GET1 4 Magnetfeld HO - Vorlesung PDF

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-168-

Grundlagen der Elektrotechnik GET 1

3. Das Magnetfeld • Die magnetische Flussdichte • Die magnetische Feldstärke • Das Durchflutungsgesetz und Beispiele • Kräfte und Momente im Magnetfeld • Magnetfeld und Materie • Der Magnetische Fluss und das Induktionsgesetz • Grenzbedingungen für das Magnetfeld [Buch Seite 143-257]

• Energie und Kräfte im Magnetfeld

-169-

Kraftwirkungen bewegter Ladungen I Phänomenologie der Effekte q

 vD

i

 F

• Metallkörper • Magnetnadeln • Dauermagnete • Bewegte Ladungen • Stromdurchflossener Leiter

 r

P

 M

• Bewegte Ladungen q, bzw. ein elektrischer Strom i rufen erneut eine Änderung des Zustands des Raumes hervor. • Äussert sich durch eine erneute  F und/oder Kraftwirkung (Kraft  Drehmoment M). • Fliesst in einem Leiter ein Strom mit der Stromstärke i, so wird:

(c) Ein Stromfluss in einer bewegten, geschlossenen Leiterschleife induziiert.

(a) Kraft auf magnetisierte Körper (Dauermagnete, Magnetausgeübt.

(d) Fliesst ein veränderlicher Strom, so wird in einer geschlossenen Leiterschleife ein Strom induziiert, selbst wenn die Schleife in Ruhe ist.

(b) Kraft auf bewegte Ladungen und weitere stromführenden Leiter(-schleifen) ausgeübt.

1

-170-

Kraftwirkungen bewegter Ladungen II Schlüsse aus der Phänomenologie der Effekte • Kräfte auf Dauermagneten  Kräfte auf stromdurchflossene Leiterschleifen: Kraftwirkung in Dauermagneten beruht auf mikroskopischen Kreisströmen. Erste Definition des Magnetfeldes: Über die beschriebenen Kraftwirkungen kann erneut ein Feld eingeführt werden – das Magnetfeld. Ursache des Magnetfeldes (d.h. die Quellen) sind bewegte Ladungen; also elektrische Ströme. Seine Wirkungen sind die genannten Kräfte und die beschriebene Induktionswirkung (ein weiterer Effekt der Kraftwirkung). Geschlossener Zyklus elektromagnetischer Prozesse: (Erster Hinweis für eine einheitliche elektromagnetische Feldtheorie)

Elektrische Ladungen

Kraft auf bewegte Ladungen

Magnetfeld

Elektrisches Feld

Kraft auf Ladungen

Zyklus Elektrischer Strom

Ladungsträgerbewegung

-171-

Kraftwirkungen bewegter Ladungen III Vorgriff: Beschreibung des Magnetfeldes (1) Kraftwirkung: Die Kraftwirkung des magnetischen Feldes wird durch das Vektorfeld der magneti schen Flussdichte B beschrieben. Damit entspricht die magnetische Flussdichte ihre Definition nach der elektrischen Feldstärke im Bereich des elektrischen Feldes.

  BE Merke: Für die magnetische Flussdichte wird gemäss DIN 1325 die Bezeichnung «magnetische Induktion» vorgeschlagen (aus historischen Gründen wird aber an der Verwendung der Bezeichnung «magnetische Flussdichte» festgehalten). (2) Ursache: Die Ursache des magnetischen Feldes ist der elektrische Strom. Zur Beschreibung der Verknüpfung des Magnetfeld mit seiner Ursache wird das Vektorfeld der  magnetischen Feldstärke H eingeführt. Damit entspricht die magnetische Feldstärke der elektrischen Flussdichte im Bereich des elektrischen Feldes.

  H D

2

-172-

Die magnetische Flussdichte I Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife (2) Beobachtung der Kraftwirkungen:

(1) Versuchsanordnung: Leiter 3

Bewegungsrichtung

i

 Leiter 2



 F  B



Quelle

 B

 n

  i

Leiter 4



(

)

(Lage der Leiterschleife im Magnetfeld)

i Leiter 1

   F  vD ,    F   F i    F = f n, B

reibungsfreier Kontakt

• Leiter 2 ist stromdurchflossen und beweglich, d.h. verschiebbar. • Leiter 1, 3 und 4 sind stromdurchflossen und starr montiert. • Alle Leiter befinden sich im Magnetfeld.

