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Tema 2 – GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO

Actividad 1a)- Intentad definir de la forma más precisa posible las nociones de plano, recta, punto, semiplano, semirrecta y segmento. b)- Ahora pensad en cómo les explicaríais estos conceptos a niños de primaria. Buscad objetos cotidianos que puedan sugerírselos.

Actividad 2La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular trazada por su punto medio. a)-¿Cómo trazaríais la mediatriz de un segmento usando sólo el compás?. b)- Unid ahora algunos puntos de la mediatriz con los extremos del segmento, ¿qué distancia los separa?. ¿Podéis enunciar una propiedad que refleje lo que acabáis de observar?.

Actividad 3Un ángulo es el conjunto de puntos del plano comprendidos entre dos semirrectas de origen común. Las dos semirrectas son los lados del ángulo mientras que el punto en común es el vértice. A

O B Para nombrar un ángulo usamos la letra mayúscula del vértice y un ángulo pequeño sobre ella: Ô, o también se puede nombrar con la letra de un lado, la letra del vértice y la letra del otro lado: AÔB. Para ver si un ángulo es más grande que otro hay que fijarse en la abertura de los lados. Así tenemos las siguientes clases de ángulos:

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a)- Explicad cómo son cada uno de estos tipos de ángulos, y relacionad unos con otros atendiendo a su abertura. También podemos clasificar los ángulos atendiendo a su colocación: Consecutivos son los que tienen un lado común y el mismo vértice. Adyacentes son los ángulos consecutivos que tienen el lado no común sobre la misma recta. Opuestos por el vértice son aquellos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. b)- Dibujad ejemplos de cada uno de estos tipos de ángulos y pensad en situaciones reales donde podamos visualizarlos. Actividad 4Los ángulos se miden con el transportador de ángulos o el círculo graduado. Usamos los grados, minutos y segundos sexagesimales: un grado es la medida de cada uno de los ángulos conseguidos si dividimos un ángulo recto en 90 ángulos iguales. La relación entre grados, minutos y segundos es: 1º = 60’ y 1’ = 60’’. Podemos sumar y restar ángulos, multiplicarlos por un número natural o dividirlos. a)- Haced un dibujo de cada una de estas operaciones y explicad los pasos que hay que seguir para realizarlas gráficamente. b)- Utilizando el transportador de ángulos, medid los ángulos de la escuadra y el cartabón. Ahora, sin utilizar el transportador, dibujad ángulos de amplitud: 75º, 105º, 150º, 15º, 120º, 210º, 135º y 225º. c)- Sumar: 48º53’29’’ y 16º42’38’’ Restar: 85º45’16’’ y 42º38’29’’ Multiplicar: 18º25’43’’ por 4 Dividir por 5: 86º37’40’’ ¿Qué sistema de numeración habéis empleado en estas operaciones?. ¿Se os ocurren otros ejemplos en donde usualmente se utilice este sistema de numeración?. d)- La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Trazad la bisectriz de un ángulo dibujado en un papel de todas las formas que se os ocurran. Actividad 5Dos ángulos son complementarios cuando suman un ángulo recto. Y dos ángulos son suplementarios cuando suman un ángulo llano. a)- El suplementario de un ángulo obtuso ¿qué tipo de ángulo es?, ¿y el de un ángulo agudo?, ¿y el de uno recto?. ¿Pueden ser dos ángulos agudos suplementarios?, ¿y complementarios?. b)- ¿Cuánto mide un ángulo de amplitud ¾ de un recto?, ¿cuánto mide su ángulo suplementario?.

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Actividad 6a)- Completa el cuadro siguiente para los distintos tipos de ángulos que aparecen al cortar una recta a dos paralelas:

b)- Si el ángulo 2 mide 30º, ¿podríais decir cuánto miden los otros 7 ángulos sin usar el transportador? c)- Con los resultados obtenidos, comparad las parejas de la tabla del apdo a) y deducid la propiedad que las caracteriza. d)- En la figura adjunta r y s son paralelas, el ángulo 1 mide 60º y el ángulo 6 mide 30º, ¿cuánto valen el resto de los ángulo?

