Hydrostatisches Grundgesetz PDF

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Hydrostatisches Grundgesetz...

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4.

Hydrostatik

4.1.

Hydrostatisches Grundgesetz (Herleitung)

Betrachtet wird ein mit Wasser gefüllter Behälter. Über der Wasseroberfläche herrscht der konstante Luftdruck p0. Die Dichte  des Wassers ist konstant. Von der Wasseroberfläche senkrecht nach unten in Richtung der Erdbeschleunigung g wird die Koordinate h angetragen. Aus dem Wasservolumen wird ein differenziell kleines Volumenelement dV herausgeschnitten und separat betrachtet (Befreiungsprinzip der Mechanik). Das Volumenelement hat die Form eines Quaders mit der Grundfläche dA und der Höhe dh. Damit das Volumenelement im Gleichgewicht bleibt, müssen die Kräfte angetragen werden, die in der ursprünglichen Umgebung auf das Element gewirkt haben. Auf der Oberseite des Volumenelementes wirkt der Druck p. Auf der Unterseite hat sich der Druck um einen differenziellen Betrag dp geändert. Es wirkt also hier auf die Unterseite der Druck p+dp. Die Drücke wirken jeweils auf die Flächen dA und erzeugen dadurch die Druckkräfte p.dA auf der Oberseite und (p+dp).dA auf der Unterseite. Im Volumen dV befindet sich die Wassermasse dm, auf die die Erdbeschleunigung g wirkt. Es entsteht dadurch die differenzielle Gewichtskraft     ∙  Die Masse dm kann durch die Dichte und das Volumen dV ausgedrückt werden.    ∙  Das Volumen dV ergibt sich aus dem Produkt von    ∙  Für das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung gilt dann  ∙     󰇛  󰇜 ∙ 

 ∙    ∙   󰇛  󰇜 ∙ 

 ∙    ∙  ∙  ∙   󰇛  󰇜 ∙  In der Gleichung kann dA herausgekürzt werden. Ferner heben sich die Terme p.dA auf beiden Seiten heraus. Übrig bleibt  ∙  ∙    Diese Gleichung kann integriert werden. Die Integration erstreckt sich von der Wasseroberfläche, h = 0 und p = p0, bis zur Wassertiefe h in der der Druck p herrscht. 



 ∙       



Das Ergebnis ist  ∙ 󰇛󰇛  0󰇜     Darauss ergibt sich das hydrrostatischee Grundgessetz zu      ∙  ∙ 

g p0

h

p dA dA

dFG dh dV

dA 

(p p+dp) dA...