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Page |1 RELACIÓN LINEAL EN LA MEDICIÓN DE DIÁMETRO Y PERÍMETRO DE DIFERENTES CIRCUNFERENCIAS LINEAL RELATIONSHIP FROM DIAMETER AND SCOPE MEASUREMENT OF DIFFERENT CIRCUMFERENCES Bogotá D. Universidad Distrital Francisco José de Caldas RESUMEN: Este desarrollo experimental en el aula de laboratorio, e...

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RELACIÓN LINEAL EN LA MEDICIÓN DE DIÁMETRO Y PERÍMETRO DE DIFERENTES CIRCUNFERENCIAS LINEAL RELATIONSHIP FROM DIAMETER AND SCOPE MEASUREMENT OF DIFFERENT CIRCUMFERENCES Bogotá D.C. Universidad Distrital Francisco José de Caldas

RESUMEN: Este desarrollo experimental en el aula de laboratorio, está encaminado a encontrar y entender la relación que existe linealmente entre una variable dependiente y una independiente, en el caso del diámetro y perímetro en una circunferencia. Durante el laboratorio, bajo la guía del docente respectivo de física, fue explicado el método de mínimos cuadrados y la forma de determinar la ecuación de la recta; posteriormente, se inició la medición del diámetro de diferentes circunferencias, con ayuda de una regla y también la medición del perímetro, con ayuda de una cuerda y una regla. A partir de la lectura de la “Guía para prácticas experimentales de física: mecánica” [ CITATION Uni141 \l 9226 ], se eligió el permímetro como variable dependiente y el diámetro, ya que se obtenian medidas sin decimales, como variable independiente. Se obtuvieron cifras de relación lineal. Palabras clave: Relación lineal, variable, dependiente, independiente.

ABSTRACT: This experimental development in the classroom laboratory aims to find and understand the lineal relationship between a dependent variable and an independent, in the case of the diameter and the perimeter in a circle. In the laboratory, under the advices of the respective physics teacher, was explained the least squares method and how to determine the equation of the line; later, it was began the diameter measurement of different circumferences, with a ruler, and the perimeter measurement too using a rope and a ruler. From reading the "Guide for experimental practices of physics: mechanic” (Universidad de la Salle, 2014), it was chose the perimeter as dependent variable and the diameter,

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because it measures were obtained without decimals, was chosen as an independent variable. Figures linear relationship was obtained. Key words: lineal relationship, variable, dependent, independent.

INTRODUCCIÓN: La física, como ciencia exacta, requiere de la medición de determinados objetos para el estudio acertado de la naturaleza; existen pues, valores teóricos que están sujetos a medidas estándar en unidades de un sistema internacional, bajo esos criterios, se puede realizar la medición aleatoria de variables. En el caso de la relación lineal, al realizar mediciones de valores en proporciones distintas, el perímetro y el diámetro, la importancia de dicha relación es concluir de qué forma influye una variable sobra la otra, la dependencia funcional, para finalmente entrar en la labor de la física, mecánica en este caso, de predecir, en base a esta, la relación teórica. En el caso de una circunferencia que es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes del centro y, según [ CITATION Rom12 \l 9226 ] el círculo, en cambio, es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; el círculo es la superficie contenida dentro de la circunferencia y ésta es el perímetro del círculo. Entonces, la longitud alrededor del círculo se llama circunferencia. El diámetro es una línea recta que pasa a través del centro de un círculo conectando dos puntos de la circunferencia; π es la relación entre la

longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Para entender la relación lineal, a lo largo del artículo se definirá la forma en que afectan una a la otra, las variables de perímetro y diámetro de una circunferencia, tomando como una clara referencia la premisa de [ CITATION Are85 \l 9226 ] que afirma “hay una relación exacta entre el diámetro y perímetro, es decir, que a un diámetro de longitud dada, corresponde siempre una circunferencia del mismo tamaño”. A partir de ello, el artículo se identificará a modo de explicar dicha relación con la linealidad. MATERIALES Y MÉTODOS: Materiales y equipos: Para realizar la medida de perímetro y diámetro de la circunferencia, se emplearon: Cinta métrica: Al ser una cinta flexible graduada que demarca los centímetros y milímetros, partimos de una cifra determinada por un implemento que estamos acostumbrados a utilizar fácilmente. Cuerda:

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Debido a que el perímetro es el largo total de la línea que forma la circunferencia, al

hacer un círculo con este implemento y

Posteriormente estirarlo, corresponderá al perímetro. Discos de diferentes tamaños: Para el desarrollo de la práctica experimental, fueron empleados diez discos de tamaño consecutivo.

