Kurzskript - Zusammenfassung Algebra und Zahlentheorie PDF

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Wintersemester (Prof. Schlage-Puchta)...

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1. Gruppen Definition 1.1. Eine Gruppe (G, ·) ist eine Menge mit einer Verkn¨ upfung ·, so dass gilt: (1) Es gibt ein Element e ∈ G, so dass e · g = g · e = g f¨ur alle g ∈ G gilt. (2) F¨ ur jedes g ∈ G gibt es ein Element h ∈ G mit gh = hg = 1. (3) F¨ ur alle g, h, k ∈ G gilt g · (h · k) = (g · h) · k . Beispiele: (Z, +), (Q \ {0}, ·), die invertierbaren Matrizen bez¨ uglich Matrizenprodukt, Permutationen einer Menge bez¨ uglich hintereinanderausf¨ uhrung. F¨ ur das Element h mit gh = e schreiben wir in der Regel g −1 und bezeichnen es als das Inverse von g. Das Element e mit eg = 1 bezeichnen wir als das neutrale Element, Einselement oder kurz Eins und schreiben oft auch 1 daf¨ ur. Satz 1.2. Sei G eine Gruppe. (1) Das neutrale Element und das Inverse sind eindeutig. (2) Gibt es Elemente g, h ∈ G mit gh = h, dann ist g das neutrale Element. (3) Sind g, h, k ∈ G, und gilt gk = hk, dann folgt g = h. Definition 1.3. Sei (G, ·) eine Gruppe. Eine Teilmenge U ⊆ G heißt Untergruppe, falls (U, ·) eine Gruppe ist. Eine Abbildung ϕ : G → H heißt Homomorphismus, falls ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) f¨ur alle g, h ∈ G gilt. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. Eine Teilmenge U ist eine Untergruppe genau dann, wenn sie das neutrale Element enth¨alt und bez¨ uglich Multiplikation und Inversen abgeschlossen ist. Beispiele f¨ ur Untergruppen: {1} und G sind immer Untergruppen einer Gruppe G, diese heißen deshalb auch triviale Untergruppen. Die Untergruppen con (Z, +) sind genau die Mengen mZ = {mx : x ∈ Z}. Die Menge aller Permutationen, die einen Punkt fest halten, ist eine Untergruppe aller Permutationen. Die invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen bilden eine Untergruppe aller invertierbaren Matrizen. Beispiele f¨ ur Homomorphismen: Ist G eine Gruppe, g ∈ G, dann ist n 7→ g n ein Homomorphismus von (Z, +) nach G. Sind V, W Vektorr¨ aume, dann ist jede lineare Abbildung ϕ : V → W ein Homomorphismus von (V, +), nach (W, +). Die Determinante ist ein Homomorphismus von den invertierbaren n × n-Matrizen u ¨ber einem K¨orper k nach (k \ {0}, ·). Definition 1.4. Sei G eine Gruppe, U eine Untergruppe. Dann ist G/U = {gU : g ∈ G} die Menge der Linksnebenklassen von G bez¨ uglich U , U \ G = {U g : g ∈ G} die Menge der Rechtsnebenklassen von G bez¨ uglich U . Definition 1.5. Eine Untergruppe heißt normal, wenn Rechtsnebenklassen Linksnebenklassen sind. F¨ ur N normal in G schreiben wir N ⊳ G. Satz 1.6. Ist ϕ : G → H ein Homomorphismus, so ist ker ϕ ⊳ G. Ist umgekehrt N ⊳ G, dann ist G/N eine Gruppe, und g 7→ gN ein Homomorphismus mit Kern N. Satz 1.7. Ist G eine endliche Gruppe mit Untergruppe U , so ist |G| = (G : U )|U |. Insbesondere teilt die Ordnung einer Untergruppe die Ordnung der Gruppe. 1

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Satz 1.8. Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe, N ein Normalteiler. ∼ H N/N. (1) H ∩ N ist normal in H , und es gilt H/(H ∩ N ) = ∼ G/H . (2) Ist H normal in G, und gilt H ≥ N , dann ist (G/N )/(H/N ) =

Definition 1.9. Eine Gruppe G operiert auf einer Menge X von rechts, wenn jedem g ∈ G und jedem x ∈ X ein g(x) zugeordnet wird, so dass (gh)(x) = g(h(x)).

Beispiele: Sym(X) operiert auf X, die Gruppe der invertierbaren Matrizen n×nMatrizen u ¨ber einem K¨orper k operiert auf k n , die Kongruenzabbildungen operieren auf der Ebene.

