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SECCIÓN ÁUREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MÚSICA

YOLANDA TOLEDO AGÜERO

“Esta es la tradición del civilizado- del hombre de la geometría-, del hombre de la armonía, porque ha comprendido(porque sabe) que si lo fijo es la ley, la vida es movimiento (el desequilibrio que quiere equilibrarse –la polarización-, la identidad de los contrarios; ya lo hemos estudiado), y sabe también que si la idea es el padre (lo abstracto, el uno, la Razón), la madre de todo es el Alma (el dos, lo que gesta) y que la obra (el tres, lo real, lo realizado) es lo que se manifiesta como cosa. Y esa idea del hombre, tanto la realiza un templo como una vida(porque todo es conjunto ordenado; idea que se llamó clásica); es Egipto, Grecia o Bizancio. Y otro arte que no esté en esta elevación y esta profundidad y en este equilibrio no creo que merece el nombre de tal, como tampoco un vivir desorbitado, porque vivir es cuando se vive en eso universal." Joaquín Torres García, Agosto,1934.

1

INDICE I.

PRESENTACIÓN

II.

SECCIÓN ÁUREA II.1

Antecedentes

II.2

Definición y cuestiones geométricas

II.3.

Polígonos regulares II.3.1.

II.4.

Poliedros regulares II.4.1

III.

IV.

Redes en el plano Redes en el espacio

II.5.

Sucesión de Fibonacci

II.6.

Rectángulo áureo

II.7.

Espirales áureas

SECCIÓN ÁUREA EN MÚSICA III.1.

Armonía Pitagórica: “todo es número”

III.2.

Diapasón, diapente, datésaron y sección áurea

III.3.

Música y demás artes

SECCIÓN ÁUREA EN ARTE IV.1.

Arte indígena americano IV.1.1.

IV.2

Artesanía

iv.1.2. Cerámica Arte oriental IV.2.1.

Artesanía

IV.2.2.

Cerámica

IV.2.3.

Escultura

IV.3.

Arte egipcio

IV.4.

Arte griego IV.4.1.

Artesanía y cerámica

IV.4.2.

Escultura

IV.5.

Arte romano

IV.6.

Arte islámico

2

IV.7.

Arte gótico IV.7.1.

IV.8.

IV.9.

Arte renacentista IV.8.1.

Pintura italiana del “Quattrocento”

IV.8.2.

Pintura italiana del “Cinquecento”

IV.8.3.

Pintura renacentista en Europa

IV.8.4.

Pintura italiana manierista

Arte barroco IV.9.1.

Pintura barroca francesa

IV.9.2.

Pintura barroca holandesa

IV.9.3.

Pintura barroca española

IV.10

Arte en el Siglo XVIII

IV.11.

Arte en el Siglo XIX

IV.12.

IV.11.1.

Clasicismo

IV.11.2.

Movimientos impresionistas

Arte en el Siglo XX IV.12.1.

Cubismo

IV.12.2.

Abstracción geométrica

IV.12.3 IV.13 V.

Pintura

•

Orfismo

•

Neoplasticismo

•

Constructivismo ruso

Arte moderno hispanoamericano

Arte en Castilla-La Mancha

SECCIÓN ÁUREA EN ARQUITECTURA V.1.

Arquitectura 3500 a.C.

V.2.

Arquitectura oriental V.2.1.

Zigurats

V.2.2.

Arquitectura budista

V.2.3.

Otras construcciones orientales

V.3.

Arquitectura egipcia

V.4.

Arquitectura indígena americana

V.5.

Arquitectura antigua: Grecia y Roma V.5.1.

Armonías humanas

3

V.5.2. V.6.

Arquitectura gótica

V.7.

Arquitectura renacentista

V.8.

V.7.1.

Arquitectura renacentista

V.7.2.

Manierismo italiano

V.7.3.

Arquitectura renacentista española

Arquitectura rococó V.8.1.

V.9.

VI.

Construcciones arquitectónicas

Rococó francés

Arquitectura en el siglo XX V.9.1.

Gaudí

V.9.2.

