H5 Buiging Sterkteleer PDF

Preview

Summary

solutions H5...

Description

5

BUIGING

BUIGING 5.1

Hoe is het spanningsverloop in de inklemming van een eenzijdig ingeklemde balk? Het maximale moment van een balk die eenzijdig is ingeklemd balk is in de inklemming. Bij de inklemming is aan de bovenzijde de trekspanning maximaal en aan de onderzijde een drukspanning maximaal.

5.2

Onderstaande balk wordt belast door twee verticale krachten. Plaats een vinkje bij de spanningen die optreden in het aangegeven punten in de balk.

Figuur 5.26 Balk

Punt

Trekspanning



A B



C



D

5.3

Drukspanning



Waarom zit in een betonwelfsel de bewapening voornamelijk onderaan?

Figuur 5.27 Betonwelfsel

In een betonwelfsel treden aan de onderzijde trekspanningen op. Beton kan zeer goed drukspanningen opnemen maar geen trekspanningen. Daarom wordt aan de onderzijde het beton verstevigd met een stalen bewapening die wel trekspanningen kan opnemen.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

72

5

BUIGING

5.4

Een stalen rechthoekige staaf met een hoogte van 85 mm en een breedte van 55 mm wordt op buiging belast. De toelaatbare buigspanning is 210 N/mm². Bereken het weerstandsmoment tegen buiging en het maximaal toelaatbaar buigend moment. Gegeven: h = 85 mm b = 55 mm   210 MPa Gevraagd: Wx Mb Uitwerking  Weerstandsmoment b h2 Wx  6 55  852 mm mm 2   6  66229 mm3  Buigmoment M b  b Wx



Mb  b Wx  210  66 229 MPa  mm3   13,9  10 6 Nmm  13,9 kNm

Besluit: het weerstandsmoment tegen buiging bedraagt 66 229 mm³ en met maximaal buigend moment is 13,9 kNm.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

73

5

BUIGING

5.5

Een eenzijdig ingeklemde houten balk steek 2 m uit en wordt op het uiteinde belast met een kracht van 5 000 N. Bepaal de afmetingen van de rechthoekige houten balk waarvan de hoogte gelijk moet zijn aan twee maal de breedte  b hout  10 MPa  . Gegeven: L = 2 m F = 5 000 N h=2b

 b hout  10 MPa Gevraagd: h b Uitwerking  Buigmoment M  F L

N mm

 5000  2000

 10 000 000 Nmm  Weerstandsmoment M   b hout  W

W 

M

 b hout

10 000 000 Nmm    10  MPa   1 106 mm3



W



b h 6

2

b 2 b  6 6 3 6 10  4  b

2

1 10 6 

6

6  10 4  114,5 mm h  2 b  2  114,5 b 3

 229 mm

Besluit: de houten balk moet een hoogte van 229 mm en een breedte van 114,5 mm hebben.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

74

5

BUIGING

5.6

Een stalen warmgewalst rechthoekig profiel, 100  50  8, wordt belast op buiging. Dit profiel wil je vervangen door een stalen holle buis met wanddikte 5 mm. Bepaal de buitendiameter van deze buis zodat de maximale buigspanning hetzelfde blijft.

Gegeven: 100  50  8 Wrechthoek = 46 000 mm³ (tabellenboek) s = 5 mm Gevraagd: D Uitwerking Het weerstandsmoment van beide profielen moet gelijk zijn.

Wrechthoek  Wholle buis 46 000  46 000  32



  D 4  d 4  32  D

 D  D 4   D  2  s

468 552  D  D 4   D 10 

4

4

Los deze vergelijking op met de computer of rekentoestel. D = 115, 6 mm

Besluit: als je het warmgewalst rechthoekig profiel wil vervangen door een holle buis dan moet deze buis een buitendiameter hebben van 115,6 mm en een wanddikte van 5 mm.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

