Introduccion a los vectores en álgebra lineal PDF

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En este documento se detalla el punto de inicio de los vectores...

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ALGEBRA LINEAL

JOSE RODOLFO MOLINA UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR ALGEBRA LINEAL

VECTORES El vector es una convención usada en física para dar a conocer la medida de una longitud. Para que un vector quede definido se tiene que dar:   

la cantidad que expresa la magnitud medida además la dirección el sentido de ella.

Por ejemplo: Para dar a conocer una temperatura basta con dar el número que la expresa seguido de la unidad de comparación. Así, con definir que un determinado punto de una habitación está veinte grados centígrados no cabe ya ninguna pregunta acerca de esta magnitud. La temperatura no es un vector. Sin embargo, si se da el valor de la resistencia mecánica de una pieza, se nos puede preguntar en qué dirección y, una vez conocida ésta, en qué sentido, y si es a tracción o a compresión. Así pues, hay magnitudes que para estar completamente definidas precisan que se dé información sobre:   

su medida, su dirección su sentido.

A estas magnitudes se les llama vectoriales y a las que no lo precisan, escalares. Ejemplos de las primeras (vectoriales) lo son:   

la fuerza, la velocidad, la posición,

y de los segundos (escalares) lo son:  

la temperatura, la viscosidad

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

la masa específica.

La notación para representar un vector es:  

una flecha en la dirección considerada, con la punta dirigida en el sentido a indicar de una longitud proporcional a la cantidad que expresa la magnitud; a esta longitud se la llama intensidad o módulo del vector.

La figura 1 representa los vectores que expresan la fuerza que un cuerpo de 5 kilogramos ejerce sobre el suelo (a) y la velocidad de la masa de un péndulo (b). En el primer caso, posiblemente a la vista de la figura se interpretara perfectamente el sistema; en el segundo, si no se representa el vector, no sabríamos si el péndulo asciende o desciende. Los vectores se pueden sumar o restar entre sí, y multiplicar y dividir por un escalar. La regla para sumar un par de vectores ( fig. 2) consiste en trazar un vector a partir del extremo del otro, y entonces el vector suma tiene su origen libre y su extremo en el extremo libre. Esta regla es generalizable a la suma de varios vectores, colocándolos uno a continuación del otro haciendo coincidir el origen de uno con el extremo del anterior. ADICION Para la suma, tomados dos a dos, se utiliza generalmente la regla del paralelogramo que consiste en disponer los dos vectores con el origen común y trazar desde el extremo de uno una recta paralela al otro y viceversa; la diagonal del paralelogramo construido que parte del origen común es la suma buscada. SUSTRACCION Para la sustracción de vectores se suma al vector minuendo el opuesto del vector sustraendo, que es un vector de los mismos dirección y módulo pero de sentido contrario. PRODUCTO El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyas dirección y sentido se conservan y que tiene por módulo el producto del módulo del vector original por el escalar (fig. 3). Los vectores pueden clasificarse en:   

libres, deslizantes fijos.

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Según sea el carácter de la magnitud medida, el vector que la expresa sería de uno u otro tipo. La velocidad de un punto de un disco que gira es un vector fijo –ligado– al punto; la fuerza con que un cable tira de una vagoneta es un vector deslizante, pues es indiferente en qué punto del cable se considere; el vector que representa la aceleración con que la Tierra mueve los cuerpos hacia sí es un vector libre, pues puede posicionarse en un punto cualquiera. Las rotaciones también pueden ser representadas por vectores. El módulo de un vector que representa una rotación es proporcional al ángulo girado o a la velocidad de rotación, según sea el caso; su dirección es perpendicular al plano de giro y su sentido el de avance de un tornillo de paso "dextrorsum" (a derecha) que girará del mismo modo que la magnitud medida (fig. 4). El vector deslizante puede adoptar como origen cualquier punto que esté sobre su misma dirección. Por fin, el vector fijo es aquel que está asociado a un origen y no puede adoptar otro.

Así tenemos que las fuerzas son magnitudes vectoriales. Por tanto para determinar una fuerza se necesitarán cuatro elementos:    

su módulo que se llama intensidad, dirección sentido el punto donde se ejerce su acción que se llama punto de aplicación.

UNIDADES En el S.I. la unidad de fuerza es el newton (N). Se define a partir del efecto dinámico de las fuerzas ( ver DINÁMICA). En la física aplicada se utiliza como la fuerza con que la Tierra atrae en París al Kilogramo masa. MOMENTO DE UNA FUERZA Se llama momento de una fuerza respecto a un punto al producto de la fuerza por la distancia que separa el punto de la recta de aplicación de ella ( fig. 5). El momento es una magnitud vectorial cuyas dirección y sentido están definidas según la regla del tornillo que gira en el sentido de la fuerza. El punto de aplicación de los momentos es el punto respecto al que se toman. También se define el momento de una fuerza respecto a un eje ( fig. 6), si ambas son perpendiculares, como el producto de su módulo por la distancia de su recta soporte respecto al eje que se considera.