Le Corbusier

OTROS VI.1. Sección áurea en la naturaleza VI.2. Sección áurea en la UCLM

VII. BIBLIOGRAFÍA

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Yolanda Toledo Agüero

I.PRESENTACIÓN

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El tema que voy a desarrollar a continuación es amplio debido a su universalidad y su aplicación a un gran número de campos. Aun así, he intentado reunir todos los aspectos fundamentales de esta proporción, haciendo un estudio de sus aplicaciones más directas y significativas en las artes. Soy consciente, no obstante,

que no he conseguido mas que

una

aproximación, ya que un tema que era en principio matemático-geométrico se convirtió a medida que redactaba el trabajo en un tema con un trasfondo incierto. Descubrí en la sección áurea uno de los eslabones que unen el mundo de las matemáticas, con el hombre, la naturaleza y las artes. Por eso, muchas veces, he creído necesario hacer comentarios e incisos en temas, que si a simple vista no son puramente matemáticos, me parecían necesarios para la comprensión total del mundo que envuelve la sección áurea. Me parecía que esta esencia la recogía la cita con la que comienzo el trabajo me parecía que recogía esta esencia. Muchos autores

apoyan estas teorías y otros tantos

no ven en ellas sino

casualidad y coincidencia, yo me he limitado a exponerlas, pero la realidad es que hay demasiadas cosas en el mundo (flores, galaxias, peces, conchas de mar, insectos, hombres...) que poseen un crecimiento armónico basado en una proporción tan rebuscada. Muchos de los estudios de las obras de arte que he realizado se basan en otros tantos, hechos por otros autores o por el creador mismo de la obra; donde he hecho comprobación de que la sección áurea se aplicaba de una forma consciente, en otros casos los análisis de las obras se hacen sin saber muy bien si la aplicación de esta regla era un acto consciente del artista o bien pura intuición, pero no por esto he creído menos conveniente pararme sobre ellas, sino que por el contrario, me parece un hecho a resaltar que el hombre se exprese a sí mismo y su belleza mediante leyes geométricas cuando lo podrían hacer de muchas otras formas. Esto es muestra de la especial sensibilidad del hombre hacia esta proporción.

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II.SECCIÓN ÁUREA

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El origen exacto del término

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sección áurea es bastante incierto.

Generalmente se sitúa en Alemania, en la primera mitad del S. XIX. Muchos han sido los artistas, humanistas y matemáticos que lo han tratado, aunque bajo distinto sobrenombre y con distinta disposición. Otros nombres que recibe son sección divina, sección de oro, proporción divina, proporción dorada, canon áureo, regla de oro o número de oro. Sección áurea es simplemente una proporción concreta. Esta proporción ha desempeñado un importante papel en los intentos de encontrar una explicación matemática a la belleza,

de reducir ésta a un número,

de

encontrar “ la cifra ideal ". De esta proporción se hablaba ya desde muy antiguo, los egipcios la descubrieron buscando medidas que les permitieran dividir la tierra de forma exacta. De Egipto pasó a Grecia y de allí a Roma. Pitágoras (569 a.C.) escogió como símbolo para su Escuela la estrella pentagonal, figura geométrica que muestra en todas sus relaciones la sección áurea y se cree que a partir de esta figura llegaron a la noción de inconmensurabilidad y

al

conocimiento de los números inconmensurables, tales como el que ahora nos ocupa. Platón (428-347 a.C.) hace referencia a ella en el Timeo y dice “es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una ligazón entre ellas que las ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo...”. Euclides (450-380 a. C.), matemático griego, en su obra principal Elementos, extenso tratado de matemáticas sobre geometría plana, proporciones, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio, nos revela la primera fuente documental importante sobre esta sección, su cálculo y trazado geométrico. Más tarde, Vitruvio, arquitecto romano, vuelve a tratarla en sus Diez libros de arquitectura. En el periodo renacentista existen numerosos autores que retoman este canon. El monje Franciscano Luca Pacioli (1445-1514) la denominaba "divina proporción" y escribe todo un tratado (De Divina Proportione), sobre sus propiedades y proporciones, del que hablaremos más tarde. Este tratado se apoyaba en las ideas de Piero della Francesca(1420-1492), quien había expuesto en De Abaco, manual de matemáticas para comerciantes, el cálculo

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de proporciones. Otros artistas como Leonardo da Vinci (1452-1519) o Durero (1417-1528) hicieron especial hincapié en la relación del número áureo y las proporciones humanas y elogiaron la apariencia de armonía y equilibrio que presentan las obras creadas a partir e dicha proporción. Andrea Palladio (1508-1580), arquitecto italiano, estaba convencido de que las escalas musicales -relacionadas con la sección áurea como veremos más tarde- han de usarse como cánones de diseño arquitectónico. Uno de los últimos renacentistas que celebraron sus virtudes fue Kepler (1517-1630), quien afirmaba: “hay dos tesoros en la geometría... uno el teorema de Pitágoras y otro la división proporcional... una joya”. 1 Después esta regla divina cayó en el olvido hasta el S.XIX. En este periodo vuelve a ser puesta de relieve como principio morfológico por el alemán Zeysing, quien en 1855 afirma en su Aestetische Forschungen: “Para que un todo, dividido en partes desiguales, parezca hermoso, desde el punto de vista de la forma, debe haber entre la parte menor y la mayor, la misma razón que entre la mayor y el todo”.2 En este mismo siglo, pintores como Seurat (18591891) o Cézanne (1839-1906) volvieron a buscar la armonía y la belleza en el arte por medio de estrictas reglas geométricas, entre ellas, la regla áurea. En la arquitectura, destacamos sin duda a Le Corbusier (1887-1965) que en su empeño de considerar a la naturaleza como encarnación de todo lo verdadero, quiere traducir las leyes que la rigen en proporciones geométricas simples y tomarlas como cánones de diseño universal, haciendo así que toda obra creada por el hombre, refleje la naturaleza misma de éste. Hoy en día son muchos los artistas que usa esta proporción para estructurar sus obras, ya sea de forma consciente e inconscientemente, debido al bagaje cultural de siglos.

