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INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA ISABEL PUERTO ESCONDIDO - CÓRDOBA GRADO OCTAVO

ejemplo. Ordenar en forma ascendente el polinomio 4x + 𝟐𝒙𝟑 – 5 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 .

GUÍA II DE MATEMÁTICAS

Lo que haremos es organizar los términos del polinomio de tal manera que los exponentes de x aparezcan de menor a mayor, recordando que el término del polinomio que no tenga variable, tendrá exponente cero (0) y la variable que no tenga exponente, es porque su exponente es uno (1). En el ejemplo el polinomio quedará ordenado ascendentemente de la siguiente manera

Docente Jorge Rojas Care Tema: Orden de un polinomio - Suma y Resta de Polinomios

Orden de un polinomio Así como los números se pueden ordenar de menor a mayor (0, 1, 2, 3, 4, 5…) y de mayor a menor (…5, 4, 3, 2, 1, 0), los términos de un polinomio también se pueden ordenar.

EJERCITATE Ordena este grupo de números de menor a mayor y de mayor a menor ( -3, 4, 0, 1, 2, 2, -1, 5) Escribe aquí

tu respuesta.

Un polinomio se puede ordenar de acuerdo a sus variables. El orden se puede establecer en forma ascendente o descendente Orden ascendente: Un polinomio se ordena en forma ascendente, con respecto a una de sus variables, si los exponentes de la variables aparecen de menor a mayor en los términos de la variable, recordemos que en la expresión 𝟓𝒎𝟑, m es la variable y 3 es el exponente. Por

-5 + 4x + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟒, como te podrás dar cuenta, los exponentes de la variable serían: 0, 1, 2, 3 y 4 en ese orden ascendente. Veamos otro ejemplo sencillo: Ordenar el polinomio 𝟐𝒚𝟒 – 7y + 𝟔𝒚𝟑 𝒚𝟓 + 𝟗𝒚𝟐 + 10. Solución: se trata de ordenar los exponentes de la variable de menor a mayor. 10 – 7y + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟔𝒚𝟑 + 𝟐𝒚𝟒 − 𝒚𝟓 Orden descendente Un polinomio se ordena en forma descendente, con respecto a una de sus variables, si los exponentes de la variable aparecen de mayor a menor. Ejemplo. Ordenar en forma ascendente el polinomio 4x + 𝟐𝒙𝟑 – 5 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟒.

Lo que haremos es organizar los términos del polinomio de tal manera que los exponentes de x aparezcan de mayor a menor, recordando que el término del polinomio que no tenga variable, tendrá exponente cero (0) y la variable que no tenga exponente, es porque su exponente es uno (1). En el ejemplo el polinomio quedará ordenado descendentemente de la siguiente manera: 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 Veamos otro ejemplo. Ordenar el polinomio 10 – 7y + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟔𝒚𝟑 + 𝟐𝒚𝟒 − 𝒚𝟓 de forma descendente. Solución: se organizan los términos del polinomio teniendo en cuenta los exponentes, en este caso de mayor a menor. – 𝒚𝟓 + 𝟐𝒚𝟒 + 𝟔𝒚𝟑 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟕𝒚 + 𝟏𝟎 SUMA Y RESTA DE POLINOMIO

Sumar o restar polinomios equivale a sumar o restar los monomios (del polinomio) semejantes dos a dos. Los polinomios que no sean semejantes se dejan indicados.

Debes de tener en cuenta el orden en que se encuentra los polinomios, lo recomendable es sumar polinomios que estén ordenados ya sea forma ascendente o de forma descendente. Ejemplo1. Sumar 5m +6 con 2m -10. Debes primer fijarte si el polinomio se encuentra ordenado, en este caso sí lo está. Luego ahora pasamos a sumar o restar (de acuerdo a los signos) entre si los términos semejantes del polinomio, en este caso 5m y 2m son semejantes, así mismo 6 y -10; entonces nos queda: 5m + 6 + 2m – 10= 5m +2m +6 – 10

Ustedes dirán, ¿Cómo así?