Actividad 7a) Comprobad que si dos ángulos tienen sus lados paralelos y ambos son agudos u obtusos, entonces son iguales; pero si uno es agudo y otro obtuso, entonces son suplementarios. Dibujad todos los casos posibles e intentad demostrar los resultados. b) Comprobad que si dos ángulos tienen sus lados, respectivamente, perpendiculares y ambos son agudos u obtusos, entonces son iguales; pero si uno es agudo y el otro obtuso, entonces son suplementarios. Dibujad todos los casos posibles y demostrad los resultados.

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Poligonal y Polígono.Las líneas poligonales están formadas por segmentos concatenados. Pueden ser abiertas o cerradas. Abierta

cerrada

La medida de una línea poligonal es su perímetro (suma de las longitudes de los segmentos que la componen). Una línea poligonal es convexa si no puede ser cortada por una recta en más de dos puntos, en caso contrario es cóncava.

Convexa

Cóncava

Polígono (poli=varios y gono=ángulos) es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La medida de un polígono es su área. Según el nº de lados los polígonos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos,... (utilizando los prefijos griegos de número). Los polígonos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares. El punto interior que equidista de los vértices es el centro. Actividad 8Lado a) En la figura aparecen los elementos básicos Diagonal ángulo

ángulo interior

de un polígono. Definid cada uno de ellos de la forma más precisa posible.

exterior vértice b) ¿ Puede ocurrir que algún polígono no tenga diagonales?. ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrado, un pentágono y un hexágono?.

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c) ¿ Podríais obtener una fórmula para calcular el número de diagonales de un polígono de n lados?.

Actividad 9Dibujad un triángulo cualquiera y medid sus ángulos. ¿Cuánto suman?. Demostrad que eso ocurre con todos los triángulos.

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Actividad 10a) Completad la siguiente tabla calculando el nº de triángulos obtenidos en un polígono al trazar todas las diagonales posibles desde un vértice.

Polígono

Nº lados

Nº triángulos

Suma ángulos interiores 180º 180º.2

Triángulo 3 1 Cuadrilátero 4 2 Pentágono Hexágono ...... ....... Polígono de n lados n b) ¿Se os ocurre otra forma de llegar a la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono? Actividad 11Recordando que los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales, ¿cuánto mide un ángulo de un icosógono (20 lados) regular?. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un polígono regular de n lados?.

B

Actividad 12-

î es un ángulo exterior al triángulo ABC. Demostrad que

î = Â+ B

î A

C

Actividad 13¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un pentágono convexo?. Intentad generalizar este resultado y hallad la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo de n lados. Actividad 14B

En la figura adjunta se sabe que AC es un segmento perpendicular al segmento BD. Indicar justificadamente cuáles de las siguientes igualdades son siempre ciertas

2 3 1 A

4 D

C

a) 1+2 = 90º

d) 2 = 4

b) 2+3 = 1+4

e) 1 =3

c) 1+3 = 2+4

f) 1+2+3+4 = 180º

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Actividad 15El ángulo  de un triángulo mide 64º 15’ y el ángulo B 74º 17’. Se pide el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos  y B de dicho triángulo.

Actividad 16En la figura adjunta se sabe que los ángulos 1 y 2 son iguales. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son siempre ciertas?: 3 5

a) 5 = 6

d)1+2=5+4+3+6

b) 5+4 = 2

e)3=4

c) 3+1 = 7

f) 5+4 = 3+6

4 2 7

1

6

3

Actividad 17La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo es de 1080º, ¿cuántos vértices tiene?, ¿cuántas diagonales?. En caso de que fuese regular, ¿cuánto valdría el ángulo central, formado al unir dos vértices consecutivos con el centro?.

Actividad 18a) ¿Qué polígono tiene 77 diagonales?, ¿cuál tiene 4 veces y media más diagonales que lados?. b) ¿Cuál es el polígono que al triplicar el nº de lados se obtiene otro que tiene 27 veces el nº de diagonales que tenía el primero?. c) ¿En qué polígono regular sucede que el nº que expresa el valor de un ángulo interior (en grados) es igual a 20 veces el nº de sus lados?. d) Si el nº total de diagonales que pueden trazarse en un polígono regular es 170. ¿Cuánto mide un ángulo interior de dicho polígono?.