Satz 1.10. Zu jeder Gruppe G gibt es eine Menge X, so dass G isomorph zu einer Untergruppe von Sym(X) ist. F¨ ur eine Gruppe G und eine Teilmenge A ⊆ G bezeichnet CG (A) = {g ∈ G : ga = ag} den Zentralisator von A in G. Besteht A aus einem Element, schreibt man CG (a) statt CG ({a}). Das Zentrum einer Gruppe ist Z(G) = {g ∈ G : ∀h ∈ G : gh = hg}. Satz 1.11. Ist p eine Primzahl, n eine nat¨urliche Zahl, und G eine Gruppe mit |G| = pn , dann ist Z(G) > 1.

Ist G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl, und pk die maximale p-Potenz, die |G| teilt, dann heißt eine Untergruppe S von G mit |S| = pk eine p-Sylowgruppe von G.

Satz 1.12 (Sylow). Sei G eine endliche Gruppe. (1) G besitzt p-Sylowgruppen f¨ ur alle Primteiler p von |G|. (2) Alle p-Sylowgruppen sind konjugiert. (3) Jede Untergruppe von G, deren Ordnung eine Potenz von p ist, liegt in einer p-Sylowgruppe von G. (4) Die Anzahl der p-Sylowgruppen von G teilt |G| und ist ≡ 1 (mod p). Definition 1.13. Eine Gruppe G heißt einfach, falls sie außer 1 und G keinen Normalteiler besitzt. Satz 1.14. F¨ ur n ≥ 5 ist An einfach.

Satz 1.15. Ist N ein Normalteiler von Sln (C), dann ist N entweder eine Unterguppe der Skalarmatrizen, oder ganz Sln (C). Satz 1.16. Sei n 6= 6. Ist ϕ : Sn → Sn ein Isomorphismus, dann gibt es ein π ∈ Sn , so dass ϕ(σ) = σ π f¨ur alle σ .

Definition 1.17. Sei G eine Gruppe, N, M seien Normalteiler mit N M = G, N ∩ M = 1. Dann heißt G inneres direktes Produkt von N und M . Ist G eine Gruppe, N ein Normalteiler, U eine Untergruppe, und gilt U N = G, U ∩ N = 1, dann ist G ein semidirektes Produkt von N mit U . Wir schreiben dann G = U ⋉ N , obwohl die rechte Seite durch U und N nicht eindeutig definiert ist. ∼ N ×M. Satz 1.18. Ist G ein inneres direktes Produkt von N und M , dann ist G = Satz 1.19. Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann gibt es nat¨ urliche Zahlen n1 , . . . , nk und r, so dass ∼ Z/n1 Z × Z/n2 Z × · · · × Z/nk × Zr . G=

Dabei gilt n1 |n2 | . . . |nk .

