INIA10 0104a 2602 - Appunti di lezione 26 PDF

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Localizzazione degli autovalori...

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Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°:

Ingegneria Analisi Numerica 26 Localizzazione autovalori

Facoltà di Ingegneria

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LOCALIZZAZIONE DEGLI AUTOVALORI Gli autovalori  di una matrice, come abbiamo già detto nella lezione 25, si determinano calcolando le radici dell’ equazione caratteristica :   −    =  , dove

  −    =   +    − + … +   =    

è un polinomio di grado  nella variabile  detto polinomio caratteristico .

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Quanto appena detto potrebbe suggerirci di determinare gli autovalori quali radici dell’ equazione caratteristica utilizzando i metodi già visti nel Nucleo tematico 4 : Soluzione di equazioni non lineari .

Ma ciò , nella maggior parte delle occasioni, non è conveniente, soprattutto quando la dimensione della matrice è grande.

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Esistono, infatti, altri metodi specifici che risultano, molto più efficienti .

Proprio di tali metodi parleremo in questo nucleo tematico ( Nucleo tematico 5 : Autovalori e Autovettori ).

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La scelta di un metodo rispetto ad un altro dipenderà dalle eventuali proprietà particolari della matrice oggetto di studio, ovvero se essa è una matrice simmetrica, tridiagonale , sparsa, ecc; dalla eventuale necessità di conoscere tutti gli autovalori oppure solo quello più grande; dalla eventuale necessità di conoscere solo gli auto valori, oppure autovalori e relativi autovettori .

Iniziamo con il metodo per localizzare gli autovalori.

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Un criterio semplice per la localizzazione degli autovalori, ovvero l’individuazione delle zone del piano in cui si trovano gli autovalori, è il Teorema di Gerschgorin, il cui nome è dovuto al matematico bielorusso Semyon Aranovich Gerschgorin. La capacità di localizzare gli autovalori è di notevole importanza per la loro approssimazione. Una definizione di basilare importanza nella comprensione di questi teoremi è quella di cerchio di Gerschgorin.

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CERCHIO DI GERSCHGORIN Sia A una matrice di ordine  a coefficienti reali , scrivibile come  =  ;

si consideri la riga i-esima di A , e più precisamente, l' elemento diagonale   e la somma dei valori assoluti degli elementi fuori della diagonale: 

  =    con  = , , … ,  .

=, ≠

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Queste due quantità individuano il sottoinsieme del piano complesso: !  ∶= # $ % & '() *+) |$ −  | ≤  . corrispondente ad un cerchio di raggio    centrato in   , che viene detto i-esimo cerchio di Gerschgorin della matrice .

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Facoltà di Ingegneria PRIMO TEOREMA DI GERSCHGORIN Sia  una matrice come appena descritta. Allora gli autovalori di  sono tutti contenuti nell' unione dei cerchi di

Gerschgorin di  , ognuno con centro in un elemento diagonale di  e raggio uguale alla somma dei valori assoluti degli elementi extradiagonali sulla stessa riga : 

! = / # $ % & , '() *+) |$ − | ≤   . =

dove   = ∑=,   . ≠

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Facoltà di Ingegneria Osservazione. Gli autovalori reali della matrice  appartengono all’ intersezione tra la regione descritta dal teorema di Gerschgorin e l’ asse reale.

La regione determinata dal teorema di Gerschgorin è piuttosto grande ma il vantaggio è che è facile da determinare e spesso fornisce informazioni importanti.

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Facoltà di Ingegneria Tale regione può essere ridotta sfruttando il fatto che la matrice trasposta  1 , ha gli stessi autovalori della matrice  ( vedi lezione 25 ). Quindi, il teorema di Gerschgorin può essere applicato anche alla matrice trasposta  1 . Da ciò risulta che gli autovalori in questione appartengono anche all’ unione dei cerchi : 2 = # $ % & , '() *+) |$ −   | ≤  . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]

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Facoltà di Ingegneria e, quindi, gli autovalori di  appartengono all’ insieme : 3



/

 = ,… ,

! 4 5 3



/

 = ,… ,

2 4

SECONDO TEOREMA DI GERSCHGORIN Se l’ unione 6 di 7 cerchi di Gerschgorin è disgiunta dall’ unione 6 dei rimanenti  − 7 cerchi , allora 7 autovalori appartengono a 6 e  − 7 autovalori appartengono a 6 . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]

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Quanto abbiamo illustrato in questa lezione teorica verrà esemplificato nelle attività di studio che seguono in modo da chiarirne ulteriormente gli aspetti principali.

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