Actividad 19Hallar el polígono regular: a) cuyo ángulo interior vale 60º.

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b) cuyo ángulo exterior vale 30º. c) cuya suma de ángulos interiores es 1440º. d) cuya suma de ángulos exteriores es 360º. e) cuya suma de ángulos interiores y exteriores es 900º.

Actividad 20-

Clasificación de triángulosAtendiendo a la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser: equiláteros (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales y uno desigual) y escalenos (los tres lados desiguales). Dibuja aquí un ejemplo de cada uno:

Atendiendo a la amplitud de sus ángulos, los triángulos pueden ser: rectángulos (con un ángulo recto), obtusángulos ( un ángulo obtuso) o acutángulos ( tres ángulos agudos). En los triángulos rectángulos los lados que determinan el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto, hipotenusa. Dibuja un ejemplo de cada uno:

Actividad 21La base de un triángulo puede ser uno cualquiera de sus lados. Construid un triángulo cuyos lados midan 6, 6 y 9 cm. Podéis hacerlo dibujándolo o con tiras de papel que podéis unir con grapas. ¿Es posible construir un triángulo de 6, 9 y 18 cm?.

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La condición para poder construir un triángulo es que cualquiera de sus lados sea menor que la suma de los otros dos.

Actividad 22a) Dibujad un triángulo ABC, trazad las mediatrices de cada lado y comprobad que se cortan en un punto que se llama circuncentro. Observad que si trazáis una circunferencia con centro en dicho punto y que pase por A , también pasa por los otros dos vértices: es una circunferencia circunscrita al triángulo. b) A

B

C

c) La altura correspondiente a un lado de un triángulo es un segmento perpendicular al lado que pasa por el vértice opuesto. Todo triángulo tiene 3 alturas. Dibujad las alturas del triángulo ABC del apdo a) y comprobad que se cortan en un punto llamado ortocentro.

d) El segmento que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto se llama mediana. Dibujad las tres medianas del triángulo ABC y comprobad que se cortan en un punto llamado baricentro. Observad que la distancia de cada vértice al baricentro es 2/3 de la longitud de la mediana. Construid un triángulo de cartón y trazad las medianas, atad un hilo en el baricentro de manera que el triángulo penda del hilo, ¿qué sucede?, ¿ocurre lo mismo si pasáis el hilo por otro punto cualquiera del triángulo?. Anotad vuestras conclusiones.

e) En un triángulo ABC dibujad las bisectrices de sus tres ángulos y comprobad que se cortan en un punto llamado incentro. Si trazáis desde dicho punto una perpendicular a cada lado, ¿cuánto miden los tres segmentos que se forman?.

f) Comprobad que en cualquier triángulo el circuncentro, ortocentro y baricentro están alineados en una recta llamada recta de Euler. (Dibujad un triángulo obtusángulo, uno acutángulo y uno rectángulo para verlo). 9

g) ¿Hay algún caso en que los cuatro puntos notables de un triángulo (incentro, circuncentro, ortocentro y baricentro) coincidan.

h) En un triángulo rectángulo, ¿en qué posición están el ortocentro y el circuncentro?. Dibujad un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que su hipotenusa mide 10 cm.

Actividad 23¿Dónde ha de perforarse un pozo para que esté a la misma distancia de las tres casas?, Explicad qué haríais para resolver el problema.

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Actividad 24Clasificación de los cuadriláteros. Vamos a clasificar los cuadriláteros atendiendo a que tengan 0, 1 o 2 pares de lados paralelos. En los cuadriláteros puede suceder: a) Que los dos pares de lados sean paralelos, llamándose a estos cuadriláteros PARALELOGRAMOS. Los paralelogramos son cuadrados, rectángulos, rombos y romboides. Describid cómo tienen los lados, los ángulos y las diagonales cada una de dichas figuras. Por ejemplo: Los cuadrados tienen los cuatro ángulos iguales, los ángulos rectos y sus dos diagonales iguales y perpendiculares.

