arbitrage travail-loisir

Exercice 1 : Soit le programme du consommateur : 𝑀𝑎𝑥 𝑈(𝐶, 𝐹) = 𝛼𝐶𝐹 𝑠𝑐: 𝑤𝐹 + 𝑝𝐶 ≤ 𝑤𝐻 + 𝑅 1°) Interpréter les deux équations en donnant une définition de tous les symboles qui y apparaissent. Donnez ensuite la signification économique et mathématique de la formule « arbitrage travail-loisir ». Cette équation décrit le programme du consommateur. La première équation décrit la fonction d’utilité du consommateur. Cette dernière est une fonction croissante du loisir et de la consommation. 𝑀𝑎𝑥 𝑈 = 𝛼. 𝐶. 𝐹 La seconde équation représente la contrainte budgétaire du consommateur où w représente le taux de salaire et F le loisir (Freedom). wF correspond au prix du loisir (opportunité) * le temps accordé au loisir. P représente le prix unitaire de la consommation et C la consommation, « P.C » représente le montant alloué à la consommation. « wH » représente les revenus liés à l’activité professionnelle taux de salaire * nombre d’heures. R représente les revenus non salariaux. La partie gauche doit être inférieure ou égale à la partie de droite, le ménage ne peut consommer plus que ses revenus. 𝑠𝑐. 𝑊. 𝐹 + 𝑃𝐶 ≤ 𝑊. 𝐻 + 𝑅 D’un point de vue économique, cela permet de modéliser l’arbitrage travail-loisir qui est le choix optima qu’effectue un individu rationnel entre le temps de loisir et le temps de travail rémunéré permettant de consommer. Il maximise son utilité sous une contrainte budgétaire. D’un point de vue mathématique. La maximisation consiste à recherche, pour une contrainte budgétaire, le niveau d’utilité maximal. L’opération de maximisation permet de trouver le point de tangente entre la fonction d’utilité et la contrainte budgétaire. 2°) Résoudre le programme du consommateur. Faire une représentation graphique. 𝑤. 𝐹 + 𝑝. 𝐶 − 𝑤. 𝐻 − 𝑅 ≤ 0 𝑀𝑎𝑥 𝑈(𝐶, 𝐹) = 𝛼. 𝐶. 𝐹 − 𝜆(𝑤. 𝐹 + 𝑝. 𝐶 − 𝑤. 𝐻 − 𝑅)

1

𝑑𝐿

𝑑𝐶

= 𝛼. 𝐹 − 𝜆. 𝑝 = 0

𝑑𝐿 = 𝛼. 𝐶 − 𝜆. 𝑤 = 0 𝑑𝐹 𝑑𝐿 𝑑𝜆

= −𝑤. 𝐹 − 𝑝. 𝑐 + 𝑤. 𝐻 + R 𝜆=

𝛼. 𝐶 𝛼. 𝐹 = 𝑤 𝑝

Ensuite nous remplaçons dans la contrainte : 𝒘. 𝑭 𝒑

𝑪=

𝑤. 𝐹 − 𝑤. 𝐻 − 𝑅 = 0 𝑃 2. 𝑊. 𝑇 − 𝑤. 𝐻 − 𝑅 = 0 2. 𝑤. 𝐹 = 𝑤. 𝐻 + 𝑅 𝑤𝐻 + 𝑅 𝐹∗ = 2𝑤

𝑊. 𝐹 + 𝑝 ∗

Rappel : 𝑪 ∗=

𝐶∗ =

𝒘. 𝑭 𝒑

(𝑤𝐻 + 𝑅) 𝑤 𝑤𝐻 + 𝑅 . => 𝐶 ∗ = 2𝑃 2𝑤 𝑝

𝐿∗ = 𝐻 − 𝐹 = 𝐻 − (

𝑤𝐻 + 𝑅 𝑤𝐻 − 𝑅 ) => 𝐿∗ = 2𝑤 2𝑤

Commentaire : La demande de loisir (F) est croissante avec le salaire nominal (w) -> effet substitution. L’offre de travail (L) est croissante avec le salaire nominal (w) -> effet revenu. La consommation (C) est décroissante avec les prix (p).

2

3°) Étudier, séparément, les effets d'une variation positive de p, w et R sur la demande de loisir et sur la demande de consommation. Pour étudier les effets de la variation d’un paramètre, l’on effectue la dérivée partielle Pour la demande de loisir : La demande de loisir (F) par rapport aux salaires (w) 𝑤𝐻 + 𝑅 𝐹∗ = 2𝑤 𝑢′ 𝑣−𝑢𝑣 ′ 𝑑𝐹 𝑢 Donc 𝑑𝑤 => 𝑜𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑣 = 𝑣² 𝐔 = 𝐰𝐇 + 𝐑 , 𝐮′ = 𝐇, 𝐯 = 𝟐𝐰 , 𝐯 ′ = 𝟐 𝑢′ 𝑣−𝑢𝑣 ′ 𝑣²

=>

𝐻2𝑊−2𝑊𝐻−2𝑅 4𝑊²

=>

𝑅

− 2𝑤² lorsque le prix de la consommation augmente la demande loisir est constante

La demande de loisir (F) par rapport aux revenus non salariaux (R) : dF dR

=

1

2𝑤

= >0 Lorsque les revenus non salariaux augmentent la demande de loisir augmente.

