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Dinámica de la partícula: los Principios de la dinámica

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FÍSICA I Tema 7 DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: LOS PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

Miguel Balbás 1. Dinámica. Introducción al concepto de fuerza.

Los cuerpos, cuando están en presencia mutua, interaccionan entre sí. Supongamos (figura 1) dos cuerpos en presencia el uno del otro. La sola existencia del cuerpo S1 supone que S2 sufre una cierta acción. Estas acciones tienen efecto sobre el movimiento de los cuerpos, producen aceleraciones en cada uno de ellos.

Fig. 1. Interacciones Esta acción tiene una dirección concreta, además de una intensidad. Se ha generalizado este concepto de acción representándola mediante un vector F12 , llamado fuerza, que en el caso de la figura 1 es la fuerza que el cuerpo S1 realiza sobre el S2. Tiene una dirección concreta porque la aceleración producida tiene una cierta dirección, la misma dirección para ambas. Se ha representado también en la figura la fuerza F21 , que sufre S1 por causa de S2. Hasta ahora en nuestros estudios nos hemos preocupado sólo de aspectos cinemáticos, es decir, descripciones de los movimientos producidos. Ahora comienza un análisis que o bien justifica un movimiento observado por la existencia de ciertas fuerzas o conociendo éstas se calcula el movimiento que ellas van a producir. Esta relación entre 1

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la causa (las fuerzas) y la consecuencia (el movimiento) es el objeto de la parte de la mecánica que se denomina dinámica.

2. Primer axioma : Ley de la inercia

En el siglo XVII la dinámica da un salto enorme gracias a las investigaciones experimentales de Galileo Galilei (1564-1642).

Hasta entonces se tenía por cierta la hipótesis de Aristóteles (384-222 a.C.) establecida 20 siglos antes y que afirmaba que para que un móvil se mueva hay que empujarlo aplicando sobre él una fuerza constantemente. Esto nacía de la observación de que todo objeto, por ejemplo un carro, si no es empujado por un hombre, no se mueve. En cuanto deja de empujarlo, el carro se para. Galileo intuyó que además del empuje del hombre existen otras fuerzas, la del rozamiento, que se opone y contrarresta el empuje, de manera que si el carro se mueve con un movimiento uniforme (velocidad constante) es porque finalmente la resultante de fuerzas es nula.

Galileo experimentó con planos inclinados (figura 2), sobre los que hacía avanzar bolas rodando sin deslizar. En la figura se muestran tres formas de colocar el dispositivo. En la primera bajan las bolas por un plano inclinado un ángulo  y suben después por el plano siguiente, de ángulo. Cuando alcanzan la misma altura que tenían al principio se paran.

Durante la bajada el peso de la bola tiene una componente en la dirección y sentido del movimiento, que empuja a la bola hacia abajo.

En el segundo plano la componente del peso se opone al movimiento frenando la bola hasta que se para. La velocidad ha ido disminuyendo.

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Fig. 2: Esferas rodando sobre planos inclinados Si el ángulo del segundo plano se convierte en 1 más pequeño que antes, la bola alcanza la misma altura inicial parándose más lejos en el plano de subida. Pero si  se hace nulo, dejando el segundo plano horizontal, el peso en este recorrido no tiene componente ni hacia delante ni hacia atrás y Galileo observó que la velocidad de la bola se mantenía constante en el tramo horizontal, al no tener fuerza que empuj ase ni que frenara. Teóricamente la bola no se pararía nunca porque nunca alcanza rá la altura inicial de partida.

Fue Isaac Newton (1642-1727) quien sistematizó todos los conocimientos dinámicos estableciendo en 1687 tres principios o axiomas, que como tales no son demostrables sino que se postulan, creando toda la dinámica a partir de ellos. Su aceptación sin discusión nace de que los resultados predecibles con esta teoría están de acuerdo con lo que se experimenta en la práctica.

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El primer axioma, llamado también Ley de la Inercia, establece que un sistema que no sufre la acción de ninguna fuerza, o lo que es lo mismo, las fuerzas que actúan sobre él se contrarrestan teniendo una resultante nula, permanece con un estado de movimiento invariable. Si está en reposo con velocidad nula, permanecerá en reposo. Si se está moviendo con velocidad v , permanecerá en movimiento rectilíneo y uniforme, manteniendo el valor de v . En otras palabras, para cambiar el valor de v hace falta que actúe una fuerza. Mientras esto no se produzca, el estado de movimiento (nulo o no) permanece constante. La inercia es la resistencia de los cuerpos a cambiar su movimiento.

