Laboratorio Física 2, Informe 2, Análisis del movimiento armónico simple en un resorte PDF

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1 Universidad de Caldas Universidad de Caldas Laboratorio de F´ısica II Informe II An´ alisis del Movimiento Armonico Simple en un resorte Facultad de Ingenier´ıas. 21 de mayo de 2019 Facultad de ingenier´ıas Informe II 2 Universidad de Caldas ´Indice 1. Resumen. 3 2. Marco Te´ orico. 2. Periodo. . ...

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1

Universidad de Caldas

Universidad de Caldas Laboratorio de F´ısica II Informe II

An´ alisis del Movimiento Armonico Simple en un resorte

Facultad de Ingenier´ıas. 21 de mayo de 2019 Facultad de ingenier´ıas

Informe II

2

Universidad de Caldas

´ Indice 1. Resumen. 2. Marco Te´ orico. 2.1. Periodo. . . . . . . . . . 2.2. Frecuencia de oscilaci´on. 2.3. Frecuencia angular. . . 2.4. Elongaci´ on. . . . . . . . 2.5. Velocidad. . . . . . . . . 2.6. Aceleraci´ on. . . . . . . .

3 . . . . . .

4 5 5 5 6 6 6

3. Objetivos. 3.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Objetivos Especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 7

4. Metodolog´ıa. 4.1. Elementos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8

5. Resultados.

9

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6. Conclusiones.

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Referencias

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1.

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Resumen.

En el laboratorio realizado se trabaj´ o el sistema masa-resorte, la cual consiste en un resorte de masa despreciable con un porta-pesas cuya funci´ on era portar masas distintas (generalmente una mayor que la otra), suponiendo un ambiente donde no act´ uan fuerzas disipativas. Hallando el periodo de oscilaci´on del resorte en cada uno de los ensayos realizados. El objetivo se cumpli´ o, analizando la din´amica del movimiento oscilatorio del sistema masa-resorte, cuyo movimiento describe un Movimiento Armonico Simple (M.A.S). En este experimento se ha trabajado con diferentes masas expuestas a una fuerza ejercida por un resorte siendo sometido a la fuerza gravitoria, estudiando as´ı el comportamiento de oscilaci´ on y las variables que dependen de un sistema de movimiento arm´ onico simple. El movimiento arm´ onico simple (m.a.s), tambi´en denominado movimiento vibratorio arm´ onico simple (m.v.a.s), es un movimiento peri´odico, y vibratorio en ausencia de fricci´on, producido por la acci´on de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posici´on. Y queda descrito en funci´ on del tiempo por una funci´on senoidal. Si la descripci´on de un movimiento requierese m´ as de una funci´on arm´onica, en general ser´ıa un movimiento arm´ onico, pero no un Movimiento Armonico Simple (M.A.S).

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2.

Marco Te´ orico.

El modelo matem´atico que describe el movimiento oscilatorio, tiene una soluci´ on lineal,siempre y cuando la fuerza restauradora sea proporcional a la deformaci´ on respecto al punto de equilibrio.En el sistema masa-resorte, la fuerza restauradora se origina cuando se deforma el resorte y, siempre ser´a proporcional al estiramiento cuando este sea peque˜ no, de tal manera que no supere el l´ımite el´astico del resorte.[2]

Figura 1: Montaje de laboratorio

El periodo de oscilaci´on de un resorte para una masa fija al extremo de un resorte est´ a dado por la relacion r m (1) T = 2π k Facultad de ingenier´ıas

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donde k, es la constante de elasticidad del resorte y m representa la masa efectiva del sistema oscilante. Para considerar mediciones precisas,es necesario adicionar parte de la masa del resorte a la masa suspendida de manersa tal que la masa efectiva ser´ a dada por: 1 m = m + mR 3

(2)

donde mR representa la masa del resorte y m es la masa suspendida o acoplada al resorte. Hay que recordar que el movimiento de una part´ıcula en oscilaci´ on depende de lafuerza de restauraci´ on producida. Dicha fuerza es la de un resorte, descrita por laley de Hooke. F = −kx

(3)

Las ecuaciones del M.A.S respectivas para el estudio de este fen´ omeno f´ısico son:

2.1.

Periodo.

Es el tiempo que tarda la part´ıcula en realizar un ciclo completo. T =

t 10

(4)

Donde t es el tiempo promedio en 10 periodos de oscilaci´ on.

2.2.

Frecuencia de oscilaci´ on.

Es una magnitud que mide el n´ umero de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fen´ omeno o suceso peri´ odico[3]:

f=

2.3.

1 T

(5)

Frecuencia angular.