3

La consommation (C) par rapport au salaire (w): (𝑤𝐻+𝑅)

𝑑𝐹

𝑢′ 𝑣−𝑢𝑣 ′

𝑢

𝐶∗ = => 𝑑𝑤 < = > 𝑣 = 𝑣 2 => 2𝑃 𝐔 = 𝐰𝐇 + 𝐑 , 𝐮′ = 𝐇, 𝐯 = 𝟐𝐏 , 𝐯 ′ = 𝟎 H* 2P-WH+R*0 => au numérateur 2HP au dénominateur on obtient 2P*2P => H / 2P 𝐻 => > 0 2𝑃 Lorsque le salaire augmente, la demande de consommation augmente. La consommation (C) par rapport au prix :

𝐶∗ = 𝑑𝐶 𝑑𝑝

(𝑤𝐻 + 𝑅) 2𝑃 1 ′

𝑣′

=> 𝑜𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 ( ) = − 𝑣 𝑣² 𝐶∗ =

(𝑤𝐻 + 𝑅) 1 => 𝑤𝐻 + 𝑅 ∗ 2𝑝 2𝑃 𝑣 ′ = 2,

2

1

𝑤𝐻 + 𝑅 (− 4𝑝2 )  (𝑤𝐻 + 𝑅) ∗ (− 2𝑝2 )=>

𝑣 2 = 4𝑃² (−𝑤𝐻−𝑅) 2𝑝²

augmente la consommation baisse.

Lorsque le prix de la demande

La consommation (C) par rapport aux revenus non salariaux (R): 1 𝑑𝐶 = >0 𝑑𝑅 2𝑝 Lorsque les revenus non salariaux augmentent la consommation augmente. Posons w = p = 1, H = 2, R = 2 et α = 1/2. 4°) Calculer l’offre de travail, les demandes de loisir et de consommation. Avec w=p=1, H=2 , R=2 𝛼 = 𝐹∗ =

𝑤𝐻+𝑅

𝐶 ∗ => 𝐿∗ = 0

=>

2𝑤 (1∗2)+2 2.𝑃

(1∗2)+2 2.𝑃 ∗

1

2

=> 𝐹 ∗=2

=> 𝐶 =2

Le salaire augmente de 50% alors que le revenu non salarial baisse de 50%. 5°) Donner les nouvelles valeurs des demandes de loisir et de consommation. Désormais on a 𝑤 = 0.5 𝑒𝑡 𝑅 = 1 4

𝐹∗ =

(1.5 ∗ 2) + 1 = 1,33 2 ∗ 1.5

(1.5 ∗ 2) + 1 4 = =2 2∗1 2 ∗ 𝐿 = 0,66

𝐶∗ =

Commentaire : Dans le premier cas, les revenus non salariaux de l’individu lui permettent de consommer « 2 » et d’avoir du temps de loisir « 2 » sans travailler « 0 ». Dans le second cas, l’individu fait face à une augmentation de salaire (w) et à une diminution de ses revenus non salariaux (R). Pour maintenir son niveau d’utilité au maximum et conserver « 2 » de consommation, l’individu doit offrir un peu de son temps au travail « 0,66 » (effet substitution), d’où une baisse de son temps de loisir « 1,33 ». Exercice 2 : Un ménage est composé de deux personnes susceptibles d’exercer une activité salariée. Chacun peut travailler au plus pendant une durée posée égale à 1. Soit L, l’offre de travail du ménage. Si L=2 (donc H=2), les 2 personnes travaillent à temps plein ; Si 1 𝐿=

2a 1+a

2a 2(1+𝑎 ) (1+𝑎) (1+a)

2+2𝑎−2𝑎 1+𝑎

=

C∗ = wL C ∗ = 6

2

1+𝑎 2w

1+a

Note : La relation entre le taux de s alaires et l’offre de travail peut-être croissante ou décroissante du fait de la présence d’un effet substitution ou de revenu. Dans notre cas, ces effets se compensent exactement.

2°) Donner une condition sur le paramètre « a » pour que l’une des 2 personnes travaille à temps plein et l’autre à temps partiel. 𝑑𝑈

𝑑𝑢

Les hypothèses fondamentales en micro-économie sont 𝑑𝐿 < 0 . L’utilité marginale du 𝑑𝐿² travail est négative, il existe une désutilité pour le travail et cette désutilité est décroissante. Si on raisonne sur le loisir (T) : F=2-L 𝑑𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑈 𝑎 On en déduit 𝑑𝑇 = 𝑑(2−𝐿) > 0, 𝑒𝑡 𝑑𝐹 =

𝐹

𝑎 𝑑2𝑈 𝑑2 𝑈 𝑑𝑈 = − 2 < 0 𝑠𝑖 𝑎 > 0 𝑠𝑖 𝑎 > 0 = < 0 ,→ 𝑑𝐹 𝑑(2 − 𝐿)² 𝑑𝐹² 𝐹 L’utilité marginale du loisir est positive, mais l’utilité marginale du loisir est décroissante Pour répondre à notre question, on détermine l’intervalle de Alpha ( 𝑎) si on veut 1 0 ≤ 𝐹 ≤ 1

