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Appunti Calcolo delle Probabilità...

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Calcolo delle Probabilit`a A.A. 09/10 Corso di Studi in Statistica per l’Analisi dei dati Universit`a degli Studi di Palermo docente G. Sanfilippo http://www.unipa.it/~sanfilippo [email protected] 20 maggio 2010

1

Informazioni e registro delle Lezioni

Denominazione e CFU. Corso di Calcolo delle Probabilit`a per il Corso di Studi in STAD, 10 CFU. Esame. L’esame consiste in una prova scritta ed in una verifica orale dell’elaborato scritto. La prova scritta si intende superata se si ottiene una votazione maggiore o uguale a 18/30. Ricevimento. Per l’orario di ricevimento controllare l’home page del docente http://www.unipa.it/ ~sanfilippo. Studio del docente: primo piano del Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli”, Facolt`a di Economia, Univ. di Palermo.

1.1

Strutturazione del corso

Il corso `e suddiviso in linea di massima in Lezioni ed Esercitazioni. Le Lezioni sono prevalentemente svolte dal dott. G. Sanfilippo mentre le Esercitazioni sono prevalentemente svolte dalla prof. G. Agr`o. Va notato che alcuni argomenti teorici saranno trattati durante le ore di Esercitazione e alcuni esercizi saranno svolti durante le ore di Lezione. Pertanto, il registro completo delle Lezioni `e dato dall’unione dei due registri (vedi paragrafi 1.4 e 1.5).

1.2

Orario.

• Luned`ı dalle 15 alle 17 (Esercitazioni prof. G. Agr`o). • Mercoled`ı dalle 12 alle 15. • Gioved`ı dalle 12 alle 15.

Periodo di lezioni 01 Marzo 2010 - 20 Maggio 2010.

1.3

Materiale didattico.

Libri di testo consigliati • Calcolo delle Probabilit`a, Sheldon Ross, Apogeo, 2007 • Incertezza e Probabilit`a, Romano Scozzafava, Zanichelli, 2003 • Calcolo delle Probabilit`a, Giorgio Dall’Aglio, Zanichelli, 2001 Altri libri consultabili. • Calcolo delle Probabilit`a, Paolo Baldi, McGraw-Hill (2007) • Teoria delle Probabilit`a, vol.1 e vol.2, Bruno de Finetti, Giuffr`e (ristampa 2005) • Calcolo delle Probabilit`a ed Elementi di Statistica, Luciano Daboni, Utet • Introduzione al Calcolo delle Probabilit`a, Donato M. Cifarelli, McGraw-Hill, 1998 1

Esercitazioni. • Raccolta di esercizi svolti e compiti di esame degli anni precedenti disponibili sul sito del docente (vedi [5]).

1.4 1.4.1

Registro delle lezioni (Teoria). Lezione del 3 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 3.

• Cenni storici, problema di de M`er`e e soluzione ([1]). • Proposizioni logiche, eventi, operazioni e relazioni logiche tra eventi (unione intersezione negazione, implicazione). Partizione finita dell’evento certo. Propriet`a associativa e commutative dell’unione e dell’intersezione. Formule di De Morgan. Indicatore di un evento. Operazioni tra gli indicatori. Diagrammi di Venn, esempi ([8]). • Impostazione assiomatica. Algebra di eventi, sigma-algebra, misura di probabilit`a, assiomi della probabilit`a, additivit`a finita, σ-additivit`a ([1, 2, 8]). Spazi probabilizzabili e spazi di probabilit`a [1, 2]. Commenti critici ([3, 8]). 1.4.2

Lezione del 4 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 6.

• Criterio classico di definizione di probabilit`a. Propriet`a fondamentali della probabilit`a. Probabilit` a e partizione dell’evento certo. Propriet` a di monotonia. Probabilit` a totali per tre eventi. Principio di inclusione/esclusione (Probabilit`a dell’unione di n eventi). Commenti critici sulla definizione classica, esempi vari. • Impostazione frequentista al calcolo delle probabilita e commenti critici. • Impostazione soggettiva, condizione di coerenza, criterio di scommessa ([3, 8]). Costituenti associati ad una famiglia di eventi. Esempi di valutazioni incoerenti di probabilit` a. Valutazioni di probabilit` a coerenti su n eventi arbitrari. Gli assiomi del calcolo delle probabilit` a come condizioni necessarie di coerenza. Probabilit`a e quote di scommessa. 1.4.3

Lezione del 10 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 9.

