Fisica Informe 3 Graficas Y Ecuaciones PDF

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Warning: TT: undefined function: 32Universidad Mayor de San SimónFacultad de Ciencias y TecnologíaDepartamento de FísicaLABORATORIO DE FISICA BASICA IPRACTICA # 3GRAFICOS Y ECUACIONESDOCENTE: Lic. Flores Flores FreddyINTEGRANTES: Univ. Willams Gaspar MamaniUniv. José Lucio Veizaga GómezUniv. Natalia...

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Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias y Tecnología Departamento de Física

LABORATORIO DE FISICA BASICA I PRACTICA # 3 GRAFICOS Y ECUACIONES

DOCENTE: Lic. Flores Flores Freddy INTEGRANTES: Univ. Willams Gaspar Mamani Univ. José Lucio Veizaga Gómez Univ. Natalia Garnica Navia Univ. Alejandro Vegamonte Buendía HORARIO: Miércoles 12:45 – 14:15

GRAFICOS Y ECUACIONES

1. Obj Objetivos etivos Desarrollar la capacidad para poder realizar las representaciones graficas de las relaciones que existen entre las variables de los objetos. Deducir las relaciones entre las variables de los objetos a través del método gráfico.

2. Fundamento teórico • En física experimental, normalmente trabajamos con dos variables una variable llamada independiente (Xi) que se representa con el eje horizontal, y la otra llamada dependiente o variable de salida (Ya) que se representan en el eje vertical. Ante los cambios de Xi, el sistema revela sus características o comportamientos a través de los cambios que sufre la variable Yi. • Un gráfico es una adecuada representación grafica de los datos experimentales de un sistema de ejes perpendiculares sobre la base de una elección adecuada tanto de la variables como de las escalas de los ejes.

2.1

Apli Aplicaciones caciones principales de los gráficos Sirven de ayuda visual. Se usan para determinar el valor de alguna magnitud. Facilita la obtención de la ecuación empírica o relación entre ambas variables.

2.2

Escalas lineales y no lineales

Las escalas lineales son aquellas en las que distancias iguales representan cantidades iguales. Las escalas no lineales son aquellas que se construyen en base a un patrón de comportamiento que hace que distancias iguales no representan cantidades iguales, por ejemplo, las escalas logarítmicas El papel milimetrado utiliza escalas lineales en ambos ejes, el papel semilogarítmico tiene uno de sus ejes con escala lineal y el otro con escala logarítmica y el papel logaritmo - logaritmo o doble logaritmo tiene en ambos ejes escala logarítmica.

Sugerencias para realizar gráficos Con el propósito de dar una mejor interpretación visual de los datos experimentales, se debe construir una gráfica de la forma más clara posible, algunas sugerencias para graficar en papel milimetrado son: a) Los puntos experimentales no deben estar muy juntos. Se debe seleccionar una escala para que los puntos ocupen razonablemente el espacio que dispone para el gráfico. b) La escala debe ser sencilla de utilizar, de modo que un centímetro del papel representa una unidad (0,1; 10; 100; etc.) de la magnitud medida. c) Los ejes deben estar claramente identificados con las magnitudes y sus respectivas unidades. Al representar los datos en un papel milimetrado se obtiene una “nube de puntos” por los cuales se debe trazar la curva de ajuste que mejor los represente, esta curva puede ser lineal o no lineal. Se denomina relación lineal a la serie de datos que son representados por una recta y relación no lineal a los datos cuya representación es una curva no lineal, por ejemplo, una parábola, hipérbola, etc. Las ecuaciones matemáticas que representan las relaciones entre las variables en general se denominan relaciones funcionales, y se pueden determinar a través de métodos gráficos o métodos analíticos. 2.3 Relación lineal -En una tendencia lineal, la recta de ajuste debe ser trazada de manera que pase por la mayoría de los puntos. La curva de ajuste se traza a simple vista. El modelo matemático para un comportamiento lineal es la ecuación de la recta y la forma general es: 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 4.1 donde el parámetro 𝐴 es la ordenada al origen y representa el valor del eje 𝑦 cuando 𝑥 = 0, su valor se lee en el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas, como se aprecia en la siguiente figura. El parámetro 𝐵 es la pendiente de la recta, se calcula mediante el cociente: 𝐵=

∆𝑦 ∆𝑥

4.2

Donde, Δ𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 y Δ𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 es decir para calcular 𝐵 se debe conocer dos puntos cualesquiera que están sobre la recta.

