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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE FISICA

INFORME No. 4 PÉNDULO FÍSICO

Docente: Gutierrez Martinez Victor Apellidos: Mercado Taquichiri Nombres: Salome Fecha de entrega: 01/11/21 Grupo: lunes 08:15 a.m. / B1

Semestre II/2021

PÉNDULO FÍSICO 1. Objetivos 1.1. 1.2.

Hallar el radio de giro “k”. Determinar el valor de la gravedad local, a partir del periodo del péndulo físico. 2. Teoría Cualquier cuerpo rígido suspendido de (1) un eje fijo que no pasa por su centro de masa, recibe el nombre de péndulo físico. En la figura (a) se muestra un cuerpo de forma irregular, que se encuentra en su posición de equilibrio, donde el centro de masa C y el eje de oscilación O se encuentran sobre la misma línea vertical. En la figura (b) el cuerpo se encuentra desplazado un ángulo θ de su posición de equilibrio. Si se suelta en esa posición, el cuerpo empezará a oscilar formando un péndulo físico, donde; la distancia del centro de masa al eje de oscilación es b, además I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje “O”. El torque restaurador del movimiento oscilatorio se debe a la componente tangencial de la fuerza gravitacional: Asimismo, la segunda ley de Newton para un movimiento rotatorio está dado por: τ = Iα (2) donde la aceleración angular es: α=

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

(3)

Reemplazando las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación 3, se tiene: 𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

=−

𝑚𝑔𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼

Por tanto, a partir de las ecuaciones el periodo del péndulo físico es: 𝑇 = 2𝜋 √

𝐼

𝑚𝑔𝑏

(4)

Utilizando el teorema de Steiner y la definición del radio de giro, el momento de inercia respecto a un eje que no pase por su centro de masa es: 𝐼 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑏2 = 𝑚𝑘 2 + 𝑚𝑏2 Donde "k" es el radio de giro del péndulo físico respecto a un eje fijo que pasa por su centro de masa, con esto la ecuación (4) es: 2

𝑘 +𝑏

𝑇 = 2𝜋 √

𝑔𝑏

2

(5)

Despejando b2 de la ecuación (5), se encuentra: 𝑔

𝑏2 = 2 𝑏𝑇 2 − 𝑘 2 (6) 4𝜋 Por otro lado, comparando la ecuación 4.8 con el periodo del péndulo simple, se tiene: 𝑘2 + 𝑏2 𝐿=

𝑏

Donde L se conoce como la longitud equivalente3del péndulo físico. En la figura c se muestra el comportamiento del periodo Ten función de la distancia b, donde el periodo es mínimo para una distancia igual al radio de giro. Se denomina puntos conjugados aquellos puntos para los cuales se tiene el mismo periodo T(b1) = T(b2). En la figura c se puede notar que existen infinitos puntos conjugados.

Es fácil demostrar que los puntos conjugados satisfacen la siguiente relación: 𝑘 2 = 𝑏1 𝑏2 Así mismo, la longitud equivalente del péndulo físico para los puntos conjugados es: 𝐿 = 𝑏1 + 𝑏2 3. Experimento

3.1.

Materiales

Los materiales que utilizamos en este avance para hacer las mediciones y cálculos son los siguientes: a. Utilizamos una simulación: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilaciones/compuesto/compues to.html b. Una calculadora científica (Ejem.:𝑓𝑥 − 350 𝐸𝑆 𝑃𝐿𝑈𝑆 3.2.

Procedimiento

a. Ingresamos a la simulación mencionada en (3.1.a) b. Podemos observar que ésta tiene el aspecto que se ve en la fotografía. c. A continuación, procedemos a modificar la posición, que irá de 5 en 5 [𝑐𝑚]. Medimos el tiempo para 10 oscilaciones por cada posición del péndulo Se hace esto 9 veces, obteniéndose 9 posiciones con 9 tiempos. d. Sin hacer mucho, lo único a realizar es medir el periodo de oscilación para 10 oscilaciones por cada posición de péndulo.