• Esercitazione su probabilit`a e quote di scommessa nelle partite di calcio. • Decomposizione di un evento nell’unione dei costituenti ad esso favorevoli[8]. Verifica della coerenza di un’assegnazione di probabilit`a su una famiglia finita di eventi . Cenni sul teorema fondamentale di de Finetti delle probabilit`a (estensione coerente di probabilit` a ad un ulteriore evento) ([3, 8]). • Esercitazioni sulla verifica della coerenza. Interpretazione geometrica della valutazione di probabilit` a coerente come punto di un opportuno involucro convesso. Esempi in R2 . 1.4.4

Lezione del 11 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 12.

• Eventi condizionati ([8],[3]). Definizione di evento condizionato , casi particolari, probabilit`a di un evento condizionato, propriet` a della probabilit` a condizionata, esempi. • Teorema delle probabilit` a composte. Enunciato, corollario. Considerazioni sulle probabilit` a nulle e sulla sigma additivit` a. Teorema delle probabilit` a composte in generale. Formula di disintegrazione. Esercizi sulle probabilit` a condizionate. • Teorema di Bayes ([4]). Dimostrazione, probabilit`a iniziali, probabilit`a finali e verosimiglianze. Teorema di Bayes nella sua forma generale. • Indipendenza stocastica ([8],[1], [4]). Eventi valutati stocasticamente indipendenti. Casi particolari: eventi quasi impossibili e quasi certi. Famiglia finita di eventi stocasticamente indipendenti. Esempi e controesempi sull’indipendenza stocastica. Indipendenza a tre ma non a due.

2

1.4.5

Lezione del 18 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 15.

• Problema della roulette russa. Esercizi sul Teorema delle probabilit` a composte e sul Teorema di Bayes. • Numeri aleatori discreti. Definizione, cenni sulla cardinalit`a di un insieme. Codominio. Distribuzione di probabilit`a. • Esempi di numeri aleatori discreti. HomeWork Problema dei tre condannati ([8] pag. 50, es.59) 1.4.6

Lezione del 18 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 18.

• Variabili aleatorie discrete come funzioni misurabili ([1, 2]). • Distribuzione Binomiale. Numero aleatorio di successi su n prove. N.a. con distribuzione binomiale ([4, 1, 8]). Cenni sul binomio di Newton. Propriet`a del coefficiente binomiale che si deducono facilmente dal triangolo di Tartaglia. Grafico di una distribuzione binomiale Clicca qui . • Cardinalit` a dell’insieme delle parti di un insieme finito. Estrazioni con restituzione da urne di composizione nota. Cenni sulle estrazioni di Polya ([1]). • Valore atteso. Definizione di valore atteso (o previsione o speranza matematica) di un numero aleatorio discreto. Interpretazione fisica del valore attesa come baricentro di un sistema di masse. Propriet` a di linearit` a del valore atteso. • Numero aleatorio semplice ([8]) (combinazione lineare di indicatori di eventi). Forma canonica di un numero aleatorio semplice. 1.4.7

Lezione del 24 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 21.

Valore atteso e varianza di un numero aleatorio discreto. • Valore atteso (previsione) di un numero aleatorio semplice nell’ambito del criterio della scommessa, previsione dell’indicatore di un evento ([8]). • Linearit` a della previsione ([8]). Disuguaglianza di Jensen (dim.) [4]. Previsione di un n.a. con distribuzione Binomiale. Previsione della frequenza relativa di successo ([8]). • Valore atteso di una funzione di un n.a. discreto [4]. • Varianza e scarto quadratico medio di un n.a. discreto, definizione e alcune propriet` a. • Esercizi sul valore atteso. 1.4.8

Lezione del 25 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 24.