= 7m – 4

Mira la imagen que está arriba

Ejemplo 2. Sumar 4𝑥 3 + 6𝑥2 - 8x +2 con 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 2x – 7 Solución

Recuerda que se debe verificar que los polinomios estén organizado de forma ascendente o de forma descendente y se identifican los términos que sean semejantes, y estos se suman o se restan de acuerdo a sus signos (del mismo signo, se suman y de signos diferentes, se restan). En este caso tendremos: (4𝑥 3 + 6𝑥2 - 8x +2) + ( 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 2x – 7) = 4𝑥3 + 2𝑥 3 + 6𝑥 2 + 𝑥 2 – 8x + 2x + 2– 7 =6𝑥 3 + 7𝑥 2 – 6x – 5 Ejemplo 3. Sumar

–6 𝒚𝟓 + 𝟒𝒚𝟑 − 𝟓𝒚𝟐 − 𝟕𝒚 con 𝒚𝟓 +

Veamos un par de ejemplos

𝟔𝒚𝟑 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒚

Hallar el perímetro del siguiente triangulo

Vemos que los polinomios están organizados de forma descendente, así que podemos sumarlos (–6 𝒚𝟓 + 𝟒𝒚𝟑 − 𝟓𝒚𝟐 − 𝟕𝒚) + ( 𝒚𝟓 + 𝟔𝒚𝟑 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒚) = –6 𝒚𝟓 + 𝒚𝟓 + 𝟒𝒚𝟑 + 𝟔𝒚𝟑 − 𝟓𝒚𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟕𝒚 +10y = -𝟓𝒚𝟓 + 𝟏𝟎𝒚𝟑 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟑𝒚 Una de las aplicaciones de la suma de polinomio es hallar el perímetro de figuras geométricas conociendo la medida de sus lados, recordemos que el perímetro de una figura geométrica regular es la suma de todos los lados de una figura geométrica.

4x + 6 2x+2 5x+3 Solución. Vemos que es un triángulo, entonces hallar su perímetro equivale a sumar los tres de lados de este. En este caso sería: P = (4x +3) + (5x +3) + (2x +2) P = 4x + 5x +2x + 3 + 3 +2 P = 11x + 8 Veamos otro ejemplo, esta vez para un rectángulo. 3m + 2n 5m+1

5m +1

3m + 2n

Con tu ayuda vamos hallar el perímetro

P = (5m + 1) + (3m +2n) + (5m +1) + (3m +2n) P= 5m + 3m + ….. +3m + 1 + 2n + ….. + 2n P = 16 m + 4n + …. ayuda.

b. Un rectángulo de lados 3m +7n y 2m +n 3m + 7n

Gracias por tu

Un último ejemplo. El terreno donde Pedro realiza su cultivo de plátano tiene forma rectangular y sus dimensiones son 4b + 2 y 2b + 1 P= 4b +2 + 2b ´1 +4b +2 +2b ´+ 1

2m+n 2m + n 3m + 7n c. En este triángulo, todos sus lados son iguales

P= 12b +6 , este sería el perímetro 4x +5y ACTIVIDAD 1. Ordena en forma ascendente y luego descendente los siguientes polinomios.

𝒂. 𝟐𝒙𝟒 – x + 𝟔𝒙𝟑 - 𝟑𝒙𝟓 + 𝟗𝒙𝟐 + 10 𝒃. 𝒚𝟒 – y + 𝟔𝒚𝟑 - 𝟐𝒚𝟓 + 𝟗𝒚𝟐 + 1. c. 𝟑𝒎𝟒 – m + 𝟔𝒎𝟑 - 𝟒𝒎𝟓 + 𝟗𝒎𝟐 2. Halle la suma entre los siguientes polinomios a. 𝟑𝒎𝟐 + 𝟓𝒎 + 2 con 𝟐𝒎𝟐 + m + 6 b. 𝒚𝟑 + 𝟓𝒚𝟐 − 𝟏 𝒄𝒐𝒏 𝟑𝒚𝟑 + 𝒚𝟐 + 4 c. 𝒃𝟐 + 𝟑𝒃 − 𝟗 𝒄𝒐𝒏 𝒃𝟐 + 𝒃 − 𝟑 3. Halle el perímetro de las siguientes figuras geométricas a. Un cuadrado de 7c + 5 de lado

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GUÍA II DE MATEMÁTICAS

Docente Jorge Rojas Care Tema: Relaciones y funciones Relación:

diagrama, aquí vemos la relación entre unos artículos y el precio por libra de estos artículos Producto Café Arroz Ajo Ají

Precio 2000 1500 8000 3000

Otro ejemplo de una relación es el número de casos positivos de coronavirus en el departamento de Córdoba, este está registrado según el número casos por municipio. En el siguiente diagrama se relaciona el número de casos por municipios a corte del

Entender los conceptos de relación y de función es de suma importancia en Matemática. Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que correspondencia es equivalente a relación. En nuestra lenguaje, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.

