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Campus Duisburg

Grundlagen der Elektrotechnik 1 Seminaraufgaben

Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni

Version 2006.10

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Grundlagen der Elektrotechnik 1

Seminaraufgaben

Aufgabe 1: Gegeben sind die Vektoren ~a, ~b und ~c:             4 cx 1 bx 4 ax             ~a =  ay  =  3  cm, ~b =  by  =  3  cm und ~c =  cy  =  −2  cm. 0 cz 2 bz 2 az Man weise mit den obigen Zahlenwerten nach, dass die folgenden Relationen richtig sind:       a) ~a × ~b · ~c = −~b · (~a × ~c) = −~c · ~b × ~a = −~a · ~c × ~b b)

    ~a × ~b × ~c = ~b · (~a · ~c) − ~c · ~a · ~b

Aufgabe 2: Man gebe f¨ ur die Beziehungen v=

r

2QU , m

a=

QE m

zugeschnittene Gr¨oßengleichungen an. Dabei soll die Geschwindigkeit v auf kms , die Spannung U auf V , die Masse m auf Gramm (g), die Beschleunigung a auf Volt (V), die elektrische Feldst¨arke E auf cm m und die Ladung Q auf Coulomb (C) bezogen werden. s2 Aufgabe 3: Drei ortsfeste Ladungen der Gr¨oße Q1 , Q2 und Q3 befinden sich in den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenl¨ange a. Die Anordnung ist in Bild 3 gezeigt. Im Schnittpunkt der Seitennormalen befindet sich eine weitere ortsfeste Ladung Q4 .

Q3

Q4

Q1

Q2 Bild 3

a)

Wie groß ist die auf die Ladung Q4 wirkende Kraft, die durch das Feld der Ladungen Q1 , Q2 und Q3 ausge¨ubt wird?

b)

Es sei Q1 = Q2 . Wie groß muss die Ladung Q3 sein, damit die Kraft auf die Ladung Q4 gleich Null wird?

1

Grundlagen der Elektrotechnik 1

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Aufgabe 4: Im Vakuum befinden sich drei Ladungen. Q1 sei eine ortsfeste Ladung. Die Ladungen Q2 und Q3 seien durch eine elektrisch nicht leitende Verbindung mechanisch fest gekoppelt und in x-Richtung verschiebbar. Die Vorzeichen der Ladungen sind in Bild 4 festgelegt.

Q2 > 0

Q1 < 0

Q3 > 0

r1

R x Bild 4

a)

F¨ur den Gleichgewichtsfall soll der Abstand r1 bestimmt werden.

b)

Wie groß ist r1 f¨ur den Fall Q3 = 4Q2 ?

c)

Wie lautet die zugeschnittene Gr¨oßengleichung f¨ ur die unter b) erhaltene Beziehung f¨ur r1 , wenn r1 auf cm, R auf m,Q1 aufµC, Q2 auf mC und Q3 auf As bezogen werden soll?

Aufgabe 5: Zwei leitende Elektroden der Fl¨ache A = 4 cm2 werden aufeinander gelegt und in ein ¨Olbad (εr = 9) gebracht (Bild 5). Dort werden sie getrennt und in diesem Zustand aus dem Olbad genommen.

εr

U Bild 5

a)

¨ l ein elektrisches Feld zwischen Wie groß ist die auf den Fl¨achen influenzierte Ladung, wenn im O zwei ebenen Elektroden (Abstand d = 5 cm) durch die Spannung U = 25 V erzeugt wird?

b)

Wie groß ist die Spannung zwischen den Platten, nachdem sie aus dem ¨Olbad genommen wurden und wenn sie einen Abstand von 6 cm haben?

2

Grundlagen der Elektrotechnik 1

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Aufgabe 6: Innerhalb einer Kugel mit dem Radius r0 = 10 cm befindet sich gleichm¨aßig auf den Raum der Kugel verteilt die Ladung Q = 25 µC. a)

Es soll die elektrische Verschiebungsdichte und die elektrische Feldst¨arke im gesamten Raumbereich (0 ≤ r ≤ ∞, r = Abstand vom Kugelmittelpunkt) berechnet werden.

b)

Der Verlauf des Absolutbetrages der elektrischen Feldst¨arke soll als Funktion des Abstandes r vom Mittelpunkt der Kugel gezeichnet werden.

