Fondamenti di Automatica - Manuale di teoria PDF

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FONDAMENTI DI AUTOMATICAMatteo Pancini 117 Maggio 20211 Appunti tratti dalle lezioni del prof. A. LevaIndice 1 Problemi e sistemi di controllo 1 Il problema del controllo 1 Strategie di controllo 1.2 Anello Aperto (AA) o Feed Forward 1.2 Anello Aperto con compensazione del disturbo 1.2 Anello Chiuso...

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FONDAMENTI DI AUTOMATICA Matteo Pancini1 17 Maggio 2021

1

Appunti tratti dalle lezioni del prof. A. Leva

Indice 1 Problemi e sistemi di controllo 1.1 Il problema del controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Strategie di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Anello Aperto (AA) o Feed Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Anello Aperto con compensazione del disturbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Anello Chiuso (AC) o Retroazione o Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Anello Chiuso con compensazione del disturbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5 5 5 5 6

2 Sistemi dinamici 2.1 Introduzione ai sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sistemi dinamici a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sistemi dinamici a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Sistemi dinamici LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Esponenziali di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Linearizzazione nell’intorno di un equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 10 12 12 13 15 16 17

3 Stabilità 3.1 Stabilità di un equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Stabilità di un sistema dinamico LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Caso a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Caso a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Criteri di stabilità (asintotica) per sistemi LTI a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Criterio di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Tabella di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Sistemi linearizzati e stabilità di equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 18 19 19 20 21 21 22 23

4 Funzione di trasferimento 4.1 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sviluppo di Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Calcolo e aspetto della funzione di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Realizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Raggiungibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Realizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Sistemi interconnessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Blocchi in serie o cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Blocchi in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Blocchi in retroazione o feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 25 27 29 30 30 31 32 33 35 36 37 37

1

4

8

INDICE 5 Risposta in frequenza 5.1 Risposta esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Risposta sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Rappresentazioni della risposta in frequenza di una funzione di trasferimento G(s) . . . . . . . . . 5.3.1 Diagramma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Ga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Gb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Gc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Gd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 39 39 39 . 41 41 41 42 43 43 43 44

6 Analisi dei sistemi retroazionati 47 6.1 Schema fondamentale di un anello (loop) di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2 Stabilità asintotica di sistemi retroazionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.3 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3.1 Diagramma di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.4 Margini di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.4.1 Margine di modulo Mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.4.2 Margine di guadagno km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.4.3 Margine di fase ϕm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.5 Progetto del controllore in retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.6 Progetto statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.7 Progetto dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.7.1 Vincolo sulla velocità di risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.7.2 Vincolo sulla reiezione di un disturbo in andata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.7.3 Vincolo sulla reiezione di un disturbo in retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.7.4 Modus Operandi per progetto dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.8 Sistemi a fase minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.9 Compensazione in anello aperto di disturbi in andata misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.10 Cenni al controllo a 2 gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.10.1 1 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.10.2 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.11 Cenno al progetto (nelle ipotesi di Bode) in condizioni di incertezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7 Regolatori PID 7.1 Legge PID ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Azione proporzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Azione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Azione derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Forme alternative della legge di controllo PID ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Legge PID in forma standard ISA reale a 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Metodi di taratura per PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 IMC PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.1 IMC e FOPDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 PID reale a 2 gdl ed effetto di N, b, c sugli zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Cenno al controllo di sistemi instabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Processo del 1o ordine con polo instabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Processo del 2o ordine con polo instabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 66 66 66 67 67 68 69 69 70 71 72 72 73

8 Sistemi dinamici a tempo discreto 8.1 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Trasformata zeta e funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Raggiungibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Schemi a blocchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 74 74 75 75 76

INDICE

3

9 Controllo digitale 77 9.1 Schema di controllo (loop) ibrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 9.2 Discretizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9.2.1 Discretizzazione esatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9.2.2 Discretizzazione approssimata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9.2.2.1 Metodo di Eulero esplicito (EE) o delle differenza in avanti . . . . . . . . . . . . . . 79 9.2.2.2 Metodo di Eulero implicito (EI) o delle differenza all’indietro . . . . . . . . . . . . . 79 9.2.3 Discretizzazione e stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 9.3 Passare da R∗ (z) alla legge di controllo a TD u∗ (k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.3.1 Windup e antiwindup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.3.2 Tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.4 Effetto dinamico di S&H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.4.1 Campionamento S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 9.4.2 Mantenimento zero-order ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 9.5 Scelta del tempo di campionamento Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10 Laboratorio