1

KEPLER J.: El secreto del universo, Ed. Alianza, Madrid, 1992. p 142 Citado en GHYKA M. C.: Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Ed. Poseidón, Barcelona, 1983. p 38 2

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La sección áurea del latín sectio aurea es una proporción que aparece entre los segmentos de una recta al dividir ésta en media y extrema razón. Una recta AB queda dividida por un punto F en otros dos segmentos (AF y FB) de tal forma que el segmento mayor es al menor, como el todo es al mayor.

Tan solo existe un punto F que haga posible esta relación entre los segmentos y verifique la proporción podemos escribir como

AF /FB = AB /AF,

que también

AF /FB = (AF+FB) /AF.

Si hacemos AF = x y FB =1, tenemos:

x2 = x +1 x2 − x −1= 0 x=

1±

5 2

Eligiendo la solución positiva tenemos:

x = + ( 5 + 1) / 2 = 1, 6180339885 ...

Éste es El Número de Oro, que normalmente designamos con la letra griega Φ. Φ. Su característica principal es la inconmensurabilidad, es decir, no se puede expresar como proporción de dos enteros, es irracional. El periodo de

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este numero es infinito y sus cifras decimales no se repiten periódicamente. Este número tiene propiedades únicas, algunas de ellas las veremos a continuación. De las expresiones anteriores tenemos:

x=Φ

Φ = 1+ Φ

Φ 2 − Φ −1 = 0

Φ = 1 + 1 + 1 + Φ ...

Φ = Φ +1

Φ= lim 1 + 1 + 1 + 1 + ...

2

Podemos también obtener otra expresión del número de oro, dividiendo por Φ los dos miembros de la igualdad:

Φ2 = Φ +1 Φ = 1+ 1 Φ

sustituyendo de forma reiterada Φ por su valor, tenemos:

1

1

= 1 + ... 1 1+ 1+ Φ 1 Φ = 1 + lim 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 + ... Φ = 1+

1 1+ Φ

= 1+

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por lo que: 1 = lim Φ 1+

1 1 1+

1 1+ ...

Estos desarrollos del número Φ en fracción continua se conocen desde antiguo, pero la expresión del límite de la raíz cuadrada resulta de un teorema publicado en 1917 en la Universidad de Oklahoma por Nathan Altshiller-Court, como indica Matila en su libro Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Pasemos ahora a ver la construcción geométrica de esta proporción de oro. Existen dos formas básicas de calcular la sección áurea: 1) En la primera se nos plantea la división de un segmento en media y extrema razón. Partimos del segmento AB y queremos encontrar un punto F, tal que los segmentos AF y FB, estén en proporción áurea. Para ello, levantamos la perpendicular BD de una altura igual AB/2, con centro en D llevamos esta altura a la hipotenusa del triángulo ABD y obtenemos E; ahora con centro en A y radio AE calculamos el punto F (fig.1).

FIGURA 1: División de un segmento en media y extrema razón.

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Este problema ya fue resuelto por Euclides en la proposición 30 del libro VI de los Elementos de la siguiente forma: “Dividir una recta finita dada en extrema y media razón: sea AB la recta finita dada. Así pues, hay que dividir la recta AB en extrema y media razón. Constrúyase a partir de AB el cuadrado ΒΓ y aplíquese a ΑΓ el paralelogramo Γ∆ igual a ΒΓ y que exceda en la figura Α∆ semejante a ΒΓ. Ahora bien, ΒΓ es un cuadrado; entonces Α∆ es también un cuadrado. Y como ΒΓ es igual a Γ∆, quítese de ambos ΓΕ ; entonces el (paralelogramo) restante ΒΖ es igual al (paralelogramo) restante

