GUIA DE Resolucion DE Ecuaciones EXP. Y LOG PDF

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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

1) Ecuaciones exponenciales

Llamamos “ecuaciones exponenciales” a aquellas en las que la incógnita figura como exponente.

EJEMPLO 1

25x2  5x3 25  52 La estrategia para resolver esta ecuación es expresar ambos miembros como potencias de igual base. El 25 puede expresarse como una potencia de 5:

25x 2  5x3  2 5   

x2

 5 x 3

Por la propiedad de la potencia de potencias, ambos exponentes se multiplican entre sí:

2 x 2

5  5x3 52 x4  5x3 

Para que se satisfaga la igualdad, si las bases son iguales, también deben serlo los exponentes:

Llegamos así a una sencilla ecuación lineal



2x  4  x  3

2x  x  3 4

x7

EJEMPLO 2

1   4

2 x1

Acá vamos a operar igual que en el caso anterior, transformando ambos miembros en potencias de igual base

Igualamos los exponentes y despejamos x:

1  64

2   2x1  2 6  1  1             2 6 2      1   1     64  2   4x  2 6 1  1     2 2    

1   1  4  2 

4x  2  6 4x  8 x 2

EJEMPLO 3

x x 6 x 1 x 3  9 Para resolver esta ecuación debemos recordar cómo se expresan las potencias y las raíces como exponentes fraccionarios:

c b a

0

b  ac

Primero pasamos un término al otro miembro

x x 6 x1 x 3  9 Expresamos las raíces y potencias como exponentes fraccionarios

Ahora nos quedó una ecuación del mismo tipo que las anteriores. Expresamos ambos miembros como potencias de igual base.

x 6 3x

x  9 x1

x 6 3x

x  2  x1

 3 

 

x 6 3x

Multiplicamos las potencias

2x  3x 1

x  6  2x x x 1  x  6 x 1  2x.x

Igualamos los exponentes y despejamos x

x2  x  6 x  6  2 x 2  x 2  5x  6  0 Para resolver esta ecuación cuadrática completa aplicamos la fórmula de Bhaskara:

 5  52  4.  1   6      5 1 x1,2     2 2 1 

x1  3



x2  2

EJEMPLO 4

 1    2  

x

 1    2  

x1

 1    2  

x2

Para eso, vamos a aplicar la propiedad del producto de potencias de igual base, pero en forma inversa a como veníamos haciéndolo:

Reemplazamos en la ecuación:

22

Acá no podemos aplicar la misma estrategia que en los ejemplos anteriores, ya que los términos de la ecuación se suman o resta, y las propiedades que veníamos usando son para producto y cociente. Entonces vamos a tratar de despejar la incógnita.

1    2    1    2   

x 1

x2

1   2  

x

x

1    2   

x

1    2   

1    2

x

1

1  .  2   

1  .  2   

2

1 .2    2  

x

1    2   

x

1   2  

x

.2 .1 4

.1  22 4

Sacamos

1    2 

x

como factor común.

Despejamos

 1    2  

x

Para resolver la ecuación resultante, volvemos a recurrir a la estrategia de expresar ambos miembros como potencias de una misma base.

1   2  

x

1   2  

x



.11  22 4

x 1   2   x 1   2  

 1    2  

x



.1 2  1   22 4 

 22. 4 11 8

x

  21   2 x 



8  23 2 x  23  x  3 x   3

EJEMPLO 5

4x1  9.2x  2  0 En este caso no es posible utilizar el mismo mecanismo que en el ejercicio anterior, porque no podemos lograr un factor común.

Si observamos con atención, esta ecuación puede llevarse a la forma de una cuadrática completa

Trabajemos con el primer término: x  2  1 x x 4  4 .4  2 .4  4.22 x  

 

y

4.2  4. 2 2x

Reemplazamos en la ecuación:

4.

2x

x



2

  9.2x  2  0 2

Hacemos un cambio de variable, llamando z a 2x . De esta manera la ecuación toma la forma típica de las cuadráticas, entonces podemos resolverla con la fórmula de Bhaskara:

4z29z20

2  4.42 9 7 z  2 9 9  z   1 2.4 8 z 4

Una vez obtenidos los valores de z, volvemos a nuestra variable original:

2x  1 4 2 x  22 x  2

2x  2 x 1

2) Ecuaciones logarítmicas

En este tipo de ecuaciones la incógnita figura como "Logb x ". Para resolverlas debemos tener en cuenta las propiedades de los logaritmos que figuran en nuestro manual.

EJEMPLO 6 



log9  x 1  log9 9. x 1  2  0 



El término log 9 9  x 1 







log 9  x 1   log 9 9   log 9  1 



 

puede expresarse como:

Nuestra ecuación queda:







 



1  log9  x 1

log9  x 1 1  log9  x 1  2  0

Agrupamos términos semejantes









log9  x1  log9  x 1  2 1 







2log9  x 1 1 



log9  x1  1   2 Para poder despejar x, aplicamos la definición de logaritmo

Llegamos a una sencilla ecuación lineal



   x  1  

1

9 2

x 1  9 x 1  3

x  3 1 2

EJEMPLO 7

3  log 2 x   

2

En este caso, como en el ejemplo 5, la es tructura de la ec uación es semejante a la de una cuadrática completa.

11.log 2 x  20  0

Hacemos un cambio de variable:

Aplicamos la fórmula resolvente:

t  log2 x 3t2 11t  20  0

11 112  4. 3 .20 1119    t1,2    6 2   3 

t 5 Volvemos a la variable original:

log2 x  5 x  25 x  32



t4 3

log2 x  4 3 4 x2 3   3 x   1  2  

4

34 1 x 3  16 4...