Drei Versuchs-

Experimente

-173-

Die magnetische Flussdichte II Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife (3) Abhängigkeit der Kraftwirkung auf Drehung der Leiterschleife:  nmax Drehrichtung

i

 Fmax,c 2

3

4 i i a)

2 1

Fazit: Betrag der Kraft auf den Leiter 2 bleibt unverändert !

i

 Fmax,a

i

1

i

i 4 3

i

2

1

3

 nmax i

4

i

i i

b)

1 4

i

c)

 Fmax,b

 nmax

 nmax

i

    Fmax, a = Fmax, b = Fmax, c = Fmax, d

i d)

3 2

 i Fmax,d

3

-174-

Die magnetische Flussdichte III Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife

(Drehrichtung parallel zu Leiter 2) Fazit: Betrag der Kraft auf den Leiter 2 bleibt unverändert !

 nmax

  n = nmax

(4) Abhängigkeit der Kraftwirkung auf axiale Drehung der Leiterschleife:

i

i

3

i

 Fmax,a

i a)

2

1 Drehrichtung

 Fmax,c

i

 i

c)

4 1

i

 nmax 4

 nmax

3

 n

2

i

3

i

2 

 n

i

i

b)

  Fmax, a = Fmax, b =   = Fmax, c = Fmax, d

3

2

4

 Fmax,d

i

d)

 n

i

i 3 2

2

 Fmax,b

1 i

4

1 i

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Die magnetische Flussdichte IV Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife   n = n max

(4) Abhängigkeit der Kraftwirkung auf axiale Drehung der Leiterschleife: (Drehrichtung senkrecht zu Leiter 2) Fazit: Betrag der Kraft auf den Leiter 2 variert sinusförmig steht aber stets senkrecht auf Leiter 2!

 nmax

i

 Fmax,a

3

4 i a)

4

3

i i

3 4

i

 n 2

i

  Fmax,b = 0

b)

   F  cos( ( n,nmax ))

i 2

c)

i

i



i

2

 nmax

 Fmax,c

i

4

Drehrichtung

i 1

1

 n  nmax

1 i

 n

  2 Fmax,d = 0

i d)

1

i

bzw.

   F  sin  , nmax

3

( (

i

))

4

-176-

Die magnetische Flussdichte V Formale Definition

   F  sin  , nmax

( (

   B = B  eB     eB = nmax = eFmax  e

    Fmax B = lim    0  i i 0 

    

))

    , nmax [ 0,  ]

(

)

   F  Vs  B  =    = 2 = T  i    m

-177-

Die magnetische Flussdichte VI Definition in Worten Buch Seite 150:

«Die magnetische Flussdichte B ist ein Vektorfeld, welches senkrecht auf einer von einer stromführenden Leiterschleife aufgespannten Ebene steht, wenn auf die stromführenden Leiter der Schleife in Abhängigkeit von der FlächennormalenRichtung entsprechend der bisherigen Diskussion die maximale Kraft ausgeübt wird.» «Der Betrag der magnetischen Flussdichte ist gleich dem Betrag der maximalen Kraft Fmax auf einen Leiter der Leiterschleife bezogen auf die Leiterlänge  und die zugehörige Stromstärke i, falls sowohl  als auch i beliebig klein werden.» «Die Richtung der Kraft auf den stromführenden Leiter steht senkrecht zur Richtung des Leiters und senkrecht zur Richtung der magnetischen Flussdichte. Die Kraftrichtung ist der Richtung des Bezugspfeiles der Stromstärke i, bzw. der Rich tung des Längenvektors  und der Richtung der magnetischen  Flussdichte B im Rechtsschraubensinn zugeordnet.»

5

-178-

Die magnetische Flussdichte VII Kraftwirkung auf stromführenden Leiter (1) «Makroskopische» Betrachtung:  i, 

 F  F

 i, 

 B

Aus der Definition (Folie 177):  i, 

 B  B

 F

  Fmax  (vergleiche  B = lim     Folie 176)  0    i  i 0       F = i    B  sin  , B     

 F

 B  B  F

 i, 

( ( ))

 B

 i, 

   F = i   B

(

)

  

Die drei Grössen { F, , B} : sind einander im

Wir haben eine Beziehung zwischen den makro skopischen Grössen der  Kraft F, des Stroms i   und der magnetischen mit seiner Richtung  Flussdichte B gefunden.

( )

Rechtsschraubensinn zugeordnet.