• Distribuzione ipergeometrica. Estrazioni senza restituzione da un un’urna di composizione nota, equiprobabilit`a dei costituenti Ah , n ([8]). • Esercizi sulle estrazioni senza restituzione da un urna di composizione incognita (es. 3.1 della raccolta di esercizi). • Gioco equo. Calcolo del valor medio del guadagno nel gioco della roulette. 1.4.9

Lezione del 31 Marzo 2010, 12-15. Ore complessive: 27.

• Estrazioni senza restituzione da un’urna di composizione nota: dipendenza stocastica tra gli eventi. Propriet` a della varianza. Esercizi sulla varianza. Definizione di covarianza e propriet` a. Standardizzazione di un numero aleatorio. Coefficiente di correlazione lineare, casi particolari di dipendenza lineare tra due numeri aleatori. • Incorrelazione tra due numeri aleatori. Esercizi sulla covarianza. Varianza di una combinazione lineare di numeri aleatori. Matrice delle varianze e delle covarianze. Varianza di un indicatore di un evento. Covarianza di indicatori, indicatori incorrelati e indipendenza stocastica. 3

• Varianza di una somma di indicatori di eventi. Calcolo della varianza di n.a. con distribuzione binomiale. Calcolo della varianza di n.a. con distribuzione ipergeometrica. 1.4.10

Lezione del 07 Aprile 2010, 12-15. Ore complessive: 30.

• Successione di eventi stocasticamente indipendenti. Numero aleatorio con distribuzione geometrica, propriet`a di assenza di memoria, calcolo del valore atteso e della varianza ([8, 4]). Ritardi nel gioco del lotto ([1]). • Numero aleatorio con distribuzione di Pascal, (distribuzione binomiale negativa) [1, 8, 4]. • Numero aleatorio con distribuzione di Poisson, sigma-additivit`a, previsione e varianza. Distribuzione di Poisson come approssimazione di una distribuzione binomiale. 1.4.11

Lezione del 08 Aprile 2010, 12-15. Ore complessive: 33.

• Esercizio sulla distribuzione di Poisson. • Funzione di ripartizione di un numero aleatorio, propriet` a. Funzione di ripartizione dell’indicatore di un evento. • Esercizio 3.6 in [5]. • Esercizio sulla distribuzione Geometrica ([6]). 1.4.12

Lezione del 12 Aprile 2010, 15-17. Ore complessive: 35.

• Estrazioni con e senza restituzione da un’urna di composizione incognita. • Mistura di distribuzioni binomiali. Mistura di distribuzioni ipergeometriche. • Indipendenza condizionata. • Svolgimento dei seguenti esercizi: Esercizio N.4 ed Esercizio N.2 del 20/09/2007 (vedi [6]). 1.4.13

Lezione del 14 Aprile 2010, 12-15. Ore complessive: 38.

• Richiami sulla cardinalit` a di un insieme. Probabilit`a su famiglie infinite di eventi incompatibili. Considerazioni sulle probabilit`a nulle. ([7],[8]). • Numeri aleatori continui: definizione, distribuzioni assolutamente continue, densit`a di probabilit` a, funzione di ripartizione. • Distribuzione Uniforme: densit`a, calcolo della costante di normalizzazione, funzione di ripartizione. • Esercizio EF26/06/2007 n.3. 1.4.14

Lezione del 15 Aprile 2010, 12-15. Ore complessive: 41.

• Numero aleatorio con distribuzione esponenziale (negativa). Numero aleatorio con distribuzione di Laplace. • Funzione di Sopravvivenza. Propriet` a di Assenza di Memoria della Distribuzione esponenziale e sua caratterizzazione. Funzione di Rischio (tasso di guasto). Calcolo della densit`a a partire da una funzione di rischio. Cenni di teoria dell’affidabilit`a. Funzione di rischio lineare. Distribuzione di Rayleigh. • Previsione (valore atteso), varianza e momenti di ordine r di un numero aleatorio continuo. • Valore atteso di una funzione di un numero aleatorio • Valore atteso e varianza di numeri aleatori aventi una tra le seguenti distribuzioni: Uniforme, Esponenziale, Laplace.