3. Segundo axioma: ecuación de Newton

Hemos visto que el axioma anterior dice si hay o no un cambio en el estado de movimiento. El segundo axioma precisa cómo es este cambio.

Supongamos que sobre un cierto sistema actúa una fuerza F , entonces adquiere una aceleración (cambio de su velocidad) a tal que a es directamente proporcional a F . Puede escribirse la ecuación: F  ma

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donde la constante de proporcionalidad entre F y a se denomina masa inerte del sistema o simplemente masa. Es una característica, una propiedad del sistema. Se sabe que depende de la cantidad de materia M del sistema. Así si se toma con una cantidad de materia M y el sistema tiene una aceleración a1 al sufrir una fuerza F , si después se toma el sistema con doble cantidad de materia 2M, se observa que si se le aplica la misma fuerza F , el sistema adquiere una aceleración a2 que es la mitad de a1 :

F  m1a1  m2 a2  m2

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a1 2

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de donde se deduce que m1  m2 2 o lo que es igual m2  2m1 , es decir, a doble cantidad de materia se tiene doble masa.

La ecuación (1) tiene carácter vectorial, de modo que las direcciones de F y a coinciden. También sus sentidos al ser m positiva.

Si la fuerza resultante F que actúa sobre el sistema es la suma de varias Fi , o sea

F   Fi , la aceleración resultante a es también la suma de las aceleraciones ai que produciría cada Fi si actuara sola:

a

m



i

m



i

m

  ai

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Esta expresión (3) se conoce como principio de independencia.

En el experimento de Galileo con los planos inclinados se observa cómo, en el primer plano de bajada, la componente del peso actúa en el sentido del movimiento, acelerando positivamente a la bola. Sin embargo en el segundo plano, de subida, la componente del peso según el plano es contraria al avance de la bola, lo que supone una aceleración negativa, perdiendo valor la velocidad. En el plano horizontal no hay componente del peso que acelere ni positiva ni negativamente. La ecuación (1) nos dice que si F  0 , también a es nula y se conserva el valor de v .

4. Tercer axioma: acción y reacción

El tercer axioma establece que si un sistema S1 actúa sobre un sistema S2 realizando sobre él la fuerza F12 (véase figura 1), el segundo sistema S2 realiza sobre el S1 una fuerza F21 del mismo módulo, idéntica dirección, pero sentido contrario, tal que la suma de ambas fuerzas tiene resultante nula:

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F12  F21  0

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La línea de acción de ambas fuerzas debe ser la misma, como se ve en la figura, para que su resultado sea nulo. A una cualquiera de ellas la llamamos acción y a la otra reacción.

Es importante advertir que cada una de estas fuerzas actúa sobre un sistema distinto: una de ellas, la

F12 sobre el S2 y la otra, la F21 sobre el sistema S1. Este fenómeno es

independiente de que los sistemas estén en movimiento o no.

La aplicación de este axioma será de ayuda en la resolución de problemas cuando tengamos que estudiar dos o más sistemas que interactúan entre sí, por ejemplo debido a contactos mutuos. La figura 3 nos muestra un ejemplo en el que hay dos cuerpos en contacto que están en equilibrio: la varilla OA y el bloque inferior, que se tocan en el punto B de apoyo sin rozamiento de la varilla sobre el bloque.

Para resolver el

problema y conocer todas las fuerzas que intervienen sobre cada uno de los dos cuerpos, hay que aislar por separado cada uno de ellos.

Fig. 3: Ejemplo de acción-reacción

Así cuando aislemos la varilla, una de las fuerzas que actúa sobre ella es la normal, de módulo N1 desconocido, del apoyo en B (el bloque sostiene en parte a la varilla). Las otras fuerzas que actúan sobre ella son su propio peso P1 y una reacción R de la 6

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articulación O, que impide que este extremo de la varilla se mueva.

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Con las

condiciones de equilibrio de la estática veremos que se pueden calcular la reacción R en O y la normal de apoyo N1, perpendicular a la varilla. Una vez conocida N1, cuando aislemos después el bloque nos encontramos que sobre él actúa N2 . Pero esta fuerza ya no será una incógnita porque conocemos su módulo (igual a N1), su dirección (perpendicular a la varilla) y su sentido (contrario al de N1). Por tanto la aplicación del axioma nos ahorra incógnitas en los problemas a resolver.

5. La partícula material

La partícula material es un sistema ideal, un modelo, que tiene una cierta masa m pero contenida en un volumen tan pequeño que puede considerarse nulo. Es como el punto móvil estudiado en cinemática pero dotado de masa. Ningún sistema real puede tener volumen nulo, pero el modelo es aplicable a sistemas muy pequeños, al menos en comparación con las longitudes y volúmenes del resto de los sistemas que estén presentes. Piénsese, por ejemplo, en el estudio dinámico del movimiento de un electrón.