Y(U)

Yf

ΔY

A

Yi

Xi

Xf X(U)

Determinación de los parámetros de una recta. Método gráfico

La tabla 4.1 es un registro de datos experimentales de la velocidad y del tiempo de un cuerpo en caída libre, 𝑣 = 𝑓(𝑡). Representando los datos en un papel milimetrado como en la figura 4.1, se observa una

t(s)

V(m/s)

1

0,0

15,0

2

1,0

27,0

3

2,0

33,0

4

3,0

44,4

5

4,0

55,0

6

5,0

66,0

V(m

n

10 20 30 40 50 60 7

tendencia lineal y la recta se ha trazado según el criterio de ajuste a simple vista. Para escribir la ecuación de la recta es necesario determinar los parámetros 𝐴 y 𝐵

(4.0,55.0)

(0.0 , 15.0)

0

1

2

3

4

5

6

t(s) Tabla 4.1: mediciones de tiempo y velocidad Figura 4.1 velocidad en función del tiempo

En la figura 4.1 se puede observar que el gráfico no presenta una relación lineal perfecta, porque los puntos están dispersos alrededor de la recta, esto significa que no toda la variación de la velocidad puede ser explicada por la variación del tiempo. Si entre estas variables existiera una relación lineal perfecta, entonces todos los puntos caerían a lo largo de la recta de regresión que ha sido trazada. En la práctica se observa que la mayoría de los puntos no caen directamente sobre la recta, sino que están dispersos en torno a ella, esta dispersión representa la variación en 𝑦, que no puede atribuirse a la variación en 𝑥. La ecuación de ajuste para la recta de la figura 4.1 es: 𝑣 = 𝐴 + 𝐵𝑡 y a partir del gráfico de la figura 4.1 se determinan los parámetros de la recta: 𝐴 = 15,0 la pendiente es B=

2.4

∆𝑣 ∆𝑡

=

𝑣2−𝑣1 𝑡2−𝑡1

=

55,0−15,0 4,0−0,0

= 10,0

Relación no li lineal neal

Las relaciones no lineales más frecuentes y sus modelos matemáticos son:

Relación no lineal

Modelo matemático

Relación potencial simple

𝑦 = 𝑎𝑥b

Relación exponencial directa

𝑦 = 𝑎𝑒 𝑏𝑥

Entre las relaciones potenciales simples, las más conocidas son: Curva

Valor de b

Modelo matemático

Parábola

𝑏=2

𝑦 = 𝑎𝑥 2

Hipérbola

𝑏 = −1

𝑦 = 𝑎𝑥 −1

Cúbica

𝑏=3

𝑦 = 𝑎𝑥 3

Recta

𝑏=1

𝑦 = 𝑎𝑥 1

Si en la representación de los datos experimentales en coordenadas rectangulares no se obtienen tendencias lineales, entonces no es posible encontrar directamente del gráfico la ecuación de la relación no lineal. Por tanto, se busca un método para linealizar, y luego encontrar los parámetros de la curva linealizada y a partir de sus valores determinar la ecuación de la curva original, o la relación funcional con las variables originales.

2.5

Métodos de llinealización inealización

Algunos métodos de linealización para las relaciones no lineales son: • Cambio de variable • Linealización por Logaritmos • Cambio de escala, papel semilogaritmo o papel logaritmo-logaritmo (log-log) Cambio de variable Este método consiste en asumir un modelo para el comportamiento de los datos, es decir estimar o predeterminar el valor del parámetro 𝑏 de la relación no lineal, seguidamente realizar el cambio de variable. Sí el valor de 𝑏 es el adecuado, la nueva gráfica será lineal, caso contrario la gráfica no será lineal. La experiencia y el buen sentido son las únicas herramientas para identificar a las curvas originales, que podrían ser; potenciales (parábolas, hipérbolas, etc.) o exponenciales u otras formas.