4

1.4.15

Lezione del 28 Aprile 2010, 12-15. Ore complessive: 44.

• Distribuzione di Rayleigh. Funzione di rischio potenza del tempo, distribuzione di Weibull. • Distribuzione Beta e valore atteso. • Trasformazioni di una variabile aleatoria: metodo della funzione di ripartizione. 1.4.16

Lezione del 29 Aprile 2010, 12-15. Ore complessive: 47.

• Esercizio 06/07/05 EF, n.4 • Osservazioni su P (a ≤ X ≤ b) nel caso di X continuo e nel caso di X discreto. • Vettori aleatori discreti ( [4, 7]): distribuzioni congiunte, distribuzioni marginali e marginali condizionate, indipendenza stocastica. • Distribuzione del numero aleatorio somma di due numeri aleatori di Poisson indipendenti (vedi [5], [7], Esercizio n.4 07/02/2008, ). 1.4.17

Lezione del 03 Maggio 2010, 15-17. Ore complessive: 49.

• Valore atteso di una funzione di un vettore aleatorio discreto. • Indipendenza e incorrelazione tra numeri aleatori. • Distribuzione multinomiale. • Vettori aleatori (assolutamente) continui, definizione, densit` a di probabilit` a. Vettore aleatori con distribuzioni uniforme su un insieme A limitato e misurabile di R2 . 1.4.18

Lezione del 05 Maggio 2010, 12-15. Ore complessive: 52.

• Distribuzioni marginali e marginali condizionate nel continuo. Funzione di ripartizione congiunta. Indipendenza tra numeri aleatori, caso n = 2 e caso n qualsiasi. • Distribuzione uniforme sul cerchio di centro l’origine e raggio unitario (vedi es.n.2 della raccolta Exextra-v25Mag07.pdf). Calcolo delle distribuzioni marginali, marginali condizionate e della covarianza tra (X, Y ). In tal caso si osserva che si ha cov(X, Y ) = 0 pur non essendo √ X, Y stocasticamente indipendenti. Calcolo della distribuzione della distanza dall’origine, Z = X 2 + Y 2 . • Distribuzione uniforme sul quadrato unitario, distribuzioni marginali e marginali condizionate. Calcolo del valore di π mediante simulazione. • Distribuzioni uniforme e rapporto tra aree. 1.4.19

Lezione del 12 Maggio 2010, 12-15. Ore complessive: 55.

• Dispositivi in serie e in parallelo. Distribuzione del minimo e del massimo di due numeri aleatori indipendenti con distribuzione esponenziale. • Funzione caratteristica ([7, 1, 8]). Richiami sui numeri complessi. Funzione caratteristica di un numero aleatorio e propriet`a. • Calcolo della funzione caratteristica delle seguenti distribuzioni: binomiale, esponenziale, geometrica, uniforme, Poisson. Funzione caratteristica di alcune distribuzioni (do dim.): gamma, normale • Corrispondenza tra funzione caratteristica e funzione di ripartizione. Funzione caratteristica di una trasformazione lineare di un numero aleatorio (Y = aX + b). 1.4.20

Lezione del 13 Maggio 2010, 12-15. Ore complessive: 58.

• Funzione caratteristica del numero aleatorio somma di n numeri aleatori indipendenti. Esempi. • Funzione caratteristica e calcolo dei momenti. Esempi. • Esercizio n.4 del compito di esame 29/06/2009. 5

1.4.21

Lezione del 19 Maggio 2010, 12-15. Ore complessive: 61.

• Distribuzione normale n-dimensionale ([7, 1, 8]), matrice delle varianze e covarianze. Legame tra indipendenza stocastica e incorrelazione. • Trasformazione lineare di un vettore aleatorio con distribuzione normale n-dimensionale. Curve di livello. Diagonalizzazione della matrice di varianze e covarianze. • Cenni sulla funzione caratteristica congiunta. • Distribuzione chi-quadro con n gradi di libert`a, esercizio n.4 compito di esame 01/Feb/2010. 1.4.22

Lezione del 20 Maggio 2010, 12-15. Ore complessive: 64.