-179-

Die magnetische Flussdichte VIII Intermezzo: «Rechtsschraubensinn»  i, 

 F  F

 i, 

 B

 i, 

 B  B

 F

 B  B

 i, 

 i, 

(1) Ausgangsgleichung:

   F = i   B

(

 F

(3) Rechte-Hand-Regel:

 F  F



(i  )

)

(2) Grössen:



 

{ (i ), B, F }

 B

6

-180-

Die magnetische Flussdichte IX Kraftwirkung auf stromführenden Leiter (2) «Mikroskopische» Betrachtung:

Siehe hierzu Folie 131 zum Leiterstrom :

     i  = J  n  A  = nq  q  vD  A       i  = n q q A   vD  vD  

( )

 = nq q   V = A 

  i  = Q  vD Mit:

(

(3) Vergleich mit Coulomb-Kraft: Kraft auf bewegte Ladung

Kraft auf ruhende

Ladung         F = Q  v  B  F = Q E

(

   F = i   B   v  vD    F = Q v  B

)

)

(

)

Lorentz-Kraft

-181-

Die magnetische Flussdichte X Beispiel: «Geladenes Teilchen im Magnetfeld» x

(1) Bahnkurve:

 v

2r0

 F

 v1

Q

Q

 B

 Fz

(2) Durch den Ablenkvorgang vom Magnetfeld geleistete Arbeit:

     Wm =  F d s =  Q  v  B ds

(

C

   F = Q  v B      F = Q v  B v  B 2   mv =: F Fz = r0  m v r0 =  Q B

(

 v2

C

)

)





Das Kräftegleichgewicht IF I = IFzI ergibt eine konstant gekrümmte Bahnkurve (Kreis mit Radius r0).

7

-182-

Die magnetische Flussdichte XI Beispiel: «Geladenes Teilchen im Magnetfeld» (2) Durch den Ablenkvorgang vom Magnetfeld geleistete Arbeit:

x

     Wm =  F ds =  Q  v  B ds

(

 v2

C

 v

2r0

 F

 v1

Q

 B

Q

 Fz

( 

  ds   B Wm =  Q    dt C

)

C

  ds    =  Q   B  ds  dt  C       der a  b  c = b  c  a Aus Vektor   analysis = (c  a ) b

)

(

)

 ds

s  dt d      ds  ds =  QB  d s   = 0  dt  C

Wkin,1 = Wkin, 2   v1 = v2

-183-

Die magnetische Flussdichte XII Beispiel: «Geladenes Teilchen im Magnetfeld» (3) Diskussion: «Reflektor»

 v1

Q

 v1

• Bei der Ablenkung leistet das Magnetfeld keine Arbeit. • Ablenkrichtung aus Richtung der Teilchengeschwindigkeit und der magnetischen Flussdichte im Sinne der Rechtsschraube.

 B

• Für sehr grosse Werte der magnetischen Flussdichte wird der Bahnradius r0 sehr klein, das heisst, das geladene Teilchen wird am Magnetfeld nahezu reflektiert. • «Reflektorfunktion» kann im Sinne einer Ladungsteilchensperre verwendet werden, um ein «Ladungsteilchengas» (Plasma) einzusperren. • Man spricht in diesem Zusammenhang von sogenannten «Magnetflaschen».

8

-184-

Die magnetische Flussdichte XIII Beispiel: «Plasma-Einschluss in Magnetflasche» 



Ladungsträgerbewegung

Toroidale «Flasche»



Stellarator

Leiter

• Plasma: Viele freie Ladungsträger, «Ladungsträgergas». • Fusionsszenario: Viele Träger bei hohen Temperaturen miteinander kollidieren lassen: heisses Plasma. • Stellarator: So heisst die ringförmige Magnetflasche (cf. Bild).

Plasma

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Die magnetische Feldstärke I Unteschiedliche Zugänge (1) Zum Wesen der magnetischen Feldstärke: • Die magnetische Flussdichte B wurde über die Kraftwirkung des Magnetfeldes definiert (Betrachtung: Leiterstrom  Magnetfeld  Flussdichte B). • Bei der Definition magnetischen Feldstärke H wird nun ein umgekehrter Standpunkt eingenommen indem wir nach der Ursache des Magnetfeldes fragen (Betrachtung: Leiterstrom  Magnetfeld  Feldstärke H). • Ursachen für ein Magnetfeld sind: (A) Ein elektrischer Strom (B) Ein magnetisierter Körper (C) Ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld. • Ursache (A), d.h. der elektrische Strom, kann im Einklang mit Folie 169 als eine sehr allgemeine Quelle des Magnetfeldes betrachtet werden und eignet sich deshalb gut für die Definition der magnetischen Feldstärke H.

9

-186-

Die magnetische Feldstärke II Unteschiedliche Zugänge (2) Charakterisierung und Gestalt des Magnetfeldes:  In der Umgebung des Leiterdrahts bildet sich ein Magnetfeld aus, welches über die Kraftwirkung in kleinen Leiterschleifen beschrieben werden kann.  Unter der Kraftwirkung werden Eisenfeilspäne entlang von kreisförmigen Linien ausgerichtet: Diese Linien können als Feldlinien des Magnetfeldes interpretiert werden.  Mittels einer kleinen Leiterschleife (Versuch aus Folie 176) kann gezeigt werden, dass die dargestellten Feldlinien parallel zur magnetischen Flussdichte verlaufen (Eisenfeilspäne richten sich in Flussrichtung aus).  Im geraden Leiterdraht fliesst ein elektrischer Strom der Stromstärke i.