75

5

BUIGING

5.7

Een wandkraan bestaat uit een HEB 300 blak, S235JRG2, en heeft een lengte van 6 meter. Bepaal de maximale golvende last op het uiteinde van de kraan. Het gewicht van de balk mag je niet verwaarlozen. Gegeven: L = 6 m Rvl  235 MPa Wx = 1 680 103 mm³ (tabellenboek of bijlage) Q = 1 147,5 N/m Gevraagd: F Uitwerking  Toelaatbare spanning 2 R    e 3 e 2 235   MPa  3 2  78,3 MPa  Buigmoment M b  b Wx



Mb   b  Wx  78,3  1 680  103 MPa  mm3   131,6  106 Nmm  131,6  103 Nm

Mb  F  L  Q  L 

L 2



F 



Mb  Q 

L2 2

L 131,6  10 3  1147,5  6

62  N  Nm   m 2   2 m   m    

 18, 5 103 N  18, 5 kN

Besluit: de maximale last aan de wandkraan bedraagt 18,5 kN.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

76

5

BUIGING

5.8

Een rolbrug bestaat uit twee ligger en heeft een breedte van 20 meter en moet een last van 6 ton kunnen tillen. Welke profielen, twee naast elkaar, zou je gebruiken in je ontwerptekeningen (e = 3)?

Figuur 5.28

Gegeven: L = 20 m Rvl  235 MPa m = 6 000 kg e = 3 Gevraagd: geschikte balk Uitwerking  Toelaatbare spanning 2 R b  e 3 e

2 235   MPa  3 3  52 MPa  Buigmoment Het maximale buigmoment op één balk bekom je als de helft van de last aangrijpt in het midden van de balk. F a  b Mb  2 L 6 000 9,81 m   10 10  kg  2  m m  s 2    20 m      147150 Nm

b 

Mb Wx



Wx 

Mb

b

147,15 10 6 Nmm    52  MPa   2,83 10 6 mm 3 

Een IPE600 heeft een weerstandsmoment van 3,07106 mm³ en heeft een gewicht van 1200 N/m. Ook een IPB400 is geschikt (W = 2,88106 mm³, Q = 1520 N/m). Besluit: twee IPE 600 balken (of IPB 400) zijn geschikt voor de rolburg.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

77

5

BUIGING

5.9

Een wandkraan heeft twee takels die 1,0 meter uit elkaar staan. Bepaal het profiel van de horizontale balk indien deze een lengte heeft van 4,0 meter. Elke takel kan 1,5 ton heffen. Het gewicht van de balk mag je niet verwaarlozen.

Figuur 5.29

Gegeven: L = 4 m Rvl  235 MPa m = 1 500 kg e = 2 Gevraagd: geschikte balk Uitwerking  Toelaatbare spanning 2 R b  e 3 e 2 235   MPa 3 2  78 MPa  Buigmoment

Mb  m g 4 m g 3 Q L

L 2 2

 1 500  9,81  4  1 500 9,81 3  Q

4 2

m N 2  m kg  s2 m kg  s2 m  mm 

 103 005  8  Q Nm

b 

Mb Wx



Wx  

Mb

b 6 103 10  8000  Q Nmm   MPa  78  

  1,32 106  102 Q  mm3

Een IPE 450 heeft een weerstandsmoment van 1 500103 mm³ en heeft een gewicht van 761 N/m. Het nodige weerstandsmoment is dan:

Wx   1,32 106  102 761 mm3  1,4  106 mm3 Omdat deze waarde kleiner is dan het weerstandmoment van de IPE450 voldoet de gekozen balk. Besluit: een IPE 450 is een geschikte balk.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

78

5

BUIGING

5.10

Bepaal de maximale doorbuiging van de balk van de wandkraan uit opgave 5.9. Gegeven: L = 4 m m = 1 500 kg IPE 450 Ix = 33 740104 mm4 Q =761 N/m Gevraagd: f Uitwerking  Doorbuiging door de kracht op het uiteinde van de balk F  L3 f1  3 E  I  m 3  kg  s 2 mm  1 500  9.81 4 000 3    3  210 000  33 740 10 4  MPa mm 4    4,43 mm   Doorbuiging door de kracht op het uiteinde van de balk F  a2   3  L  a  f2  6E I m   2 1 500  9.81 3 000 2  3 4 000 3 000   kgs 2  mm  mm    4 6 210 000 33 740 10 4  MPa mm     2,80 mm  Doorbuiging door het gewicht van de balk 3