• Convergenza in distribuzione [1]. • Teorema Centrale del limite: dimostrazione e applicazioni ([7]). Esercizio n.3 compito d’esame 12/01/2005 Economia e Finanza. • Definizione di convergenza quasi certa ([7, 1]). • Convergenza in probabilit` a, legge (debole) dei grandi numeri, Teoremi di Bernoulli ([7, 1]). • Convergenza in media r-esima, consistenza di uno stimatore corretto ([7, 1]). • Relazione tra i vari tipi di convergenza.

1.5 1.5.1

Registro delle Esercitazioni, a cura della prof. G. Agr` o Lezione del 01 Marzo 2010, 15-17. Ore complessive: 2.

• Calcolo combinatorio: permutazioni, permutazioni con ripetizione, disposizioni con ripetizione, disposizioni semplici, combinazioni. • Alcuni esercizi. Richiami di teoria degli insiemi. 1.5.2

Lezione del 08 Marzo 2010, 15-17. Ore complessive: 4.

• Esercizi di calcolo delle probabilit`a di eventi secondo la definizione classica considerando le prime propriet` a derivanti dagli assiomi e la formula per il calcolo della probabilit`a totale. 1.5.3

Lezione del 22 Marzo 2010, 15-17. Ore complessive: 6.

Esercizi su prob. condizionata; eventi stocasticamente indipendenti; formula di disintegrazione; formula di Bayes. 1.5.4

Lezione del 29 Marzo 2010, 15-17. Ore complessive: 8.

Applicazioni del teorema di Bayes in medicina e ingegneria. Esercizi su: variabile ipergeometrica e variabile binomiale 1.5.5

Lezione del 21 Aprile 2010, 12-14. Ore complessive: 10.

La densita’ gaussiana: caratteristiche e propriet` a. La gaussiana standardizzata e l’uso dei prontuari 1.5.6

Lezione del 22 Aprile 2010, 12-14. Ore complessive: 12.

Ancora sull’uso dei prontuari della funzione di ripartizione gaussiana. Approssimazione della binomiale alla gaussiana. Correzione per continuit` a. La kurtosi: indice di kurtosi di Pearson. 1.5.7

Lezione del 26 Aprile 2010, 15-17. Ore complessive: 14.

Funzione gamma, distribuzione gamma, valore atteso e varianza, processo stocastico di Poisson, v.a. tempo di attesa del primo successo:esponenziale.

6

1.5.8

Lezione del 06 Maggio 2010, 13-15. Ore complessive: 16.

Variabili aleatorie doppie: distribuzioni condizionate, speranza matematica condizionata, funzione di regressione. Propriet`a della speranza condizionata. Esempi con v.a discrete. 1.5.9

Lezione del 10 Maggio 2010, 15-17. Ore complessive: 18.

Indipendenza in media. Varianza condizionata e sue propriet`a. Funzione di regressione per v.a. doppie continue. La disuguaglianza di Cebicev. 1.5.10

Lezione del 17 Maggio 2010, 15-17. Ore complessive: 20.

Distribuzione gaussiana bivariata e relative distribuzioni marginali e condizionate.

Riferimenti bibliografici [1] G. Dall’Aglio. Calcolo delle probabilit`a. Zanichelli. [2] P. Baldi. Calcolo delle probabilit` a. McGraw-Hill. 2007. [3] B. de Finetti. Teoria delle Probabilit`a, vol.1 e vol.2. Giuffr`e (ristampa 2005) [4] S. M. Ross. Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo. [5] G. Sanfilippo. Raccolta di Esercizi svolti di Calcolo delle Probabilit`a. http://www.unipa.it/∼sanfilippo [6] G. Sanfilippo. Alcuni esercizi svolti di Calcolo delle Probabilit` a durante il corso. esercizi0910.pdf. http://www.unipa.it/∼sanfilippo

nome file:

[7] G. Sanfilippo. Alcuni argomenti di Calcolo delle Probabilit` a affrontati durante il corso. Centro Stampa. [8] R. Scozzafava. Incertezza e Probabilit`a. Zanichelli, 2001.

Palermo, 20/05/2010 . Giuseppe Sanfilippo

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