12 de mayo. Ese día se registró 41 casos en Córdoba Municipio

Montería Cereté Canalete Lorica Sahagún C de Oro Tierralta Montelibano

Casos x municipio

1 2 7 24

Ejemplos:

En él vemos que hay varios municipios que comparten el numero de casos

-En una tienda, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, cada artículo le corresponde un precio. Y esto lo podemos representar mediante un

En matemática, Relación es la correspondencia entre un primer conjunto, llamado Dominio , con un segundo conjunto,

llamado Recorrido o Rango , de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango Para los ejemplos vistos, podemos decir que en el caso de la tienda: Los productos sería el dominio y los precios el rango o recorrido. Y en el ejemplo sobre coronavirus, los municipios representarían el dominio y el número de casos sería el rango.

EJERCITATE

modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B Ejemplo 1. Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B. Solución El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados: A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)} Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B: R1 = {(2, 1), (3, 1)}

El siguiente diagrama representa las edades de algunos estudiantes de grado noveno de la I.E. Santa Isabel.

R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} R3 = {(2, 4), (3, 5)} La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {( x , y ) / y = 1}.

Juan D Daniela Luz Raúl María Daniel

12 13 14 15

Indica el dominio y el rango.

Escribe aquí

tu respuesta.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano. Ver: Plano Cartesiano de la primera pagina Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {( x , y ) / x < y } Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {( x , y ) / y = x + 2} Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y . Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos. Ejemplo 2. Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados ( x , y ) que satisfagan la relación R = {( x , y ) / x + y = 3} Solución El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)} Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son: R = {(1, 2), (–3, 6)} Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C , el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Dominio y rango de una relación El dominio de una relación es el conjunto de pre imágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango . Ejemplo 3 Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “ y es el doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la relación. Solución El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es: A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo: R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)} En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”. Así, el dominio y rango son: D = {2, 3, 4} Rg = {4, 6, 8} Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?

En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A. Una pregunta para ti : ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango? Aquí tu respuesta

ACTIVIDAD 1. Escriba dos situaciones donde se presente el concepto de relación, además indica el dominio y el rango de las mismas. 2. Si A = { 3,4 } y B= { 2, 5. 7 }, halle B x A, teniendo en cuenta que A x B se halla de la siguiente manera, observa cómo se obtiene

A x B = { (3,2), (3, 5), (3,7), (4, 2), (4,5), (4,7)} B x A =……… 3. Representa las parejas que obtuviste en el punto 2 en un plano cartesiano.

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GUÍA ESTADISTICA Y GEOMETRIA

Docente Jorge Rojas Care Tema: Conceptos básicos de estadística La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, representar, analizar, hallar regularidades de distintos fenómenos y generar conclusiones a partir de datos obtenidos de distintas fuentes como encuestas, estudios, experimentos, observación directa o entrevistas, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones.

métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos. Por ejemplo si se desea saber las edades de los estudiantes de grado noveno, y se desea representar estos datos en una tabla o gráfica, se utilizaría la estadística descriptiva para ello Estadística inductiva o inferencial: Se basa en los resultados obtenidos en la estadística descriptiva para obtener conclusiones o inferir el comportamiento de un fenómeno en toda la población. Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muéstrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos, por ejemplo si en el ejemplo de conocer las edades de los estudiantes de grado de noveno, además de graficarlo también se desea conocer sobre el promedio de la edades de los estudiantes o sobre qué edad más se repite entre ellos. ELEMENTOS DE LA ESTADÍSTICA.