2.6 Linealización por logaritmos La ecuación de una potencial simple es: 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑏

4.4

El método para linealizar esta función consiste en aplicar logaritmos a ambos miembros de la ecuación, y aplicando las propiedades de logaritmos, la ecuación 4.4 tiene la forma de: log(𝑦 𝑦 ) = log(𝑎 ) + 𝑏 𝑙𝑜 𝑙𝑜𝑔 𝑔(𝑥 𝑥)

4.5

La ecuación 4.5 representa la ecuación de una recta con las nuevas variables de log(𝑥) y log(𝑦), escribiendo de otra forma, se tiene: 𝑦 ′ = 𝐴 + 𝐵𝑥 𝐵𝑥′ Donde 𝑦 ′ = log(𝑦 𝑦 ),

𝑥 ′ = log(𝑥 𝑥 ),

𝐴 = log(𝑎 𝑎) ,

𝐵 =𝑏

3. Materi Materiales ales • Para esta practica no se realizan mediciones, sin embargo, las herramientas para elaborar el informe son: Sistema de Microsoft Excel Calculadora científica

4. Procedimi Procedimiento ento experimental 1. Completar las tablas C.1, D.1 y E.1 con los resultados (sólo valores representativos) de los diferentes grupos, obtenidos de la práctica anterior. 2. Representar gráficamente los datos de las tablas C.1, D.1 y E.1, donde las masas están en los ejes de las ordenadas. 3. Determinar los parámetros de la curva de ajuste de las tablas C.1, D.1 y E.1, donde se debe aplicar los diferentes métodos de linealización si corresponden 4. Escribir las ecuaciones de ajuste para cada gráfica.

n

H(cm)

M(g)

n

H(cm)

M(g)

n

H(cm)

M(g)

1 2

1.00 2.00

8.65 17.30

1

1.00

8.65

2

2.00

17.30

1 2

1.00 2.00

8.65 17.30

3

3.00

25.95

3

3.00

25.95

4

4.00

34.63

4

4.00

34.63

3 4

3.00 4.00

25.95 34.63

5

5.00

43.31

5

5.00

43.31

6

6.00

51.95

6

6.00

51.95

5 6

5.00 6.00

43.31 51.95

Tabla C. 1 Cilindros

Tabla D. 1 Discos

Tabla E. 1 Esferas

5. Res Resultados ultados Cilindro En la figura C.1 graficar los datos de la Tabla C.1; masa en función de la altura

CILINDRO 60 50

MASA

40 30 20

10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

ALTURA

Figura C.1 Masa en función de la altura para los cilindros

Según la curva de la figura C.1, el modelo de ajuste es:

𝒎 = 𝑨 + 𝑩𝒉

A partir de la figura C.1, determinar los parámetros de la curva de ajuste:

𝑩=

𝚫𝐦 𝚫𝐡

=

𝒎𝟐−𝒎𝟏 𝒉𝟐−𝒉𝟏

=

𝟑𝟒.𝟔𝟑−𝟖.𝟔𝟓 𝟒−𝟏

= 𝟖. 𝟔𝟔

A = 8.65 Con los valores de los parámetros encontrados, escribir la relación funcional entre la masa y la altura:

𝒎 = 𝟖. 𝟔𝟓 + 𝟖. 𝟔𝟔𝒉 Despreciando el valor de 𝐴, la ecuación de ajuste es:

𝒎 = 𝟖. 𝟔𝟔𝒉

Discos En la figura F.1 graficar los datos de la tabla D.1; masa en función del diámetro:

DISCO 50 45

MASA

40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

DIAMETRO

Figura D.1 Masa en función de la altura para los discos Según la curva de la figura D.1, el modelo de ajuste es:

𝒎 = 𝑨 + 𝑩𝒛 Linealización por el método de cambio de variable Asumiendo que la curva de la figura D.1 es una parábola con 𝑏 = 2, entonces el cambio de variable será 𝑧 = 𝐷 2 . Con este cambio completar la tabla D.2. z(cm2)

M(g)

1 4

1.22 4.90

9 16

10.40 19.52

25 36

30.71 43.75

Tabla D.2 Valores de masa y la variable 𝒛 = 𝑫2

En la figura D.2 graficar la masa 𝑚 en función de la nueva variable 𝑧.