Α∆. Pero son

también equiángulos; entonces los lados que comprenden los ángulos iguales de los (paralelogramos) ΒΖ , Α∆ son inversamente proporcionales; entonces, como ΖΕ es a Ε∆, así ΑΕ a ΕΒ. Pero

ΖΕ es igual a ΑΒ y Ε∆ a ΑΕ . Por tanto, como ΒΑ es a ΑΕ , así ΑΕ a ΕΒ . Pero ΑΒ es mayor que ΑΕ ; así pues, ΑΕ es también mayor que ΕΒ. Por consiguiente se ha dividido la recta ΑΒ en extrema y media razón por Ε y su segmento mayor es ΑΕ. Q.E. F.” 3

2) En la segunda, debemos hallar un segmento FB, que esté en relación áurea con otro dado AF. Para calcularlo, construimos un cuadrado de lado AF, y con centro en AF/2 y radio el lado, trazamos un arco hasta cortar a la prolongación de AF y obtenemos el segmento que buscábamos(fig.2).

FIGURA 2: Trazado de la sección áurea.

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Esta última construcción no es otra que la del pentágono regular, que como veremos está íntimamente relacionado con Φ.

Luca Pacioli en su Divina proporción

analiza los trece “efectos”

(aplicaciones matemáticas) de este número. Algunos de ellos se relacionan con los polígonos regulares; éstos son el séptimo: “ que los lados del hexágono y del decágono estén en esta proporción”, el noveno: “que mediante el cruce de las diagonales del pentágono obtendremos la relación del lado con la diagonal”, el undécimo: “ al dividir el lado de un hexágono según esta proporción, su parte mayor será siempre el lado del decágono”, y el decimotercer efecto: “ Como sin esta proporción no es posible construir un pentágono equilátero y equiángulo”.4 Ahora estudiaremos estas relaciones más detenidamente. PENTÁGONO: la forma más sencilla de derivar Φ de un polígono regular es hacerlo partiendo de un pentágono. La razón de la diagonal y el lado de un pentágono regular es precisamente el número áureo, así como la de los segmentos en que queda dividida una diagonal al cortarse con otra(fig. 3).

KF KF MN GD MD = = = = =Φ KG AB ND MD MG FIGURA 3: Pentágono regular. Relaciones de diagonales

3 4

EUCLIDES: Elementos. Libros V-IX, Ed. Gredos, Madrid, 1994, p 104. PACIOLI L.: La Divina proporción, Ed. Akal, Madrid, 1987. pp 48-58 14

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La construcción más común

del pentágono

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es la llamada de

Ptolomeo(fig.4a), que más tarde fue retomada por Durero; pero Euclides también abordó este problema de la siguiente forma: partiendo del segmento AB, calculamos el punto F que lo divide en media y extrema razón. Haciendo centro en F y en B con radio AF, calculamos el punto G(fig.4b).

FIGURA 4a: Construcción del pentág ono según Ptolomeo.

FIGURA 4b: Construcción del pentágono según Euclides.

Por las siguientes relaciones de ángulos el ángulo ae es de 72° por lo tanto el lado MN será el del pentágono regular: Relaciones de ángulos: ángulo FBG = ae =72°, por lo tanto GFB y AGB también son iguales a ae. El ángulo FGB será entonces de 180°− 2ae y el AGF y GAF 3ae − 180°. Al hacer la suma de ángulos del triángulo AFG tenemos: 180° = 2 (3ae − 180°) + (180° − ae) = 5ae − 180° 5ae = 360° ae = 72°

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Podemos encontrar dentro del pentágono diez triángulos rectángulos, es el llamado “triángulo sagrado egipcio o triángulo de Pitágoras”. Es un triángulo rectángulo cuyos lados son proporcionales a los números 3,4, y5. Es el único triángulo cuyos lados forman una serie aritmética. Este triángulo se aproxima al coeficiente áureo en la relación de las 5 unidades del lado y las 3 de la base(fig. 5)

CD 5 = =1,666... AD 3 FIGURA 5: Triángulo pitagórico

PENTÁGONO ESTRELLADO: uniendo de dos en dos los vértices del pentágono regular, obtenemos el pentágono estrellado, también llamada estrella de cinco puntas, pentagrama, pentángulo o pentalfa; símbolo de la antigua Escuela Griega de Matemáticas, fundada por Pitágoras (fig.6).

FIGURA 6: Pentagrama.

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El número de oro aparece prácticamente en todas las relaciones que podemos establecer entre los diversos segmentos que la forman. Podemos encontrar dentro del pentágono estrellado varios triángulos que resultan estar relacionados con el número de oro. ✔ El primero es un triángulo isósceles(en la fig....