La partícula es el modelo más simple que podemos considerar en dinámica. Todas las fuerzas que actúan sobre la partícula están localizadas en ella. Al aislarla realizamos el diagrama de fuerzas actuantes. Supongamos que inicialmente tiene velocidad nula. Permanecerá en reposo si la resultante de las fuerzas es nula. Por el contrario si no es nula, adquiere una aceleración que puede calcularse, conociendo su masa m y el valor de la resultante F de las fuerzas, aplicando la ecuación de Newton.

Por eso el estudio de la dinámica comienza siempre por el estudio de la partícula material.

6. Un ejemplo de fuerza: el peso

Ya hemos mencionado el peso como fuerza actuante al hablar de los planos inclinados de Galileo y en el ejemplo de acción y reacción al mencionar el peso de la varilla.

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Solemos encontrarnos con el peso del sistema en prácticamente la totalidad de los problemas de dinámica.

El peso es la fuerza con que la Tierra atrae al sistema y que intenta llevarlo a la posición más baja posible. Es una fuerza que actúa a distancia, atrayendo a cada cuerpo.

El peso puede considerarse en la práctica como constante en módulo mientras el sistema esté situado en la proximidad de la superficie de la Tierra. A grandes distancias habría que aplicar la ley de la gravitación universal, formulada por Newton, en la que la fuerza de atracción viene dada por F  GM Tm p / d 2 , donde MT es la masa de la Tierra, mp la masa pesante del cuerpo y d es la distancia del centro de la tierra al objeto que estudiamos. G es una constante universal, denominada constante de la gravitación universal. Esta expresión es válida para la atracción entre cualquier pareja de sistemas, siendo entonces las masas las de ambos sistemas. En el peso P, mientras la distancia d no varíe mucho se puede suponer que la expresión GMT / d2 es casi constante y además independiente del cuerpo que estudiamos, con lo que el peso depende de esta expresión, que se denomina g (campo gravitatorio) y de la masa m del cuerpo, que inicialmente se llamó masa pesante para intentar distinguirla de la inercial :

P  mp g

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Pero por otro lado si se dejan caer varios cuerpos de diferente masa, y por tanto de diferente peso, en caída libre, es decir, sólo actuando sobre cada uno su propio peso, la experiencia da que caen con la misma aceleración si la resistencia del aire es despreciable. Galileo lo demostró experimentalmente dejando caer desde lo alto de la torre inclinada de Pisa varios objetos y situando al pie de ella varios observadores que daban fe de que los objetos llegaban al mismo tiempo. Si se quiere evitar la posible resistencia del aire, pueden introducirse en un tubo largo, en el que después se hace el vacío. Al darle la vuelta al tubo y situarlo en posición vertical se puede observar la coincidencia de la llegada de los diferentes objetos al otro extremo. El movimiento descrito por cada uno es un movimiento uniformemente acelerado, con una aceleración igual para todos. La única fuerza que actúa sobre cada uno de ellos es solamente su peso. Por la ecuación de Newton podemos escribir: 8

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P  mi a

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Al igualar las expresiones (5) y (6) se tiene :

mp g  mi a

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mp a  mi g

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o lo que es lo mismo :

g tiene las dimensiones de una aceleración porque mp y mi tienen ambas las dimensiones de una masa. La aceleración de caída libre a se puede medir experimentalmente y se obtiene el valor de 9,81 m/s2. Ajustando entonces el valor de G en la definición de g, pueden igualarse las dos aceleraciones a = g, y por tanto hacer que mp = mi , de manera que de aquí en adelante solo hablaremos de masa, sin apellidos de inerte o pesante. De este modo se toma g  9,81 en el Sistema Internacional (S.I.).

Si se trabaja con mucha precisión se observa que g no es rigurosamente constante sino que el valor 9,81 m/s2 es un valor medio admitido internacionalmente, porque g depende del sitio donde se mida. Depende de los valores de la latitud  y de la altura h sobre el nivel del mar del punto donde se observe, mediante la ley :

g  9,78073(1 0,00524sen )(1  0,000000003h) m s 2

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Este resultado es debido a que la Tierra no tiene forma esférica sino que es achatada por los polos, el geoide que forma es parecido a un elipsoide de revolución. Nosotros en la práctica, en la resolución de los problemas de dinámica, tomaremos siempre g = 9,81 m/s2 , pero es interesante conocer sus variaciones, especialmente para un ingeniero de minas porque existe en geofísica un método llamado gravimétrico que permite investigar lo que hay en el subsuelo, midiendo con precisión los valores de g en el terreno y anotando las desviaciones (anomalías) que se producen respecto al valor 9

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teórico. Basta que exista, por ejemplo, una masa metálica cercana, por su mayor densidad, atrae más fuertemente a los objetos en superficie, produciendo valores ligeramente mayores.