[ CITATION Uni141 \l 9226 ]

Perímetro:

Ecuaciones empleadas: Ecuación de la recta:

[ CITATION Uni141 \l 9226 ]

RESULTADOS Y ANÁLISIS:

[ CITATION Uni141 \l 9226 ]

Mínimos cuadrados:

Para un desarrollo pertinente del estudio, el docente aclaró los cálculos a realizar durante la práctica, posteriormente iniciamos con la toma de mediciones. A los diez discos de madera se les realizaron medidas de diámetro y perímetro: Círculo

[ CITATION Uni141 \l 9226 ]

Correlación:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Diámetro (cm) 3 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Perímetro (cm) 10 13 20.7 26.5 31 37 44.6 49.3 55.6 61.2

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Círcul o 1 2 3 4

X

Y

Xi Yi

X i2

3 4 6 8

10 13 20.7 26.5

30 52 124.2 212

5

10

31

310

6

12

37

444

7

14

44.6

624.4

8

16

49.3

788.8

9

18

55.6

1000. 8

10

20

61.2

1.224

9 16 36 64 10 0 14 4 19 6 25 6 32 4 40 0

X´ : 11.1

Y´ : 3 4.83

Tabla 2. Valores encontrados para dar lugar a las ecuaciones de mínimos cuadrados.

70 61.2 55.63 49.3 44.6

60 50 Perímetro

Para posibilitar la determinación de la pendiente y el punto de corte, se emplea el método de mínimos cuadrados. Cuyos datos para la ecuación se postulan en la siguiente tabla:

recta.

40

37 31 26.5 20.7

30 20 13 10

10 0 2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 Diámetro

Gráfico 1. Dispersión de la nube de puntos experimentales para los cuales se sospecha un comportamiento lineal. 70 60 50 Perímetro

Tabla1. Medidas en centímetros de diámetro y perímetro de diez discos.

f(x) = 3 x + 1.63 R² = 1

40 30 20 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Diámetro

Se utilizan gráficas de dispersión para dar paso a la identificación de una posible

Gráfico 2. La recta trazada por mínimos cuadrados (ecuación puesta en la sección Materiales y Equipos).

Al despejar la ecuación del perímetro, es posible inferir que π , resultaría de

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la división diámetro:

del

perímetro

entre

C#

X

Y

p d = π

Diferencia con el valor π ( ≅ )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10 13 20.7 26.5 31 37 44.6 49.3 55.6 61.2

3.33 3.25 3.45 3.31 3.1 3.08 3.18 3.081 3.08 3.06

0.1917 0.1084 0.3084 0.1709 -0.0415 -0.0582 0.0441 -0.0603 -0.0527 -0.0815

el

Tabla 3. Valores de la relación existente entre los datos experimentales obtenidos en función de

variable independiente el diámetro y el perímetro como variable dependiente. Los errores de aplicabilidad estuvieron presentes, posiblemente, en su mayoría, por la forma en que la cuerda rodeaba los círculos dados, ya que se considera como mínima la incertidumbre del instrumento. Existe, precisión y exactitud en los valores presentes, ya que al tener en cuenta los gráficos, la nube de puntos no se encuentra significativamente distante de la recta y la diferencia con el valor teórico de π , dicha desviación solo excede las 0.2 unidades en el caso del círculo tres.

CONCLUSIONES

π

Al analizar todos los datos expuestos previamente a cerca de la relación lineal presente en la medición de los círculos, tomando en cuenta lo expuesto por [ CITATION Lof02 \l 9226 ], quien afirma que al comparar el largo de la cuerda con la que se mide el perímetro y la medida del diámetro, cabe 3.141592… veces en la longitud de la circunferencia. Es descrita, por consiguiente, una relación inherente entre estas dos magnitudes presentes en un círculo, por ello, es factible el plantear la regresión lineal, que al tomar experimentalmente los datos, permite establecer una ecuación de la recta de dicha relación, en donde, en este caso, fue empleada como

 En la toma de datos, es posible establecer la dependencia funcional entre dos variables de diferentes denominaciones de una misma superficie.  En base a la experimentación con distintos círculos de variadas longitudes, fue posible hallar el valor de π .  Teniendo en cuenta la relación lineal, a partir de la hallada ecuación de la recta, es posible encontrar la relación entre el perímetro y diámetro de cualquier círculo.  La ecuación de los mínimos cuadrados es útil para plantear la ecuación de la recta.  A todo círculo que corresponde un determinado diámetro, su perímetro

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constará de las 3.14159... veces dicho diámetro.  Entre más lejos se encuentre la nube de puntos de la recta planteada, se podrá seguir al análisis de que existe menos precisión en la toma de datos, es decir, que la relación de cercanía de la nube de puntos con respecto a la

recta es directamente proporcional a la precisión existente.

Bibliografía

Arentsen. (1985). Luz, egos y Universos. Andrés Bello. Lofret. (2002). El libro de las tablas y las fórmulas. Buenos Aires, Argentina: Gidesa. Romanov. (2012). Relación entre perímetro y diámetro. Retrieved Septiembre 2014, from http://www.buenastareas.com/ensayos/Relacion-Entre-El-Perimetro-y-El/3829503.html Universidad de la Salle . (2014). Guía para prácticas experimentales de física: mecánica. Bogotá....