Esta f´ ormula nos permite calcular la Frecuencia angular del sistema, donde este depende de la constante de fuerza k y la masa m del cuerpo oscilante. [3]: w=

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2π = 2πf T

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Esta ecuaci´ on nos permite expresar el periodo (T) del movimiento arm´ onico simple en funci´ on de la masa de la part´ıcula y de la constante el´ astica de la fuerza que act´ ua sobre ella (resorte) r m (7) T = 2π k donde k, es la constante de elasticidad del resorte y m representa la masa efectiva del sistema oscilante.

2.4.

Elongaci´ on.

La elongaci´ on de la part´ıcula para un tiempo t viene dada por el coseno del a´ngulo que nos da la posici´on de la part´ıcula. Como puede verse, la elongaci´ on es una funci´on peri´ odica en funci´ on del tiempo y el m´ aximo valor que puede tomar la A (la amplitud) son +1 y −1., ya que coseno oscila entre dichos valores. x(t) = Acos(ωt + φ)

2.5.

(8)

Velocidad.

Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una part´ıcula sometida a un M.A.S vendr´ a dada por la derivada con respecto al tiempo de la funci´ on x, donde observamos que la velocidad es tambi´en funci´on peri´ odica arm´ onica en funci´on del tiempo y que alcanza su m´axima velocidad cuando el seno del ´angulo es igual a 1. dx = −Aωsen(ωt + φ) dt

2.6.

(9)

Aceleraci´ on.

Derivando en la expresi´on de la velocidad, obtenemos el valor de la aceleraci´ on. dv = −Aω2 cos(ωt + φ) dt

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3.

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Objetivos. 3.1.

Objetivo General

Hallar el tiempo de oscilaci´on de cada resorte siendo sometido a diferentes masas en amplitud variable.

3.2.

Objetivos Especificos

Determinar el periodo de oscilaci´ on de cada resorte siendo sometido a diferentes masas. Determinar el tiempo promedio del periodo en 10 oscilaciones. Comparar los tiempos de oscilaci´on en dos amplitudes distintas.

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4.

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Metodolog´ıa.

En primera instancia la practica se inicia midiendo la longitud del resorte con una masa variable en el soporte universal, se arma la estructura colocando marcas que especifican medidas de amplitud variable para los resortes, colocando el resorte con su masa respectiva en la medida inicial, se suelta y se cuenta el tiempo en 10 periodos de oscilaci´ on. Una vez concluido, se registra el tiempo en segundos que tardo el resorte en culminar los 10 periodos de oscilaci´on, despu´es se procede a repetir el mismo procedimiento colocando pesas de diferentes masas en dos resortes de diferente di´ ametro y en otra amplitud.

4.1.

Elementos utilizados Soporte universal Tubo metalico Resorte 1 Resorte 2 Pesas de 5g, 10g , 20g , 50g Instrumentos de medido (metro, regla) Cron´ ometro

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5.

Resultados. A continuaci´ on vamos a analizar el resorte grande con 9 cm de amplitud.

Masa (gr) 100 110 120 130 140 150 160

t 10osc 7,9 8,35 9,35 9,53 9,64 9,92 10,49

t 10osc 7,83 8,46 9,55 9,71 9,62 9,84 10,56

t 10osc 7,9 8,14 9,33 9,58 9,75 9,87 10,4

t 10osc 8,1 8,47 9,4 9,6 9,84 9,93 10,53

t 10osc 7,88 8,71 9,38 9,69 9,84 9,83 10,64

Promedio(t 100sc) 7,922 8,426 9,402 9,622 9,738 9,878 10,524

Periodo 0,7922 0,8426 0,9402 0,9622 0,9738 0,9878 1,0524

Cuadro 1: Resorte Grande 9 cm de Amplitud

Figura 2: Masa vs Periodo Resorte grande 9 cm

Para hallar la constante de elasticidad k para este resorte, tuvimos que hallar la pendiente a1 , y llevamos los datos a la siguiente ecuaci´ on: 4π 2 a1

(11)

y2 − y1 x2 − x1

(12)

k= Para hallar a1 usamos: a1 = Facultad de ingenier´ıas

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remplazamos en la ecuaci´on

1,11 − 0,63 0,160 − 0,100

(13)

a1 = 8,0

(14)

4π 2 8,0

(15)

k = 4,9N

(16)

y = a1 X + a0

(17)

a1 = Se obtiene el resultado Remplazamos en la ecuacon 11.

k= y obtenemos la constante de elasticidad k

Se sabe que entonces a0 sera: a0 =

4π 2 m0 k

(18)

por lo tanto, a0 = 1,26

(19)

A continuaci´ on pasaremos a analizar la gr´afica para el resorte grande con amplitud de 3 cm. Masa (gr) 100 110 120 130 140 150 160

t 10osc 8,31 8,64 9,13 9,15 9,49 9,65 10,23

t 10osc 8,27 8,61 8,89 9,35 9,44 9,65 10,6

t 10osc 8,31 8,62 9,06 9,26 9,53 9,71 10,1

t 10osc 8,46 8,59 9,04 9,36 9,53 9,74 10,14

t 10osc 8,35 8,62 9,01 9,31 9,56 9,69 10,3

Promedio(t 100sc) 8,34 8,616 9,026 9,286 9,51 9,688 10,274

Periodo 0,834 0,8616 0,9026 0,9286 0,951 0,9688 1,0274

Cuadro 2: Resorte Grande 3 cm de Amplitud

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Figura 3: Masa vs Periodo Resorte grande 3 cm