F L 8 E I Q  L 'L3  8 E I

f3 

N 3  3 m  m mm  761  4  4 000    8 210 000  33 740 10 4  MPa mm 4     0,34 mm

 Totale doorbuiging f  f1  f2  f3  4, 43  2,80  0,34 [mm]  7,57 mm

Besluit: bij een maximale belasting is de doorbuiging op het uiteinde 7,6 mm.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

79

5

BUIGING

5.11

Bepaal het oppervlaktetraagheidsmoment en weerstandsmoment van onderstaand railprofiel.

Figuur 5.30

Gegeven: figuur 5.30 Gevraagd: Ix, Iy, Wx, Wy Uitwerking  Zwaartepunt Deel i xi [mm] 1 2 3 Totaal xzw 

0 0 0

x

i

yi [mm] 5 50 95

 Ai

A

0  mm3    3 700  mm2   0 mm



xi Ai [mm³]

Ai [mm²] 2 000 800 800 3 700 y zw 

yi Ai [mm³]

0 0 0

10 000 40 000 76 000 131 000

y  A i

i

A 131 000  mm3     3 700 mm 2   35 mm

 Oppervlaktetraagheidsmoment deel 1 b h3  A  a2 12 3 200 10   2 000 302 12  1816 667 mm4

I1 x 

b 3 h 12 3 200  10  12  6 666 667 mm4

I1 y 

 Oppervlaktetraagheidsmoment deel 2 b h3  A  a2 12 3 10 80   800 152 12  606 667 mm4

I2 x 

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

b3  h 12 3 10 80  3   mm mm  12  6 667 mm4

I2 y 

80

5

BUIGING  Oppervlaktetraagheidsmoment deel 3 b  h3  A  a2 12 80  103   800  60 2 12  2 886 667 mm4

b3 h 12 803 10  12  426 667 mm4

I3 x 

I3 y 

 Oppervlaktetraagheids- en weerstandsmoment t.o.v. de horizontale as. Ix  I1 x  I2 x  I3 x  1 816 667  606 667  2 886 667 mm 4  5 310 000 mm4

Wx 

Ix v ymax

5 310 000 mm4    65  mm  3  81 692 mm 

 Oppervlaktetraagheids- en weerstandsmoment t.o.v. de verticale as. Iy  I1 y  I2 y  I3 y 4  6 666 667 6 667 426 667  mm   7 100 000 mm4

Wy 

Iy v xmax

7 100 000 mm 4   mm  100   3  71 000 mm 

Besluit:

het oppervlaktetraagheids- en weerstandsmoment is:

Ix  5310 000 mm4

Wx 81692 mm3

Iy  7100 000 mm4

Wy  71000 mm3

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

81

5

BUIGING

5.12

Bepaal het oppervlaktetraagheidsmoment en weerstandsmoment van onderstaand profiel.

Figuur 5.31

Gegeven: figuur 5.31 Gevraagd: Ix, Iy, Wx, Wy Uitwerking  Zwaartepunt Deel i xi [mm] 1 2 3 Totaal

xzw 

x

10 50 90

i

yi [mm] 50 10 35

 Ai

A 206 000  mm 3    2 4 600 mm   44,8 mm

Ai [mm²]

xi Ai [mm³]

yi Ai [mm³]

2 000 1 200 1 400 4 600

20 000 60 000 126 000 206 000

100 000 12 000 49 000 161 000

y zw 

y  A i

i

A 161 000  mm3    2 4 600 mm   35 mm

 Oppervlaktetraagheidsmoment deel 1 b  h3  A  ay 2 12 20  1003   2 000 15 2 12 2116 667 mm 4

I1 x 

b3  h  A  ax 2 12 203 100  2 000 34,8 2 12  2 486 326 mm4

I1 y 

 Oppervlaktetraagheidsmoment deel 2 b h3  A  ay 2 12 60  203   1200  252 12  790 000 mm4