On suppose désormais que le taux de salaire est égal à 1 (w=1) et que a=1/3. 4°) Ecrire la contrainte budgétaire du ménage en présence d’un coût fixe I. En déduire la fonction d’offre de travail de ce ménage et son utilité. On a 𝐶 = 𝑤𝐿 − 𝐼 𝐶 = 2 − 𝐹 − 𝐼 Ecrire la contrainte sous cette forme me permet de l’injecter directement dans la fonction d’utilité et d’éviter de poser un Lagrangien, donc de gagner du temps. U(C,F) = ln (2-F-I) + a ln F L’utilité maximale est atteinte pour le temps de loisir (F) qui vérifie ; 1 𝑎 𝑑𝑈 = − + =0 𝑑𝐹 2−𝐹−𝐼 𝐹 1 𝑎 = 𝐹 2−𝐹−𝐼 2𝑎 − 𝑎𝐹 − 𝐼𝑎 = 𝐹 𝐹𝑎 + 𝐹 = 2𝑎 − 𝐼𝑎 𝐹(1 + 𝑎) = 𝑎(2 − 𝐼) 𝑎(2 − 𝐼) 𝐹∗ = 1+𝑎 𝟏

Avec a=

𝟑

8

2 𝐼 −3 3𝐼 ) 2 − 𝐼 3 𝐹∗ = (2 − = 4 4 1 1+ = 3 3 (2+𝑎𝐼) 𝑎(2−𝐼) 2+2a−2a+aI = 𝐿∗ = 2 − 𝐹∗ = 2 − = 1+𝑎 Avec a =

1

3

𝐼

2+ 3

=>

1 1+ 3

1+𝑎

=

6+𝐼 3 4 3

=

(6+𝐼)∗3 4∗3

=

𝐶 ∗ = 2 − 𝐹∗ − 𝐼∗ = 2 − ( =

8−2+I−4I 4

=

6+𝐼 4

1+𝑎 3

= 2+

𝐼

4

2−𝐼 8−2+𝐼 8−2+𝐼 −𝐼 )−𝐼 = −𝐼 = 4 4 4

6−3𝐼 4

𝑈 = ln 𝐶 + 𝑎 ln 𝐹 = ln( 6

1

6 − 3I 1 2 − 𝐼 ) ) + ln( 4 4 3

2

Si I=0 => ln ( ) + ln( 4) => 𝑈 = 0.174 4

3

5°) Calculer l’offre de travail et l’utilité du ménage dans chacun des deux cas : - Pour I=0,1 - Pour I=0,5 Pour I = 0.1 : 2 − 0.1 1.9 = 0.475 = 4 4 𝐿∗ = 2 − 𝐹 = 2 − 0.475 = 1.525 C’est le temps de travail du couple ; le 1er membre travail à temps plein alors que le second travail à 0.525 𝐹∗ =

1

L’utilité du ménage : 𝑈 = ln(1.425) + 3 . ln(0,475) = 0,10 Pour I = 0.5 2 − 0.5 1.5 = = 0.375 𝑒𝑡 𝐿∗ = 2 − 0.375 = 1.625 4 4 La personne travaille à plein temps et l’autre à 0.625 de temps 1 𝑈(𝐶, 𝐹) = ln(1,125 ) + . ln(0.375) = −0.21 3 𝐹∗ =

Il y a de la désutilité. On peut supposer que la personne à temps partiel (0.625) n’offre plus son temps de travail afin de ne pas supporter l’achat d’une voiture. On peut supposer aussi que le ménage achète une voiture moins chère ou un petit vélo afin de retrouver une utilité positive. 6°) On suppose, pour finir, que I=0,12 + 0,05n 9

Cette fois le coût I est justifié par le fait d’avoir des enfants à charge. Ce coût peut représenter des frais de garde avec une partie fixe (0,12) et une partie variable (0,05n) liée au nombre d’enfants à faire garder. Calculer l’offre de travail et l’utilité du ménage dans chacun des deux cas : - On suppose que n=2 (soit un couple avec 2 enfants) - On suppose que n=4 (soit un couple avec 4 enfants) Que peut-on en conclure ? Offre de travail n= 2

Offre de travail n = 4

𝐼 = 0.12 + 0.05 ∗ 2 = 0.22 2 − 0.22 = 0.445 𝐹∗ = 4 𝐿∗ = 2 − 𝐹 = 2 − 0.445 = 1.555 1 𝑈(𝐶, 𝐹) = ln(1.350) + ln(0.445) = 0,019 3 𝑈>0 𝐼 = 0.12 + 0.05 ∗ 4 = 0.32 2 − 0.32 𝐹= = 0.42 4 𝐿∗ = 2 − 𝐹∗ = 1,48

1 𝑈(𝐿, 𝑇) = ln(1.26) + ln(0.42) = −0,058 3 𝑈...