90

Capitolo 1

Problemi e sistemi di controllo L’automatica studia i problemi di controllo, cioè tutti quei fenomeni attuati da sistemi fisici ai quali vogliamo imporre un comportamento desiderato e che trovano soluzione proprio nei cosiddetti sistemi di controllo. Nell’esperienza quotidiana abbiamo tantissimi esempi di problemi di controllo, si pensi all’automatizzazione dei sistemi di riscaldamento nelle case: il sistema di controllo interno, nonostante le variabili ambientali che ci possono essere (presenza o meno di persone, oggetti, variazioni di pressione, ecc...), ha il compito di mantenere la temperatura prefissata. Ogni problema di controllo è costituito da: • Sistema fisico • Variabili da controllare • Variabili su cui agire • Andamento desiderato delle variabili modelli ↑ fisica I sistemi di controllo sono invece costituiti da:

In particolare noi studiamo questo passaggio:

automatica −−−−−−−−→

leggi di controllo ↓ implementazione

• Trasduttori = strumentazione per misurare varibili da controllare • Attuatori = strumentazione per agire sulle variabili di controllo • Controllori (o Regolatori) = programmi che comandano gli attuatori in base a delle regole

1.1

Il problema del controllo

Consideriamo questo schema, che sintetizza gli elementi in gioco presenti in un sistema di controllo: S = sistema da controllare w u = variabili di controllo (in generale, l’ingresso) − → ↓d in cui: y = variabili d’uscita S y u d = disturbi, che influenzano y ma non li posso controllare − → − → w = andamento desiderato di y (o segnale di riferimento o set point) Osservazione. Le frecce sono legami istantanei ⇒ NON viene effettuata alcun tipo di operazione, NON c’è un prima e un dopo. Osservazione. Il nostro obiettivo è che: y ≃ w, nonostante d e nonostante la conoscenza di S possa essere non perfetta.

4

CAPITOLO 1. PROBLEMI E SISTEMI DI CONTROLLO

1.2

5

Strategie di controllo

Abbiamo visto che per risolvere i problemi di controllo sono necessari dei sistemi di controllo, che saranno caratterizzati da un oggetto definito controllore. Il controllore è l’elemento alla base dei sistemi di controllo, tuttavia possiamo identificare diverse strategie, che possono (o meno), fare uso di ulteriori dispositivi. Analizziamo adesso 4 tipologie diverse di strategie di controllo. Osservazione. Da ora in poi con:

1.2.1

C ci referiamo a un controllore.

Anello Aperto (AA) o Feed Forward d

w

C

u

S

y

Osservazione. Il controllore C non conosce nè y nè d ⇒AA funziona solo se il legame u → y è noto e d = 0.

1.2.2

Anello Aperto con compensazione del disturbo

w

dm

Md

d

C

u

S

y

In questo sistema di controllo aggiungiamo un misuratore di disturbo (Md ), il cui nome è chiaramento autoesplicativo, che raccoglie informazioni sul disturbo e inoltra la misurazione (d m ) al controllore, permettendo così una compensazione di tale disturbo. Il sistema funziona se: • Il legame (d, u) → y è noto • La misura d m del disturbo è esatta

1.2.3

Anello Chiuso (AC) o Retroazione o Feedback d

w

C

u

S

y

ym

My

y

In questo sistema di controllo aggiungiamo un misuratore della variabile d’uscita (My ), che inoltra la misura (ym ) al controllore. In questo modo C agisce sapendo già cosa succede (inclusi gli effetti del disturbo d ). Questo sistema può tollerare una conoscenza inesatta di S in quanto vede cosa effettivamente succede! Osservazione. Occore sempre che ym = y

⇒

controlliamo NON grandezze... ma misure!

CAPITOLO 1. PROBLEMI E SISTEMI DI CONTROLLO

1.2.4

6

Anello Chiuso con compensazione del disturbo

w

dm

Md

dd

C

u

S

y

ym

My

y

Questo sistema è certamente il più performante dei 4 in quanto al vantaggio di essere chiuso, quindi possiede un misuratore d’uscita (My ) che misura il segnale d’uscita e lo trasmette al controllore, e in più ha un misuratore di disturbo (Md ) che misura il disturbo stesso e lo inoltra direttamente al controllore, rendendo ancora più veloce la reazione del sistema alle possibili variazioni del disturbo. Esempio. Sfruttiamo adesso un modello fisico, in particolare un sistema massa molla su superficie con attrito, per fare alcune considerazioni sul suo comportamento con controllo in AA e AC in caso di equilibrio e in caso di movimento.