7

DISCO 50 45

MASA

40 35 30 25 20 15 10 5

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Z

Figura D.2 Masa en función de la variable 𝒛

La figura D.2, sugiere como modelo de ajuste:

𝒎 = 𝑨 + 𝑩𝒛 A partir de la figura D.2, determinar los parámetros del modelo de ajuste:

𝑩=

𝚫𝐦 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 𝟑𝟎. 𝟕𝟏 − 𝟏. 𝟐𝟐 = = = 𝟏. 𝟐𝟐 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 𝚫𝐳 𝟐𝟓 − 𝟏

A= 1.22

Con los valores de los parámetros, escribir la relación funcional entre la masa y la variable 𝑧:

𝒎 = 𝟏. 𝟐𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟐𝒛 𝒎 = 𝟏. 𝟐𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟐𝑫𝟐 Despreciando el valor de 𝐴, la ecuación de ajuste es:

𝒎 = 𝟏. 𝟐𝟐𝑫𝟐 Linealización por el método de logaritmos A partir de la tabla D.1, completar la tabla D.3.

X= log(D)

Y= log(m)

0 0.30

0.08 0.69

0.47

1.07

0.60

1.29

0.69

1.48

0.77

1.64

Tabla D.3 Logaritmos de la masa y el diámetro de los discos En la figura D.3 graficar los datos de la tabla D.3

DISCO 1.8 1.6

1.4

EJE Y

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

EJE X

Figura D.3 log(m) en función de log(D) para los discos A partir de la figura D.3, determinar los parámetros 𝐴 y 𝐵 de la recta, y con ellas determinar los parámetros 𝑎 y 𝑏 del modelo potencial:

𝒍𝒐𝒈(𝒚) = 𝒍𝒐𝒈(𝒂) + 𝒃 · 𝒍𝒐𝒈(𝒙) 𝒀" = 𝑨 + 𝑩𝒙" 𝒍𝒐𝒈(𝒚) = 𝒀

𝒍𝒐𝒈(𝒂) = 𝑨 𝑩=

𝚫𝐥𝐨𝐠(𝐲) 𝚫𝐥𝐨𝐠(𝐱)

b=B 𝒍𝒐𝒈(𝒚 )−𝒍𝒐𝒈(𝒚)

𝒍𝒐𝒈(𝒙) = 𝒙

= 𝒍𝒐𝒈(𝒙 𝟐)−𝒍𝒐𝒈(𝒙) = 𝟐

𝟏.𝟒𝟖−𝟎.𝟔𝟗 𝟎.𝟔𝟗−𝟎.𝟑𝟎

a= 10A

= 𝟐. 𝟎𝟐

Finalmente, la relación funcional entre la masa y el diámetro para los discos es:

𝒍𝒐𝒈(𝒚) = 𝟎. 𝟔𝟗 + 𝟐. 𝟎𝟐 · 𝒍𝒐𝒈(𝒙)

0.9

Esferas En la figura E.1 graficar los datos de la tabla E.1; masa en función del diámetro

ESFERA 50 45

MASA

40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

DIAMETRO

Figura E.2 Masa en función del diámetro de las esferas Según la curva de la figura E.1, el modelo de ajuste es: m=b*ax2

lineación por el método de cambio de va variable riable asumiendo que la curva de la figura E1 tiene una potencia b=2, entonces el cambio de variable será Z=D2. Con este cambio se completa la tabla E2

n

Z(cm2)

M(g)