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Satz 1.20. Sei A ∈ Zk×ℓ eine Matrix. Dann gibt es S ∈ Zk×k , T ∈ Zℓ×ℓ , S, T invertierbar u ¨ber Z, so dass SAT = (d ij )k,ℓ i,j=1 , wobei d ij = 0, falls i 6= j, und d 11|d 22 | . . . |d kk . 2. Ringe Definition 2.1. Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Operationen +, · und einem ausgezeichneten Element 0, so dass gilt: (1) F¨ ur alle r ∈ R gilt r + 0 = r; (2) F¨ ur alle r ∈ R gibt es ein s ∈ R mit r + s = 0; (3) F¨ ur alle r, s ∈ R gilt r + s = s + r; (4) F¨ ur alle r, s, t ∈ R gile r + (s + t) = (r + s) + t; (5) F¨ ur alle r, s, t ∈ R gilt r · (s · t) = (r · s) · t; (6) F¨ ur alle r, s, t ∈ R gilt r · (s + t) = r · s + r · t und (r + s) · t = r · t + s · t. Gilt außerdem r · s = s · r f¨ ur alle r, s ∈ R, so heißt der Ring kommutativ. Gibt es ein Element 1 ∈ R, so dass f¨ur alle r ∈ R die Gleichung 1 · r = r · 1 = r gilt, dann heißt R Ring mit Eins. Definition 2.2. Seien R, S Ringe. Eine Abbildung ϕ : R → S heißt Homomorphismus, falls f¨ ur alle r, r′ ∈ R die Gleihcungen ϕ(r + r′ ) = ϕ(r) + ϕ(r′ ) und ′ ϕ(rr ) = ϕ(r)ϕ(r′ ) gelten. Die Menge ker ϕ = {r ∈ R : ϕ(r) = 0} heißt Kern von ϕ. Satz 2.3. Ist ϕ : R → S ein Homomorphismus, so ist ker ϕ ein Ideal von R, ∼ R/ ker ϕ. Ist umgekehrt I ein Ideal von R, so ist die Abbildung und es gilt imϕ = ϕ : R → R/I, ϕ(r) = [r] ein Homomorphismus mit Kern I. Satz 2.4. F¨ ur n, m ∈ Z existieren ganze Zahlen x, y mit xn + ym = ggT(n, m). Satz 2.5. Ist p ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl, die außer 1 und p keine Teiler hat, dann gilt f¨ ur alle x, y ∈ Z, dass aus p|xy stets p|x oder p|y folgt. Satz 2.6. Jede nat¨ urliche Zahl n l¨asst sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und dieses Produkt ist bis auf die Riehenfolge der Faktoren eindeutig. √ √ Beispiel: Die eindeutige in Z[ −5] = {a + b −5 : a, b ∈ Z} √ Primfaktorzerlegung √ ist falsch: 2 · 3 = (1 + −5)(1 − −5). Definition 2.7. Ein Ring heißt euklidisch, falls es eine Funktion f : R → N gibt, so dass f¨ ur alle n, q ∈ R, q 6= 0 Elemente t, r ∈ R mit n = qt + r und f (r) < f (q) gibt, und f (r) = 0 ⇔ r = 0 gilt. Beispiel: Z, Z[i], k[X] mit einem beliebigen K¨orper k sind euklidische Ringe. Definition 2.8. Ist A ⊆ R eine Menge, so bezeichnet (A) das kleinste Ideal I von R, das A enth¨alt und sagt, dass I von A (als Ideal) erzeugt wird. Ist r ∈ R, schreibt man (r) statt ({r}). Ein Ideal, dass von einem Element erzeugt wird, heißt Hauptideal. Ist jedes Ideal ein Hauptideal, heißt R Hauptidealring. Beispiel: Z ist ein Hauptidealring, Z[X] ist kein Hauptidealring. Definition 2.9. Ein Ring heißt ZPE-Ring, falls sich jedes Element eindeutig in Primelemente zerlegen l¨ asst. Satz 2.10. Sei R ein kommutativer Ring mit 1.

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(1) Ist R euklidisch, dann ist R ein Hauptidealring. (2) Ist R ein Hauptidealring, dann ist R ein ZPE-Ring. Definition 2.11. Ein Element r eines Ringes R heißt Nullteiler, falls r 6= 0, und es ein s 6= 0 mit rs = 0 gibt. Ein Ring heißt nullteilerfrei, falls er keine Nullteiler enth¨ alt. Ein Element r eines Ringes mit 1 heißt Einheit, falls es s, s′ ∈ R mit rs = s′ r = 1 gibt. Satz 2.12. Ist R ein nullteilerfreier kommutativer ZPE-Ring, so ist auch R[X] ein nullteilerfreier kommutativer ZPE-Ring. Satz 2.13 (Indische Formeln). Sind x, y, z ganze, paarweise teilerfremde Zahlen, die die Gleichung x2 +y2 = z 2 erf¨ullen, so ist genau eine der Zahlen x, y gerade. Ist y gerade, so gibt es teilerfremde Zahlen u, v, so dass x = u2 −v2 , y = 2uv, z = u2 +v2 gilt. Satz 2.14. Die Gleichung x4 + y4 = z 2 hat keine L¨ osung in ganzen Zahlen mit xy 6= 0. Satz 2.15 (Kleiner Satz von Fermat). Ist p eine Primzahl, a nicht durch p teilbar, so gilt ap−1 ≡ 1 (mod p). Definition 2.16. Ein nullteilerfreier kommutativer Ring heißt Integrit¨atsbereich. Satz 2.17. Ist R ein Integrit¨atsbereich, so gibt es einen K¨orper k, dessen Elemente genau die L¨ osungen der Gleichungen ax = b mit a, b ∈ R, a 6= 0 sind. Dieser Ring heißt Quotientenk¨orper von R. Definition 2.18. Sei R ein Ring, I ein Ideal von R. I heißt prim, falls f¨ur r, s ∈ R mit rs ∈ I stets r ∈ I oder s ∈ I gilt. I heißt maximal, falls I 6= R, und f¨ ur alle J ⊳ R mit I ⊆ J ⊆ R entweder J = I oder J = R gilt. Satz 2.19. Sei R ein kommutativer Ring, I ein Ideal. (1) I ist prim genau dann, wenn R/I ein Integrit¨atsbereich ist. (2) I ist maximal genau dann, wenn R/I ein K¨orper ist. Korollar 2.20. Ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ist prim....