Anordnung «Magnetfeld um Stromleiter» soll für Definitionszwecke verbessert werden  Spule.

-187-

Die magnetische Feldstärke III Unteschiedliche Zugänge (3) Das Magnetfeld in einer «langen» Spule: • Anzahl Windungen w • Länge  • Durchmesser d • Stromstärke i • «Lange» Spule:

  10d • Feldlinien bilden in sich geschlossene Linien (Ausserhalb: Streufeld). Die Lage der Eisenfeilspäne deutet ein starkes, homogenes Magnetfeld im Innern der Spule an, welches parallel zur Spulenachse ausgerichtet ist (im Innern: Hauptfeld).

10

-188-

Die magnetische Feldstärke IV Unteschiedliche Zugänge (4) Die «langen» Spule als Definitionsgrundlage der magnetischen Feldstärke:

  B  H

«Lange Spule» mit homogenem Hauptfeld eignet sich gut um die zweite, mit der Ursache des Magnetfeldes verknüpfte Feldgrösse zu definieren.

w

i

• Messung der magnetischen Flussdichte mittels kleiner Leiterschleife (Folie 176).

i

• Magnetfeld im Innern  Stromstärke i • Magnetfeld im Innern  Windungszahl w

Die magnetische Feldstärke H einer «lange Spule» ist ein Vektorfeld dessen Absolutbetrag entsprechend dem Experiment definiert wird. Die Richtung verläuft entlang der Spulenachse und steht mit dem Bezugspfeil des Stromes im Rechtsschraubensinn.

• Magnetfeld im Innern  

 w i H = 

1

 A  H  = m

-189-

Die magnetische Feldstärke V Unteschiedliche Zugänge (5) Die lokale Definition der magnetischen Feldstärke:



 Hi i

w

• Bei der «Definition» der magnetischen Feldstärke auf Folie 188 handelt es sich eigentlich mehr um eine «Messvorschrift».

i

 Ha

• Die Definition einer (magnetischen) Feldgrösse muss lokal geschehen, d.h. im Raumpunkt. • «Messvorschrift» plus lokale Defintion ergeben das folgende Vorgehen:

  w i  H a = lim    0   i 0  Der Richtungssinn des H-Feldes bildet mit dem Kompensationsstrom ein Linksschraubensystem.

(A) Verschwindend kleine lange Spule wird in ein äusseres Magnetfeld Ha gebracht. (B) Stromstärke i und die Spulenrichtung werden so lange verändert, bis ein Nullfeld im Innern der Spule resultiert (Kompensation). (C) Der Betrag der elektrischen Feldstärke Ha ist demnach gegeben und die Richtung entspricht derjenigen der Spulenachse.

11

-190-

Die magnetische Feldstärke VI Unteschiedliche Zugänge (6) Magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte: • Im Vakuum: Die magnetische Feldstärke und die magnetsiche Flussdichte beschreiben dasselbe Magnetfeld und sind im Vakuum zueinander proporional. • Die Grösse 0 heisst magnetische Feldkonstante (ist wie 0 eine Naturkonstante). • Im Material: Das Experiment zeigt eine veränderte Proportionaliät zwischen der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte im homogenen Material.

  B = μ0  H

μ0 = 4 107 Vs Am = 1.2566 10 6 Vs Am

   B = μ0 μr  H = μ  H

μr :

Permeabilitätszahl des Materials

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Das Durchflutungsgesetz I Definition (1) Experimentalanordnung: • Unendlich langer Draht. • Es fliesst ein Strom mit der elektrischen Stromstärke i. • Frage: Wie gross ist die magnetische Feldstärke H in Abhängigkeit der Stromstärke i.

   s :=     s  cos  ( H ,  s )

Folie 188 N



H



 =1

N ( wi )  k s =    C =1 s 

(

)

• Kleine Messspule gemäss Anordnung aus Folie 189. • Spule längs geschlossenen Kurven C führen, die den Leiter umschliessen.





• Produkt H   s bilden.

12

-192-

Das Durchflutungsgesetz II Definition (1) Experimentalanordnung:

  H    s N

 =1

N

=

C

( wi k)   s 

 =1

     s cos  H  , s

( (

N   =  ( wi k )  cos  H  , s

Summe ist vom Typ Strom.

( (

 =1

=

i



Experiment!

   H  s N

 =1

 Folie 186: Je weiter weg vom Leiter, umso schwächer wird das magnetische Feld.

))

))



=i längs C



 H ds = i C

 Je weiter weg vom Leiter, umso länger ist C und umso grösser N.

+ ...