Intégration, valeur moyenne d\'une fonction sur un intervalle, maths PDF

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valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle,...

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V- Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle Introduction : On cherche à déterminer la valeur moyenne d’une fonction sur une intervalle. L’exemple ci-contre : f est définie sur l’intervalle [-1 ; 4]

Conclusion de l’activité d’introduction !

On a donc l’égalité 𝜇(𝑏 − 𝑎) = ∫" 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ou encore 𝜇 =

# ! ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 (!%") "

Définition((( Soit%𝑓%une%fonction%continue%sur%un%intervalle "[𝑎"; 𝑏],"%on%appelle%valeur% " ! moyenne%de%𝑓"sur%[𝑎"; 𝑏]%"le%nombre%réel%𝜇"tel%que%:%𝜇 = ∫$ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 % "#$

Interprétation graphique dans le cas d’une fonction continue positive Lorsque 𝑓,est une fonction positive, on peut dire que : L’aire sous la courbe de la fonction 𝑓,entre 𝑎,et b est donc égale à l’aire du rectangle ABCD de largeur 𝑏,– ,𝑎 et de hauteur 𝜇.

Application directe : Soit%𝑓%la%fonction%définie%sur%ℝ%par%𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 % − 4𝑥 − 5%.% Déterminer%la%valeur%moyenne%de%la%fonction% 𝑓"sur%[−1%;%5]. %

!!

Méthode( 1-%On%détermine%𝐹%une%primitive%de%𝑓. % " 2-%On%calcule%∫$ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 "à%l’aide%de%𝐹. ( 3-%On%divise%le%résultat%par%(b-a)%pour% obtenir%la%valeur%moyenne%de% 𝑓%sur%[𝑎; 𝑏].(

Applications dans le livre : Exercices 86.87.89 p.156

Chap 8 – Intégration – Page 6...