I2 x 

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

b3  h  A  ax2 12 603 20  1200 5,2 2 12  392 665 mm4

I2 y 

82

5

BUIGING  Oppervlaktetraagheidsmoment deel 3 b3  h  A  ax 2 12 20 3 70   1 400 45,2 2 12  2 909 124 mm4

b h3  A  ay 2 12 20  703  12  571667 mm4

I3 y 

I3 x 

 Oppervlaktetraagheids- en weerstandsmoment t.o.v. de horizontale as. Ix  I1 x  I2 x  I3 x  2 116 667  790 000  571 667 mm 4  3 478 333 mm4

Wx 

Ix v ymax

3 478 333 mm 4    100  35  mm  3  53 513 mm 

 Oppervlaktetraagheids- en weerstandsmoment t.o.v. de verticale as. Iy  I1 y  I2 y  I3 y 4  2 486 326  392 665 2 909 124  mm   5 788116 mm4

Wy 

Iy v xmax

5 788 116  mm4  100  44,8  mm  3  104 824 mm 

Besluit:

het oppervlaktetraagheids- en weerstandsmoment is:

Ix  3 478333 mm4

Wx  53513 mm3

Iy  5788116 mm4

Wy 104 824 mm 3

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

83

5

BUIGING

5.13

Twee UNP 120-profielen worden tegen elkaar bevestigd zoals in figuur 5.32. Bepaal de afstand x zodat het oppervlaktetraagheidsmoment t.o.v. de x-as gelijk is aan het oppervlaktetraagheidsmoment t.o.v. de y-as.

Figuur 5.32

Gegeven: UNP120 e = 16 mm A = 1 700 mm² Ix = 364104 mm4 Iy = 43,2104 mm4 figuur 5.32 Gevraagd: x Uitwerking  Oppervlaktetraagheidsmoment



2 Ix  2 Iy  A a2



x  Ix  Iy  A   16  2 

2

x  364  104  43,2  104  1 700    16  2  

2

 Vergelijking oplossen (kan ook met ICT) 2

364 104  43,2 104  x     16  1 700 2   2

x  1 887    16 2   x  1 887   16 2 x 43,44 16  2 x  118,9 mm

of

x  54,9 (ongeldig)

Besluit: het oppervlaktetraagheidsmoment ten opzichte van de x- en y-as is gelijk indien x = 118,9 mm.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

84

5

BUIGING

5.14

Twee UNP 120-profielen worden tegen elkaar bevestigd zoals in figuur 5.32. Bepaal de afstand x zodat het weerstandsmoment t.o.v. de x-as gelijk is aan het weerstandsmoment t.o.v. de y-as.

Figuur 5.32

Gegeven: UNP120 e = 16 mm A = 1 700 mm² Ix = 364104 mm4 Iy = 43,2104 mm4 figuur 5.32 Gevraagd: x Uitwerking  Weerstandsmoment



2 2  Ix 2  Iy  A  a  h/2 x/2



x  Iy  A    16  Ix 2    60 x /2

2

2

x  43,2 10 4  1 700   16  364  104 2   60 x /2  Vergelijking oplossen

2

x  43,2 10 4  1 700   16  364 104 2    60 x /2

 x2  x 30 333 x  432 000  1700    2   16  16 2  2  4  2 0  425 x  57 533  x  867 200 x1,2 

57 533  57 533 2 4 425 876 200

x1  118,1 mm

2 425 of

x2  17,3 (ongeldig)

Besluit: het weerstandsmoment t.o.v. van de x- en y-as is gelijk indien x = 118,1 mm.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

85

5

BUIGING

5.15

Een stalen warmgewalst rechthoekig profiel, 80  40  5, wordt belast op buiging. Dit profiel wil je vervangen door een stalen holle buis met wanddikte 4 mm. Bepaal de buitendiameter van deze buis zodat de doorbuiging hetzelfde blijft. Gegeven: 80  40  5 Irechthoek = 80,3104 mm4 (tabellenboek) s = 4 mm Gevraagd: D Uitwerking Het oppervlaktetraagheidsmoment van beide profielen moet gelijk zijn.