4. Cálculos y Resultados Ingresamos los datos obtenidos de tiempo y posición. 𝑛°

𝒃 [𝒎]

𝒕 [𝒔]

𝑻 [𝒔]

1

0.05

26.5

2.65

2

0.1

19.6

1.96

3

0.15

17.1

1.71

4

0.2

16.0

1.60

5

0.25

15.5

1.55

6

0.3

15.5

1.55

7

0.35

15.7

1.57

8

0.4

16.0

1.60

9

0.45

16.3

1.63

La figura no presenta un comportamiento lineal, ni exponencial, tampoco potencial simple, por lo cual, para linealizar recurrimos a las variables compuestas (𝒃𝟐 , 𝑻𝟐 𝒃), posteriormente graficamos.

𝑛°

𝒃𝟐 [𝒎𝟐 ] 𝑻𝟐 𝒃[𝒔𝟐 𝒎]

0.0025

0.351125

2

0.01

0.38416

3

0.0225

0.438615

4

0.04

0.512

5

0.0625

0.600625

6

0.09

0.72075

7

0.1225

0.862715

8

0.16

1.024

9

0.2025

1.195605

1

La ecuación de ajuste para la figura: 𝑔

𝑏 2 = −𝑘 2 + 4𝜋2 𝑏𝑇 2 ; 𝑌 = 𝐴 + 𝐵𝑋(LINEAL) 5. Análisis

Utilizando el método de mínimos cuadrados, los parámetros del modelo escogido: 𝑔

𝐴=

∑ 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖2 −∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 −(∑ 𝑥𝑖 )2

𝜎𝐴 = √

𝜎2 ∑ 𝑥𝑖 2 ∆

𝑏 2 = −𝑘 2 + 4𝜋2 𝑏𝑇 2 ; 𝑌 = 𝐴 + 𝐵𝑋(LINEAL) = −0.08053638884

= 7.029586669𝑥10−4

𝑟 = 0,9999421325

𝐵=

n ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 −(∑ 𝑥𝑖 )2

𝜎𝐵 = √

𝜎2 𝑛 ∆

= 0.2460300643

=9.597754839𝑥10 −4

𝜎 2 = 6.518176146𝑥10−7

∑ 𝑑2𝑖 = ∑ 𝑦𝑖2 − 2𝐴 ∑ 𝑦𝑖 − 2𝐵 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 + 𝑛𝐴2 + 2𝐴𝐵 ∑ 𝑥𝑖 + 𝐵2 ∑ 𝑥𝑖2 = 4.562723302𝑥10−6

∆= 6.368384804

𝐴 = (−0.0805 ± 0.0007); 0.86% 𝐵 = (0.2460 ± 0.0009); 0.38%

Para determinar el valor de la aceleración de la gravedad local y el radio de giro, comparamos la ecuación con el modelo escogido (curva linealizada). Por tanto, la gravedad local y la constante “k” con sus respectivos errores son: 𝑔 = 4𝜋 2 𝐵 → 𝑔 = 9.711690731

𝜕𝑔 ∆𝐵 = | | 𝑒𝐵 = |4𝜋2 |(0.0009) = 0.03553057584 𝜕𝐵 𝑔 = (9.71 ± 0.04)[𝑚/𝑠2 ]; 0.41%

𝑘 = √−𝐴 → 𝑘 = √−(−0.0805) = 0.2837252192

𝑘 = (0.2837 ± 0.0007)[𝑚]; 0.24%

6. Conclusiones • Se halló la gravedad, siendo ésta aproximada a la de la tierra. • Se halló el radio de giro. • Se pudo demostrar la relación entre el periodo y el brazo. 7. Bibliografía

Universidad Mayor de San Simón. (s.f.). Guía de laboratorio Física Básica II. Cochabamba, Bolivia....