En este caso hallamos la ecuaci´on de la recta y sacamos la constante de elogacion para el resorte. 4π 2 (20) k= a1 Para hallar a1 usamos: y2 − y1 a1 = (21) x2 − x1 remplazamos en la ecuaci´on 1,06 − 0,70 a1 = (22) 0,160 − 0,100 Se obtiene el resultado a1 = 6,0

(23)

4π 2 6,0

(24)

Remplazamos en la ecuacon 11. k= y obtenemos la constante de elasticidad k k = 6,58N

(25)

y = a1 X + a0

(26)

Se sabe que entonces a0 sera: a0 =

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4π 2 m0 k

(27)

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por lo tanto, a0 = 0,95

(28)

Ahora pasaremos a revisar el resorte peque˜ no con amplitud de 9 cm.

Masa (gr) 200 210 220 230 240 250 260

t 10osc 8,68 9,24 9,26 9,24 8,81 9,33 9,86

t 10osc 8,73 9,1 9,08 9,22 8,95 9,3 9,9

t 10osc 8,8 9,16 9,13 9,19 8,79 9,52 9,83

t 10osc 8,75 9,15 9,15 9,18 8,86 9,54 9,9

t 10osc 8,81 9,2 9,22 9,22 8,8 9,43 9,97

Promedio(t 100sc) T 8,754 0,8754 9,17 0,917 9,168 0,9168 9,21 0,921 8,842 0,8842 9,424 0,9424 9,892 0,9892

Cuadro 3: Resorte Peque˜ no 9 cm de Amplitud

Figura 4: Masa vs Periodo Resorte peque˜ no 9 cm

Utilizamos las mismas ecuaciones para hallar la constante de elasticidad k y la pendiente a1 0,986 − 0,77 a1 = (29) 0,260 − 0,200 Se obtiene el resultado a1 = 3,54

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Remplazamos en la ecuacon 11. k=

4π 2 3,54

(31)

y obtenemos la constante de elasticidad k k = 11,16N

(32)

y = a1 X + a0

(33)

Se sabe que entonces a0 sera: a0 =

4π 2 m0 k

(34)

por lo tanto, a0 = 0,91

(35)

El mismo proceso lo realizamos con el resorte peque˜ no y amplitud de 3cm Masa (gr) 200 210 220 230 240 250 260

t 10osc 8,53 9,4 8,85 8,79 8,65 9,26 9,81

t 10osc 8,48 8,89 8,98 9,09 8,74 9,57 9,8

t 10osc 8,66 8,92 9 9,18 8,55 9,6 9,55

t 10osc 8,75 8,95 9,05 9,21 8,58 9,63 9,64

t 10osc 8,55 8,9 9,03 9,08 8,64 9,55 9,95

Promedio(t 100sc) 8,594 9,012 8,982 9,07 8,632 9,522 9,75

Periodo 0,8594 0,9012 0,8982 0,907 0,8632 0,9522 0,975

Cuadro 4: Resorte Peque˜ no 3 cm de Amplitud

Figura 5: Masa vs Periodo Resorte peque˜ no 3 cm

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Utilizamos las mismas ecuaciones para hallar la constante de elasticidad k y la pendiente a1 0,95 − 0,74 a1 = (36) 0,260 − 0,200 Se obtiene el resultado a1 = 3,53

(37)

4π 2 3,53

(38)

Remplazamos en la ecuacon 11. k= y obtenemos la constante de elasticidad k k = 11,17N

(39)

y = a1 X + a0

(40)

Se sabe que entonces a0 sera: a0 =

4π 2 m0 k

(41)

por lo tanto, a0 = 0,91

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6.

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Conclusiones. Se logr´ o conocer la relaci´on entre el periodo de oscilaci´ on y la constante de elasticidad. Entre m´ as peque˜ na sea la constante de elasticidad, es mayor el tiempo de oscilaci´ on. La amplitud y el tiempo de oscilaci´ on son directamente proporcionales. A mayor peso se genera una mayor elongaci´ on.

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Referencias ´ UNIVERSITARIA VOL [1] Y. H. D. SEARS Francis W, ZEMANSKY Mark W, FISICA ´ 2004. 2. M´exico, PEARSON EDUCACION, o ´ . Bogota, Colombia:Editorial Norma, [2] J. DAINTITH, “DICCIONARIO DE FISICA 1984.

[3] R. Serway, “F ´ISICA II” Quinta Edici´on. S. A., 2004.

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M´exico: International Thomson Editores

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