Irechthoek  Iholle buis 80,3 10 4  80,3 10 4 64



  D4  d4  64

 D4   D  2  s 

4

16,36 10 6  D4   D 8 

4

Los deze vergelijking op met de computer of rekentoestel. D = 83,9 mm

Besluit: als je het warmgewalst rechthoekig profiel wil vervangen door een holle buis dan moet deze buis een buitendiameter hebben van 83,9 mm en een wanddikte van 4 mm.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

86

5

BUIGING

5.16

Een vierkante buis (buitenzijde 100 mm, wanddikte 6 mm, S355) van 4 m wordt ondersteund aan beide uiteinden. Bepaal de maximale kracht die er mag optreden in het midden van de buis als de maximale doorbuiging 20 mm is, controleer ook de buigspanning (e = 2). Gegeven: Re = 355 MPa 100  100  6 I = 323104 mm4 (tabellenboek) W = 64,610³ mm³ L=4m f = 20 mm e= 2 Gevraagd: F Uitwerking  Doorbuiging F  L3 f 48  E  I



48  E  I  f L3 48 210 000 323 10 4 20  4 0003

F 

MPa mm 4 mm    mm3  

 10175 N  Buigspanning

 

Re

e

355 2 177 MPa  F L Mmax  4 10 175 4 000  N mm  4  10175000 Nmm 

Mmax W 10 175 000  64 600

b

 157 MPa  

Besluit: bij een kracht van 10 175 N gaat de balk 20 mm doorbuigen en blijft de buigspanning onder de toelaatbare buigspanning.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

87

5

BUIGING

5.17

Op twee evenwijdige muren wordt een balk geplaatst met een lengte van 5 meter. Op deze balk rust een muur (  = 1 800 kg/m³) met een hoogte van 2,5 m en een breedte van 150 mm. Bepaal een geschikte stalen balk (S235JR,  = 3) die deze muur kan dragen, de doorbuiging moet kleiner zijn dan 1/300.

Figuur 5.33 Muur op een balk

Gegeven: Rm = 340 MPa  =3  = 1 800 kg/m³ h = 2,5 m b = 0,15 m L=5m f < L/300 mm Gevraagd: geschikte balk Uitwerking  Gewicht muur V  L h b  5  2, 5  0,15

m m m 

 1,88 m³ F  V   g kg m    1,88 1800 9,81 m 3  3  2   m s   33109 N

 Doorbuiging

f

5 F  L3 384  E  I



I



5 F  L3 384  E  f

5  33109 5 0003  N mm3   5 000  MPa mm  384  210 000  300 6 4  15,4 10 mm



Een HEB 160 (IPB 160) heeft een oppervlaktetraagheidsmoment van 24,9106 mm4 en voldoet aan de berekende waarde (W = 31110³ mm³).

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

88

5

BUIGING  Buigspanning

 

Rm



340  3  113 MPa F L  gelijkmatige belasting 8 30 109 5 000  N mm  4  37,64 10 6 Nmm

Mb 

Mb W 37,64 106  311 10 3  121 MPa  

b

De buigspanning in de HEB 160 balk is te groot, er moet een zwaardere balk gekozen worden. De doorbuiging zal hierdoor kleiner zijn. Een HEB 180 (IPB 180) heeft een weerstandsmoment van 42610³ mm³. De buigspanning is dan: M b b W 37,64 10 6  3 426 10  88 MPa   Besluit: een HEB 180 balk is geschikt om de muur te dragen.

Toegepaste mechanica - Sterkteleer, Plantyn Mechelen

89

5

BUIGING

5.18

Het kunstencentrum STUK in Leuven heeft als aandachtstrekker een IPE-balk van 25 meter die rust op twee steunpunten. Bepaal een geschikte stalen balk (S235, νe = 2,5) voor deze constructie. Bepaal ook de doorbuiging van de balk.

Figuur 5.34 Aandachtstrekker kunstencentrum STUK

Gegeven: L = 25 m Re = 235 MPa  e = 2,5 E = 210 GPa Gevraagd: geschikte I-balk f Uitwerking  Maximale moment Het maximale moment treedt op in het midden en bepaal je met onderstaande formule. Let wel op met de eenheden. Grootheid Moment

Symboo...