Cuadrado

rectángulo

rombo

romboide

b) Que sólo tengan un par de lados paralelos llamándose a estos cuadriláteros TRAPECIOS.. Los trapecios pueden ser rectángulo (trapecio con dos ángulos rectos), isósceles (trapecio con lados no paralelos iguales) y escaleno (trapecio con los lados no paralelos desiguales). Dibujad un ejemplo de cada uno de dichos trapecios.

c) Que no tengan ningún par de lados paralelos llamándose a estos cuadriláteros TRAPEZOIDES. Dibujad un trapezoide.

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Actividad 25De un trapecio rectángulo ABCD sabemos que el ángulo A y el ángulo B son iguales, que el ángulo D mide un tercio del ángulo C, la base AD mide 8 m y la base BC mide 50 dm. ¿Cuántos grados mide cada uno de sus ángulos?. ¿Cuánto mide el lado AB?, ¿y su altura?.

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Actividad 26-

Medida de superficies: áreas. En principio, las ideas básicas sobre cómo medir una superficie son las mismas que para la medida de longitudes. Se escoge una unidad (un cuadrado, rectángulo, etc.), se cubre la figura a medir con copias iguales de esa unidad y se cuenta. En la práctica, sin embargo, medir el área por este procedimiento es mucho más complicado que medir longitudes. Lo que se hace es recurrir a fórmulas de áreas que permitan calcularlas utilizando medidas de longitudes (dan la medida de la superficie en función de la medida de sus lados, diagonales, alturas, etc. : es decir, de segmentos).

Vamos a intentar obtener las fórmulas del área de los polígonos principales partiendo del proceso inicial de cubrir la superficie con una unidad de área y contando después. a) En papel cuadriculado construid varios rectángulos y hallad su área. Relacionad el nº total de cuadraditos con las longitudes de los lados del rectángulo y expresad esta relación en una fórmula.

b) ¿Cuál es la fórmula del área de un cuadrado?.

c) Construid un rectángulo y dibujad en él varios triángulos que tengan 2 vértices comunes al rectángulo y el tercer vértice en el lado opuesto. ¿Cuál es el área de cada triángulo respecto al área del rectángulo?. ¿Cuál es, en general, el área de un triángulo?. ¿Todos los triángulos de igual área son isoperimétricos?.

d) Construid ahora un rectángulo 3 x 5. Unid los puntos medios de cada lado, ¿qué figura se obtiene?, ¿cuál es su área respecto al rectángulo?. Expresad el área de la figura obtenida en función de sus diagonales. ¿Es válida la fórmula siempre?. ¿Podéis encontrar otras formas de obtener geométricamente esta fórmula?.

e) ¿Cómo se podría obtener la fórmula del área de un romboide?.

f) Dibujad un trapecio cualquiera e intentad construir un romboide uniéndole adecuadamente otro trapecio igual. ¿Podéis relacionar el área del trapecio y la del romboide?. Expresad el área del trapecio mediante una fórmula en función de sus bases y su altura.

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En general, para hallar el área de un polígono cualquiera se descompone en figuras conocidas, cuyo área sea fácil de calcular. Normalmente se triangula la figura y su área es la suma de las áreas de los triángulos en que la hemos descompuesto. En el caso de polígonos regulares la triangulación se realiza desde el centro del polígono, obteniéndose tantos triángulos como lados tenga.

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g) Obtened una fórmula que sirva para calcular el área de cualquier polígono regular sabiendo que la altura de cada triángulo en que hemos descompuesto el polígono, se llama apotema a (segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado).

Actividad 27a) Calcular las dimensiones de un rectángulo de 32 m. de perímetro y 63 m2de superficie.

b) Hallar el área de un trapecio isósceles que tiene 16 m de altura y 180 m de perímetro, sabiendo que la diferencia entre las bases es 24 m y uno de los lados iguales mide 20 m.

c) El área de un triángulo es 125 cm2 . La semisuma de un lado y su altura respectiva es 27,5 cm. Hallar el valor del lado y su altura.

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