Aufgabe 7: Zwischen zwei ebenen Elektroden des Abstands d = 10 cm wird durch die Spannung U = 75 V ein elektrisches Feld aufgebaut (Bild7).

P2

U

d

y P1

P3

x Bild 7

In einem Koordinatensystem nach Bild 7 sind drei Punkte P1 (4 cm, 4 cm), P2 (8 cm, 8 cm) und P3 (12 cm, 4 cm) gegeben. Eine Ladung der Gr¨oße Q = 1, 743 · 10−12 C wird auf dem in Bild 7 gezeichneten Weg von P1 nach P3 transportiert. Wie groß ist die bei diesem Transportvorgang vom elektrischen Feld geleistete Arbeit a)

von P1 nach P2 ,

b)

von P2 nach P3 ,

c)

von P1 nach P3 .

3

Grundlagen der Elektrotechnik 1

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Aufgabe 8: Zwei Anordnungen aus ebenen, parallelen Platten mit den im Bild 8 eingezeichneten Werten werden hintereinander geschaltet. Die Summe der Ladungen auf der Elektrode 1 und 2 sei Null.

ε2 A2

ε1 A1

1

2 d1

d2 U Bild 8

Zu berechnen sind a)

die Ladung auf den Platten der Anordnung,

b)

die Feldst¨arken und Verschiebungsdichten in den beiden Feldr¨aumen

c)

die Teilspannungen zwischen den zugeh¨origen Platten.

und

Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Kapazit¨at eines Kugelkondensators mit den Radien ri und ra sowie die Kapazit¨at eines Zylinderkondensators mit den Radien ri und ra und der L¨ange l. Gegeben sind: ri , ra, l, ε0 und εr Aufgabe 10: In Bild 10.1 und Bild 10.2 sind zwei Kapazit¨atsanordnungen gezeichnet. ache A = 0, 3 m2 ; Plattenabstand d = 1 mm F¨ ur alle Kapazit¨aten gilt: Elektrodenfl¨ Dielektrizit¨atszahlen εr 1 = 1, εr 2 = 4 a)

Berechnen Sie die Gesamtkapazit¨at beider Anordnungen.

b)

Wie groß sind die Energieinhalte der Einzelkapazit¨aten sowie der Gesamtanordnung nach Bild 10.1, wenn an die Schaltung eine Spannung von U = 1 V gelegt wird?

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εr 1

εr 2

εr 1

A

εr 2 d Bild 10.1

Bild 10.2

Aufgabe 11: Gegeben sind die Elektrodenanordnungen mit geschichtetem Dielektrikum nach Bild 11.1 und Bild 11.2 (Querschnitte). Die L¨ange senkrecht zur Zeichenebene sei l. Bestimmen Sie die jeweilige Kapazit¨at C11′ (x) der beiden Anordnungen als Funktion der Lagekoordinate x der Grenzfl¨ache. a)

x0

1

ε1

ε0

x

l

d

x0

1’

Bild 11.1

b)

1

x

l

ε0 d ε1 x0 1’ Bild 11.2

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Grundlagen der Elektrotechnik 1

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Aufgabe 12: Gegeben ist eine Elektrodenanordnung nach Bild 12. Zwischen der gitterf¨ormigen Elektrode G, die f¨ur die Elektronen ideal durchl¨assig sei, und den beiden Außenelektroden E1 und E2 herrschen die Spannungen U1 = 50 V und U2 = 80 V. Die Abst¨ande zwischen den Platten betragen d 1 = 3 cm und d 2 = 4 cm.

E2 d2

1

U2 U1

d1

y

x

G

v0 = 0 2

−e

E1 Bild 12

Vor der Elektrode E1 befinde sich ein Elektron in Ruhe (v0 = 0 ms ). a)

Auf welche Geschwindigkeit v wird das Elektron bis zum Gitter G beschleunigt?

b)

Wie weit dringt das Elektron in den Laufraum 2 ein?

c)

Wie groß ist die Zeit, die das Elektron braucht, um von der Elektrode E1 durch den Laufraum 1 und den Laufraum 2 zur¨uck zur Elektrode E1 zu gelangen?

Aufgabe 13: Die Ablenkeinheit einer Kathodenstrahlr¨ohre ist in Bild 13 skizziert. Ein Elektron tritt nach einer Beschleunigung mit der Spannung U0 in x-Richtung in das elektrische Ablenkfeld ein.