1

0,508

1,47

2

0,996

4,50

3

2,253

13,75

4

3,048

21,70

5

3,629

28,20

6

4,937

44,75

Tabla E2 de masa y de la variable Z=D2 para las esferas En la figura E2 graficar la masa m en función de la nueva variable Z

ESFERA 50 45

MASA

40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

Z

Figura E2Masa en función de la variable Z De acuerdo a la figura E2 ¿por qué b=2 , no es el modelo adecuado?, justificar la respuesta: - Porque elevar el diámetro a 2 no resultó ya que la gráfica sigue representando una curva parabólica y el objetivo del cambio de variable es lograr una curva lineal. Por eso no es el modelo adecuado. Si ahora se asume b=3, el cambio de variable será w= D . Con este cambio completar la 3 tabla E3

N

W(cm3)

M(g)

1

0,362

1,47

2

0,994

4,50

3

3,382

13,75

4

5,323

21,47

5

6,913

28,30

6

10,970

44,75

Tabla E3, valores de masa y variable W(cm3) para las esferas En la figura E3 graficar los datos de la tabla E3, masa m en función de la masa de la nueva variable W

ESFERA 50

MASA

45 40 35 30

25 20 15 10 5

0 0

2

4

6

8

10

12

W

Figura E3. Masa en función de la variable w De acuerdo a la figura E3, ¿por qué b=3, es el modelo adecuado?, justificar respuesta: Por que conseguimos lo que buscábamos la curva que logramos obtener con b=3 es lineal y no es una parábola, ni hipérbola, en caso de que lo sea este cambio iva ser un fracaso, pero viendo que sí resulta una curva lineal es el modelo adecuado. De la figura E3, determinar los parámetros del modelo de ajuste: Para A = 0 en la curva

Para B

A+ Bw Es lineal por lo tanto su ecuación matemática es igual:

𝐵 = /\m = 44,75 - 1,47 = 4,08 /\ w 10,970 - 0,362

m = A +Bw Entonces la ecuación m=m(w), con los valores de los parámetros es m = 0+4,08w Despreciando el valor de A, y retornando a la variable original, la relación funcional entre la masa y el diámetro es: m = 4,08w

Linealización por el método de logaritmos, esferas A partir de la tabla E3, completar la tabla E4. N

X=log(D) y=log(m)

1

-0,147

0,167

2

0

0,653

3

0,176

1,138

4

0,242

1,336

5

0,279

1,450

6

0,346

1,650

tabla E4logaritmos de la masa y del diámetro de las esferas En la figura E4 graficar los datos de la tabla E4:

log (m) en funsion de log(d) 1.8 1.6 1.4

y=log(m)

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x=log(D)

Figura E4 log(m) en función de log(D) para las esferas A partir de la figura E4, determinar los parámetros A y B de la recta, y con ellas determinar los parámetros a y b del modelo potencial A es el origen de la recta por lo tanto B es la pendiente igual a: A= 0 A + B(D)

B= 1,650 - 0, 167 = 3,01 0,346 - (-0,147)

La ecuación que le corresponde es: m = A + B(D)

Finalmente, la relación funcional entre la masa y el diámetro para la esfera es m= 0+ 3,1(d)

6. Co Conclusiones nclusiones

➢ ➢ ➢

Para analizar bien los datos experimentales lo representamos en gráficas. Por medio de tablas y la modelación de las gráficas se determina las relaciones existentes en una variable, que pueden ser lineales, cuadráticas o inversas. Se aprendió a graficar teniendo en cuenta el concepto de escala para cada eje, con el concepto de cifras significativas.

7. Cuestionario 1. Cuando en una gráfica no lineal el cambio de variable para linealizar es adecuado ¿qué tipo es la gráfica que se obtiene? Respuesta: Si el cambio de variable es el adecuado se obtiene una gráfica lineal o una línea recta. 2. ¿Qué tipos de modelos podrá usted señalar, para las distintas gráficas? Respuesta: Se puede señalar Y = ax 2 para el caso de una parábola Y = a/x para el caso de una hipérbola rectangula...