ALGEBRA LINEAL Si la recta que define la dirección de la fuerza es paralela al eje, no produce momento respecto a él. En el siglo XVII, Galileo introdujo el sistema de descomposición de una fuerza en sus componentes, lo que le permitió analizar el movimiento de los proyectiles, el movimiento en un plano inclinado, y el movimiento del péndulo.

REDUCCIÓN DE FUERZAS Como las fuerzas son vectores, se les puede aplicar lo dicho para la adición y sustracción. De hecho cualquier sistema de fuerzas coplanares puede reducirse a una sola fuerza igual a la suma vectorial de todas ellas y situada sobre una recta tal que produzca un momento igual a la suma de los momentos El producto escalar de a por b de cada una de ellas. es un número c, de valor Si tenemos un sistema de fuerzas no paralelas ( fig. 7) puede hallarse su resultante sumándolas dos a dos mediante la regla del paralelogramo y trasladándolos a un origen común para ser sumadas en él. Hallemos la resultante de los tres vectores v 1, v2 y v3.

a.b.cos 0; mientras que el producto vectorial de a por b es un nuevo vector perpendicular a los dos que mide a.b.sen 0, y su sentido viene determinado por la regla de tornillo al girar de a hacia b.

Para ello trasladamos los vectores v 1 y v2 al punto de intersección de sus rectas soporte y allí los sumamos. Con el vector resultante v 12 y el v3 realizamos la misma operación que nos da ya la resultante R. Si las fuerzas constituyentes del sistema son paralelas, no es posible este método por no ser asequibles los puntos de intersección de las rectas soporte. En este caso debe recurrirse a otros métodos gráficos, o bien a métodos analíticos. Tomemos ahora un sistema de fuerzas paralelas como el de la figura 8 para ilustrar el método analítico. Se trata simplemente de plantear la suma de los momentos de todas las fuerzas para hallar el momento total y con él, la distancia a que debe encontrarse la fuerza resultante para que produzca el mismo momento. El punto respecto al que se toman los momentos es arbitrario, y se elige el que parezca más conveniente. Sean las fuerzas f1, f2, f3 y f4 situadas a las distancias x 1, x2, x3 y x4 del punto elegido. La fuerza resultante será paralela a todas ellas y de módulo igual a la suma de los módulos: FR = f1 + f2 + f3 + f4. El momento total será T = x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 + x4 f4.

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La fuerza resultante por su brazo debe dar el mismo momento; luego, la distancia a que se encuentre es:

El caso de fuerzas paralelas, aunque sea un caso particular, tiene gran importancia por la multitud de vece s que se presenta cotidianamente. Para que un sistema de fuerzas esté en equilibrio debe cumplirse que la resultante de las fuerzas sea nula, y que también lo sea la resultante de los momentos respecto a un punto cualquiera.

Existe un método general, gráfico, que resuelve el problema de hallar la resultante de un sistema de fuerzas paralelas o de cualquier otro en que las intersecciones de las rectas soporte se produjera fuera del papel de trabajo. Este método se llama método del polígono funicular. En él se calcula gráficamente, por separado, el valor de la resultante y su recta de aplicación. Para su desarrollo tomemos un sistema de cuatro fuerzas cualesquiera (consideremos la figura 9). Tomemos las cuatro fuerzas y las llevamos aparte para sumarlas una detrás de otra. Así se obtiene ya la resultante con sus módulos, dirección y sentido; ahora falta hallar de ella un punto de paso para satisfacer la condición de igualdad de los momentos. Una vez trazada esta figura, se elige un punto arbitrario en el plano y desde él se trazan rayos a los orígenes y extremos de los vectores. Estos rayos son OA, OB, OC, OD y OE. A continuación se trazan paralelas a estos rayos de modo que a un rayo definido por el extremo de un vector y el origen de otro le corresponda una paralela que corte a las rectas soporte de ambos. Toda fuerza aplicada según una dirección que pase por el centro de gravedad de un cuerpo producirá un movimiento rectilíneo de ese cuerpo; si la dirección de la fuerza no pasa por el centro de gravedad, se superpondrá un movimiento de rotación.

Así, el rayo OB está definido por el extremo de f 1 y el origen de f2, luego, su paralela deberá trazarse de modo que corte a las rectas soporte de f 1 y f2; esta recta es la b.

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A partir del punto en donde corta a la recta soporte de f 2 debe trazarse una recta paralela al rayo definido por f 2 y f3 hasta cortar a la recta soporte de esta última. De este modo trazamos la paralela a OC. A continuación, y desde este último punto de corte, se traza una nueva recta d, paralela al rayo OD hasta cortar la recta de f 4. Entonces nos quedan todavía dos rayos, CA y OE, a los que no se les ha trazado paralelas; CA está definido por la primera fuerza y la resultante y CE lo está por la última y también la resultante. Las paralelas trazadas respectivamente desde donde la recta b intersecta con la soporte de f1 y de la intersección de d con la soporte de f 4. Estas dos rectas así trazadas, a y e, intersectan entre sí en un punto que se llama de paso de la recta soporte de la resultante del sistema....