S d

U0 y K

x U s l

L

Bild 13

Wie groß ist die Auslenkung s des Elektronenweges aus der Achse des Systems? (Hinweis: Man betrachte die Bewegung in x- und y-Richtung getrennt.)

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Grundlagen der Elektrotechnik 1

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Aufgabe 14: Die Temperaturabh¨angigkeit eines Widerstandes sei durch R(ϑ) = R20 [1 + α20 (ϑ − 20◦ C)] gegeben. a)

Der Temperaturbeiwert α20 sei bekannt. Gemessen werden die Widerstandswerte R(ϑ1 ) = R1 und R(ϑ2 ) = R2 bei den Temperaturen ϑ1 und ϑ2 . Man leite eine Beziehung f¨ur R(ϑ) ab, die den unbekannten Wert R(20) nicht enth¨alt.

b)

Bei der Temperatur ϑ1 = 40◦ C wird der Widerstand R(ϑ1 ) = R1 = 1 kΩ und bei der Temperatur ϑ2 = 100◦ C der Widerstand R(ϑ2 ) = R2 = 1, 169 kΩ gemessen. Wie groß ist der Temperaturbeiwert α20 und der Widerstand R20 bei ϑ = 20◦ C?

Aufgabe 15: Die Temperaturabh¨angigkeit eines ohmschen Widerstand sei durch   R ≈ R20 1 + α20 (ϑ − 20◦ C) + β20 (ϑ − 20◦ C)2 beschrieben. Hierin sind R20 der Widerstand bei der Temperatur ϑ = 20◦ C sowie α20 und β20 die sogenannten Temperaturbeiwerte f¨ur die Temperaturen ϑ = 20◦ C. Bis zu welcher Temperatur ϑ darf die lineare N¨aherung R ≈ R20 [1 + α20 (ϑ − 20◦ C)] verwendet werden, wenn der Widerstand R im gesamten Temperaturbereich auf 10 % genau bestimmt werden soll (Material Silber: α20 = 3, 8 · 10−3 /◦ C, β20 = 0, 7 · 10−6 /◦ C2 )? Aufgabe 16: Wie groß ist der Erdungswiderstand einer halbkugelf¨ormigen Metallelektrode (d. h. der Widerstand zwischen der Metallelektrode und der unendlich fernen Halbkugel), die so in die Erde gesenkt wird, dass der Schnittkreis in der Erdoberfl¨ache liegt? Sm Die Leitf¨ahigkeit des Erdbodens sei κ = 10−8 mm 2. DerRadius der Elektrode sei R0 = 5 cm.

R0

Erdoberfl¨ache

κ

Erde

Bild 16

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Aufgabe 17: In Bild 17 ist ein aufgeschnittener Hohlzylinder mit den Radien r0 und r1 dargestellt. Die L¨ange des Zylinders L und die Leitf¨ahigkeit κ des Materials sind bekannt. Die Schnittstellen seien ideal leitend kontaktiert. Zwischen den Schnittfl¨achen liegt die Spannung U . Man berechne: a)

die Feldst¨arke im Material,

b)

den Strom pro Fl¨acheneinheit,

c)

den Widerstand zwischen den Schnittfl¨achen.

r1 d ≪ r0

U

r0

Bild 17

Aufgabe 18:

a)

Bestimmen Sie f¨ur den in Bild 18 skizzierten kegelf¨ormigen Leiter den Gesamtwiderstand zwischen den Elektroden A und B. Die Gr¨oßen l1 , l2 , κ1 , κ2 , d 1 , d 2 und d 3 sind gegeben.

b)

Wie groß ist U1 f¨ur den Fall l1 = l2 = l, κ1 = 2κ2 , d 3 = 3d 1 ? U ist gegeben.

κ1 d1

r2

κ2 r1 d2

d3

U1 l1

l2 U Bild 18

8

r3

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Aufgabe 19:

R′ κ=∞ ~ B l2

l1 = 10 cm l2 = 5 cm

κ=∞ U R′ y z

I

l1 x Bild 19

In einem homogenen Magnetfeld der magnetischen Induktionsflussdichte | ~B| = 4 T befinden sich zwei Leiter mit einem Widerstandsbelag (Widerstand pro L¨angeneinheit) von R′ = 10 Ω/m (Bild 19). Sie sind durch ein bewegliches Leiterst¨uck uber reibungsfreie, ideale bewegliche Kontakte miteinander ¨ verbunden. Das Leiterst¨uck ist ¨uber eine nichtleitende Feder mit der Federkonstanten λ = 2 Ncm−1 so an einer festen Wand befestigt, dass es sich bei Nichtfließen eines Stromes an der Stelle x = 0 befindet. In welche Position verschiebt sich das Leiterst¨uck, wenn gem¨aß der Skizze eine Spannung von U = 5 V an die Leiter gelegt wird? Das vom fließenden Strom erzeugte Magnetfeld kann dabei vernachl¨assigt werden. Hinweis: Die Gleichungen f¨ ur die Kr¨afte sind als Vektorgleichungen unter Verwendung des gegebenen Koordinatensystems aufzustellen!

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Aufgabe 20: Ein leitender Stab (L¨ange l1 , Querschnitt A, Leitf¨ahigkeit κ, Gewicht G) wird an gewichtslose, leitende F¨aden mit der L¨ange l2 aufgeh¨angt. Die F¨aden haben einen Widerstand pro L¨angeneinheit von R′ = ∆R ∆l . Die Anordnung wird an eine Spannung U gelegt und in ein homogenes, vertikal gerichtetes Magnetfeld der Induktionsflussdichte ~B gebracht.

U

I

l2

~ B

α

l1 Bild 20

Um welchen Winkel α (Bild 20) wird der Stab aus seiner Ruhelage ausgelenkt? Aufgabe 21: Ein Elektron fliegt mit der Anfangsgeschwindigkeit ~v0 = v0 · ~ex in ein begrenztes homogenes Magnetfeld der Induktionsflussdichte ~B = Bz · ~ez . Die Anordnung ist in Bild 21 gezeigt.

y ~ B

x

−e ~v0

Bild 21

a)

Es ist zu zeigen, dass das Elektron im Magnetfeld eine Kreisbahn durchl¨auft.

b)

Mit welcher Geschwindigkeit und an welcher Stelle verl¨asst das Elektron das Magnetfeld?

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Aufgabe 22: Ein Elektron fliegt im Vakuum mit der Geschwindigkeit ~v parallel zu den Elektrodenfl¨achen durch ein Elektrodenpaar mit dem Abstand d, an das die Spannung U angelegt ist (Bild 22). Gleichzeitig existiert zwischen den Platten ein homogenes Magnetfeld senkrecht zum elektrischen Feld und senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons.

~ B

−e ~v0

U d

Bild 22

Wie groß muss die Spannung U sein, damit das Elektron sich geradlinig fortbewegt? Aufgabe 23: Eine kreisf¨ormige starre Leiterschleife vom Radius r (Bild 23), in der der Strom I fließt, wird sehr langsam in ein homogenes, begrenztes Magnetfeld eingetaucht. Man bestimme die auf die Schleife wirkende resultierende Kraft als Funktion der Eintauchtiefe.

I

r

~ B

Bild 23

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Grundlagen der Elektrotechnik 1

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Aufgabe 24: Durch einen Leiter fließt ein Gleichstrom von I = 500 A. Im Verlauf des Leiters befindet sich gem¨aß Bild 24.1 ein Leiterst¨uck, das l¨angs zweier reibungsfrei beweglicher Kontakte in x-Richtung verschiebbar ist. Das Leiterst¨uck ist mit einer Feder der Federkonstanten λ = 5 Ncm−1 so an einer festen Wand befestigt, dass sich das Leiterst¨uck ohnen Vorhandensein eines magnetischen Feldes an der Stelle x = 0 befindet. In welche Position x verschiebt sich das Leiterst¨uck, wenn ein Magnetfeld der Induktionsflussdichte | ~B| = 1 T senkrecht zur Zeichenebene eingeschaltet wird? In Bild 24.2 ist eine ¨ahnliche Anordnung gegeben, jedoch ohne das konstante Feld der Anordnung nach Bild 24.1. Alle anderen Angaben sollen wie f¨ur Bild 24.1 gelten. In welche Position x verschiebt sich das Leiterst¨uck, wenn die Gleichstr¨ome I1 = 500 A und I2 = 10I1 eingeschaltet werden?