Fmolla F(ingresso u)

k Fatt y(uscita)

0

Dalla fisica sappiamo che: m Caso 1.

d2 y − h dy = u − ky dt dt2 F F molla F att

MODELLO STATICO (all’equilibrio) P Se il sistema è in equilibrio, allora: F = 0.

In particolare, dal momento che il sistema è fermo, F att = 0 ⇒ u = ky .

Quindi avremo equilibrio y = uk , impresso u costante.

Se voglio y = y o , con y o una particolare uscita, dovrò ovviamente applicare un ingresso u = ky o . • Control lo in AA: Supponiamo che k = kn + ∆k, con: – kn = valore nominale – ∆k = incognito Se applichiamo un ingresso u = kn y o , otteniamo un’uscita:

y=

U k

=

u kn +∆k

y−y o yo

=

kn yo kn +∆k

⇓ = − ∆k k

CAPITOLO 1. PROBLEMI E SISTEMI DI CONTROLLO

7

Da questo ultimo risultato possiamo dunque dedurre che: errore di modello (∆k 6= 0) ⇒ errore nel controllo (y 6= y o ). • Control lo in AC: Consideriamo un ingresso generico: u = α(y o − y) Significa che il controllo è proporzionale all’errore (y o − y) con αparametro positivo, cioè α > 0. Possiamo ora calcolare l’uscita:

y=

u kn +∆k y−y o yo

=

α(y o −y) kn+∆k

⇓ k = − k+α

Conseguenze: 1. / −→ errore 6= 0, anche se ∆k = 0 2. , −→ con α abbastanza elevato posso rendere l’errore piccolo a piacere Caso 2.

MODELLO DINAMICO (in movimento) Osserviamo adesso il sistema in movimento, dalle equazioni fisiche avremo perciò: m¨ y (t) + hy(t ˙ ) + ky(t) = u(t)

7−→ Edo del 2o ordine lineare a coefficienti costanti con forzante U(t)

• Control lo in AA: Dal momento che h(t) non dipende da y(t) ⇒ l’integrale generale dell’ omogenea associata non cambia ∀U (t). • Control lo in AC: ˙ con α, β Prendiamo, a titolo di esempio, un forzante di questo tipo: u(t) = α(y o (t) − y (t)) + β y(t), due parametri di controllo. Sostituendo all’equazione di partenza otteniamo: ˙ m¨ y (t) + hy˙ (t) + ky(t) = α(y o (t) − y (t)) + β y(t) ⇓ m¨ y (t) + (h − β)y˙ (t) + (k + α)y (t) = αyo (t) Possiamo vedere che l’integrale generale dell’omogenea associata dipende dai parametri di controllo α, β, che alterano il polinomio caratteristico. Osservazione. Questo esempio vuole mostrare che un AA è incapace di modificare il sistema, mentre un AC può modificare le forme delle soluzioni del sistema (infatti possiamo ottenere, mediante determinati α, β, radici complesse o reali, andando a giocare proprio con questi parametri).

Capitolo 2

Sistemi dinamici 2.1

Introduzione ai sistemi dinamici

I sistemi dinamici costituiscono l’oggetto fondamentale per la teoria dei sistemi di controllo. u S y in cui se dovessero essere presenti dei disturbi, immaginiamo Consideriamo un sistema semplice: − → − → che u li contenga insieme a tutti gli ingressi. Problema: la conoscenza di u(τ ), τ ∈ [t0 , t] è sufficiente a determinare y(τ ), τ ∈ [t0 , t] ? La risposta a questa domanda ha due possibili soluzioni: 1. SI−→S è un sistema non dinamico 2. NO−→S è un sistema dinamico Definizione. Un sistema dinamico è un sistema tale che la conoscenza degli ingressi non è sufficiente a determinare l’uscita (in un determinato intervallo di tempo). Adesso analiziamo alcuni esempi che ci permetteranno di comprendere meglio quali sono sistemi dinamici e quali no. Esempio. Circuito semplice. y(t)

u(t)

Per la legge di Ohm: y(t) =

u(t) R

R

⇒ sistema non ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ dinamico ✿✿✿✿✿✿...