Resumiendo, así como la masa, que es invariable, es una propiedad de cada cuerpo, el peso no constituye rigurosamente una propiedad, porque puede ser diferente según el lugar en que esté el objeto.

7. Dimensiones y unidades de las fuerzas

En el Sistema Internacional (S.I.) se ha tomado junto con la longitud L y el tiempo T, como vimos en cinemática, la masa M como tercera magnitud fundamental.

Para ello se ha establecido una masa patrón para definir la unidad, la masa de una cierta pesa, de iridio y platino, conservada en la Oficina de Pesas y Medidas de París. Esta masa queda definida como 1 kilogramo (1 kg). Y con ella se comparan todas las demás masas.

Las dimensiones de la fuerza se derivan de la ecuación de Newton, ya que F = ma, se tiene : F   m a   MLT 2

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A la unidad 1 kg m/s2 se le da el nombre de 1 newton (1N). Existen otros sistemas de unidades además del S.I.

Un sistema en el que hay mucha

literatura escrita es el Sistema Técnico. En este sistema se dio mucha importancia a las fuerzas porque en los problemas de ingeniería son fundamentales las magnitudes como los pesos, las tensiones en cables, la fuerza de presión en los cimientos de un edificio, etc. Se tomó como tercera magnitud fundamental la fuerza en lugar de la masa. Esta quedaba como una magnitud derivada de las de longitud, tiempo y fuerza:

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 F  F 1 2 m   a  LT 2  FL T  

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Era necesario definir una unidad de fuerza. Y aquí se produjo un problema. Se tomó como fuerza unidad el peso de la misma pesa conservada en París. Y se le dio el nombre de kilogramo-fuerza. Pero en la práctica desapareció el término fuerza y se le conoce simplemente como “kilogramo”. Esto puede producir cierta confusión al llamar de la misma forma dos cosas distintas. En el lenguaje coloquial se usa mucho el Sistema Técnico. Cuando compramos alimentos lo hacemos en kilos y no en newtons, y lo mismo cuando decimos nuestro peso. Pero siempre se entiende que nos referimos a una fuerza (el peso en este caso).

Para hacer una transformación de unidades de un sistema a otro piénsese siempre en lo expresado líneas arriba. El peso de la pesa patrón es para el Sistema Técnico un kilogramo mientras que para el S.I. es la masa de la pesa lo que vale un kilogramo. Su peso, por tanto, será P = mg = 1 ∙9,81 = 9,81 N. Luego

1 kg = 9,81 N. Basta con

multiplicar por 9,81 los kilos del Sistema Técnico para tener las fuerzas expresadas en newtons.

Así si el peso de una persona es de 70 kg se traduce en 70 ∙ 9,81 = 686,7 N , cercano a los 700 N.

8. Las distintas clases de interacción

En la naturaleza la física actual reconoce sólo cuatro tipos fundamentales de interacción entre sistemas:

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La fuerza gravitatoria, fuerza de atracción mutua entre los objetos con masa.

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La fuerza electromagnética, fuerza entre las cargas eléctricas, en reposo o en movimiento.

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La fuerza nuclear fuerte, fuerza entre partículas subatómicas, que hace que cargas del mismo signo puedan permanecer en un mismo núcleo atómico

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La fuerza nuclear débil, fuerza entre partículas subatómicas durante procesos de decaimiento radiactivo.

Las fuerzas cotidianas que observamos entre cuerpos macroscópicos se deben a la fuerza gravitatoria o a la fuerza electromagnética. En nuestros problemas de dinámica la práctica totalidad de las fuerzas son debidas a la fuerza gravitatoria. Los pesos de los objetos dan lugar en los puntos de contacto entre ellos a reacciones de apoyo o de rozamiento o de ligadura a una trayectoria dada, como por ejemplo el peso de un péndulo en movimiento que da lugar a una tensión del hilo que lo soporta, obligándole a trazar trayectorias circulares. Se producen además fuerzas de reacción debido al tercer principio. Todo ello constituye el elenco de fuerzas que utilizaremos en nuestros diagramas.

9. Impulso y cantidad de movimiento Se denomina cantidad de movimiento de una partícula a la magnitud p ...