I

I1 ~B

λ

λ

I2

l = 3 cm

l = 3 cm

b = 2 cm x

x Bild 24.1

Bild 24.2

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Aufgabe 25: In einem unendlich langen, geraden Draht fließt ein Wechselstrom i(t). Bestimmen Sie die Spannung u(t). Gegeben: a, b, c, R1 , R2 , R3 , R4 , iˆ, ω und µr = 1

i(t) = ˆi cos(ωt)

u(t) R1

R4

c

R2

R3 a

b Bild 25

Aufgabe 26: In einem unendlich langen, geraden Draht fließt ein Wechselstrom i(t). Bestimmen Sie die an den Klemmen 1 - 1’ induzierte Spannung u(t).

i(t) = ˆi cos(ωt) R

κ→∞ 1

2R

κ→∞ u(t)

1’

d

R

κ→∞

a/2

a/2 Bild 26

13

a

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Aufgabe 27: Eine kreisf¨ormige Leiterschleife vom Radius r (Bild 27) wird mit einer konstanten Geschwindigkeit ~v in ein homogenes Magnetfeld gebracht, dessen magnetische Induktionsflussdichte senkrecht zu der Schleifenebene steht. Man bestimme die in der Schleife induzierte Spannung in Abh¨angigkeit von der Zeit, wenn die Schleife zur Zeit t = 0 in das Feld eintritt.

Uind

r

~v

~ B Bild 27

Aufgabe 28:

|~v | = 1 cm/s

30◦

3 cm

x y

1 cm

~ =1T |B| Bild 28

Durch ein Magnetfeld, das in x-Richtung unendlich weit, in y-Richtung ¨uber eine Breite von 1 cm ausgedehnt ist (Bild 28), bewegt sich in y-Richtung ein dreieckf¨ormiger Leiter mit der Geschwindigkeit |~v | = 1 cm/s. Berechnen und skizzieren Sie die in der Leiterschleife induzierte Spannung als Funktion der Zeit.

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Aufgabe 29: Gegeben ist ein Magnetkreis nach Bild 29.

I, w

l3

A δ

l4 l1

l2

Ai = const.; µ = const.(6= f (H)) Bild 29

Wie h¨angt der Strom I der Spule von der magnetischen Erregung Hδ im Luftspalt ab? Die Windungszahl w und die geometrischen Abmessungen sind (wie skizziert) gegeben. Aufgabe 30: Gegeben ist der in Bild 30 dargestellte Magnetkreis, der ¨uberall den konstanten Querschnitt A aufweist. Mit Ausnahme eines Bereichs des rechten Schenkels besitzt diese Anordnung die konstante Permeabilit¨atszahl µr1 . Im rechten Aussenschenkel wird mittig ¨uber die L¨ange l2 ein hartmagnetischer Werkstoff mit der Permeabilit¨atszahl µr2 eingesetzt. Der linke Aussenschenkel tr¨ agt eine Spule mit Windungszahl w, die von einer konstanten Stromst¨arke I durchflossen wird. Man bestimme die Induktivit¨at L dieses magnetischen Kreises.

l3

l1 I, w l4

l2 µr2 l3 µr1

A Bild 30

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Aufgabe 31:

l2 I

w

l1

Be = f (He )

A δ Bild 31.1

Gegeben ist ein Magnetkreis aus ferromagnetischem Material mit einem streuungsfreien Luftspalt der L¨ange δ (Bild 31.1). Der Eisenkern hat eine quadratische Querschnittsfl¨ache der Gr¨oße A. Der Zusammenhang der magnetischen Flussdichte Be im Eisenkern und der Feldst¨arke He ist durch die Hysteresekurve in Bild 31.2 gegeben. Von der Anornung sind folgende Werte gegeben: l1 = 6 cm, l2 = 6, 4 cm, δ = 1 cm, A = 5 cm2 und w = 5000 a)

Zeichnen Sie die gescherte Hysterekurve des Magnetkreises in Bild 31.2 ein. Berechnen Sie dazu zun¨achst die Gleichung der Scherungsgerade.

b)

Bestimmen Sie mit Hilfe der gescherten Hysteresekurve die Stromst¨arke I(I > 0) so, dass f¨ur die ~2 beiden dabei m¨oglichen , sich im Eisenkern einstellenden magnetischen Flussdichten ~B1 und B ~ 1 | = 2|B ~ 1 | gilt. der Zusammenhang |B Zeichnen Sie die beiden Punkte (H1 , B1 ) und (H2 , B2 ) auf der gescherten Hysteresekurve ein.

16

-0.5

0.5

1.0

Be /T

17

Bild32.2

0.5

1.0

1.5

Seminaraufgaben

A He /105 m

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