Se aplica en diferentes campos como la física, las ciencias sociales, las ciencias de la salud, el control de calidad de una empresa y los negocios. RAMAS DE LA ESTADISTICA Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando

Individuos o elementos: personas, animales, cosas u objetos que contienen cierta información que se desea estudiar. El elemento puede ser una entidad simple (una persona, animal, cosa u objeto) o una entidad compleja (una familia, manada, conjunto) y se denomina unidad investigativa. Población o universo: conjunto de individuos o elementos que cumplen cierta propiedad o característica común. Es el grupo entero motivo de estudio. Muestra: subconjunto (pequeña parte del grupo, parte de los elementos) representativo de una población que pone

de manifiesto las características esenciales de la población

Va Variabl riabl riable e es esta ta tadís dís dístic tic tica a es el conjunto de valores que puede tomar cierta característica de la población sobre la que se realiza el estudio estadístico y sobre la que es posible su medición. Estas variables pueden ser: la edad, el peso, las notas de un examen, los ingresos mensuales, las horas de sueño de un paciente en una semana, el precio medio del alquiler en las viviendas de un barrio de una ciudad. Las vari ariabl abl ables es es estadí tadí tadísti sti sticas cas se pueden clasificar por diferentes criterios. Según su medición existen dos tipos de variables: Las cualitativas y las cuantitativas Variables cualitativas: (o categórica): son las variables que pueden tomar como valores cualidades o categorías. Ejemplos:

Sexo (hombre, mujer)  Salud (buena, regular, mala)  Color( negro, blanco, amarillo)  Tamaño( alto, bajo, medio) Variables cuantitativas: (o 

numérica): variables que toman valores numéricos. Ejemplos: 

Número de casas (1, 2,…).



 

Numero de hermanos (0, 1, 2, 3, 4, 5) Estas variables que se suelen representar mediante números enteros se llaman variables cualitativas discretas En cambio, variables como la Edad (12,5; 24,3; 35;…). Estatura( 1,55 m, 1,60 m, 1,85m ) Son variables cuantitativas continuas.

ACTIVIDAD

1.

2.

Usted está interesado en un estudio sobre la contaminación ambiental de todas las ciudades de más de 100.000 habitantes en Colombia. ¿cuál es la población y cual sería una posible muestra? Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas a. Preferencias políticas (izquierda, derecha o centro). b. Cultivos de tu región (Ñame, plátano, maíz, yuca ) c. Velocidad en Km/h. d. El peso en Kg. e. Signo del zodiaco. f. Nivel educativo (primario secundario, superior). g. Años de estudios completados. h. Tipo de enseñanza (privada o pública). i. Número de empleados de una empresa.

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De esta ecuación se deducen tres más y que se establecen de la siguiente manera:

GUÍA DE II MATEMÁTICAS

a = √𝑐2 − 𝑏 2

Docente Jorge Rojas Care Tema: Teorema de Pitágoras

C= √𝑎2 + 𝑏 2

b = √𝑐2 − 𝑎2 Veamos un ejemplo En un triángulo, cuyos catetos mide 3 unidades y 4 unidades, halle el valor de la hipotenusa

c : hipotenusa a=3

b: cateto

b =4

a : cateto El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática

c=?

a= 3 ; b= 4; c= C= √𝑎2 + 𝑏 2 C= √32 + 42 C = √9 + 16 C = √25 C=5 Luego entonces el valor de la hipotenusa es 5 unidades Veamos otro ejemplo, en donde se conoce el valor de la hipotenusa y el de uno de los catetos.

Podemos entonces resumir que: el Teorema de Pitágoras, se puede establecer de la siguiente manera:

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 unidades y el de uno de los catetos es 6 unidades.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud a y b, y la medida de la hipotenusa es c, entonces se cumple la siguiente relación: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

a=6

c = 10

b=

a = 6 ; c = 10; b =? b = √𝑐2 − 𝑎2 b = √102 − 62 b = √100 − 36

total de 250 metros superior del mismo recorre un total de 250 metros. ¿Cuál es la altura total del edificio?

b = √64 b=8

El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana Por ejemplo: 

El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares.



Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra.



Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los

En este ejemplo llamaremos x la altura del edificio, y el valor de la hipotenusa sería 250 y el de uno de los catetos 150, entonces aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: X = √2502 − 1502 X = √62500 − 22500 X = √40000 X = 200 La altura del edificio es 200 metros Veamos otro ejemplo que solucionaremos con tu ayuda Una rampa de una carretera avanza 60 metros en horizontal para subir 11 metros en vertical. Calcule cuál es la longitud de la carretera.

frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.

Ejemplo Si nos situamos a 150 metros de un edificio alto, la perspectiva hacia el extremo superior del mismo recorre un

En este caso necesitamos hallar el valor de la Hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma, llamaremos x dicho valor

X = √112 + 602