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LINEE DI INFLUENZA...

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Lezione PONTIEGRANDISTRUTTURE Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania

Lineediinfluenza

Lineadiinfluenza Definizione Dicesi lineadiinfluenzadellagrandezzaGnellasezioneS, Ildiagrammacheindicaconlasuaordinatagenerica(x) ilvaloredellagrandezzainesameinS quandoilcaricoF=1agiscenellasezionediascissax.

F=1 x S min (x) max 3

Lineadiinfluenza Utilizzo Mediantelelineediinfluenzaèpossibile:  valutarel’effettoprodottoinunasezionedacarichimobilidivariotipo  individuareleposizionideicarichiperlequalisihannoimassimiedi minimivaloridellagrandezzaGcercata

F=1 x S min (x) max 4

Lineadiinfluenza Caricoconcentratoisolato • LagrandezzaG=F èproporzionaleall’intensitàdelcarico. • LaposizionedelcaricoFpercisihailmassimo(ominimo)valore dellagrandezzaGèunicaedèquelladellaverticale corrispondenteall’ordinatamassima(ominima)dellalineadi influenza. F=1 x S min (x) max 5

Lineadiinfluenza Trenodicarichiconcentrati • E’possibileapplicareilprincipiodisovrapposizionedeglieffetti percuise1,2,3 …sonorispettivamenteleordinatesottoi carichiF1,F2,F3 …lagrandezzaGsaràdatada:

G   Fi i i

x1

F2=1

F1=1 S

(x)

(x)

F3=1 min (x)

max 6

Lineadiinfluenza Caricodistribuito x2

G   q( x ) dx

• Nelcasodicaricovariabileq(x)siha:

x1

• Nelcasodicarico G  q uniformementeripartitoqsiha: dove èl’areadellalineadiinfluenzasottostantelazonacaricata. x2 x1

q

min S

(x)

(x) max 7

Lineadiinfluenza Caricouniformementedistribuito • Nelcasogeneraledicaricouniformementedistribuitoq èsemplicel’individuazionedellaposizionediqpercuiGèmassimo. Se,infatti,sispostadidxilcaricodallaposizionepercuil’effetto èmassimo,siha: d (x1)dx (x2 )dx Dovendosiavereun massimo,dovràrisultare:

x2 x1

q

min S

(x)

(x) max

d  0 (x1) ( x2) dx ovvero,leordinatedella l.d.i.alleestremitàdel caricosonouguali. 8

Lineadiinfluenza Caricouniformementecomunquesegmentabile Nelcasofrequentedicaricouniformementedistribuito èquellodicaricocomunquesegmentabile,cioèdivaloreqfissato, madiestensionearbitrariaedeventualmenteatratti,chedovrà quindiesseredispostoopportunamenteinsedediverifica.

q

min S max

Ladisposizionedelcarico risulteràevidentedall’esame dellelineediinfluenza, dovendosicaricaretuttele zonedellostessosegno. 9

Lineadiinfluenza Tracciamento Lelineediinfluenzapossonoesseretracciateconilmetodo: • DIRETTO • INDIRETTO

10

Lineadiinfluenza Metododiretto Ilmetododirettoconsistenelcostruirelalineadiinfluenzaper punti, calcolandoGperdiverseposizionidelcarico. Piùvicinisonoipunticuisidisponeilcaricoepiùprecisoèl’andamentodelle lineediinfluenza.sezioneconsiderata.

Nelcasodellesollecitazionipuòessereconvenientedeterminare dapprimalelineediinfluenzadellereazionivincolariepoicalcolareda questelesollecitazioninellasezioneconsiderata.

11

Lineadiinfluenza Metododiretto– travesemplicementeappoggiata x

Lalineadiinfluenza(l.d.i.)delle reazionivincolariè:

F=1

S A RA

L

B RB

Equazioni di equilibrio

RA + RB  1 RB  L  1 x  0

1

l.d.i. di RB

l.d.i. di RA 1

Linea di influenza delle reazioni

RA  1 x L RB  x L 12

Lineadiinfluenza Metododiretto– travesemplicementeappoggiata xs x

Lineadiinfluenzadeltaglio F=1

VS  RA  1  x L

x  xS

VS  RB  x L

x  xS

S A

B

L

RB

RA

Lineadiinfluenzadelmomento l.d.i. di VS

l.d.i. di MS

-

+

+

MS 

L x xS L

x  xS

MS 

L x xS   xS  x L

x  xS 13

Lineadiinfluenza Metododiretto– traveasbalzo xs x

Lineadiinfluenzadeltaglio F=1

MA S A

L

VS  1

x  xS

VS  0

x  xS

RA

l.d.i. di VS

l.d.i. di MS

+

-

Lineadiinfluenzadelmomento MS   x  xS 

x  xS

MS  0

x  xS 14

Lineadiinfluenza Metododiretto– traveincastrata‐ appoggiata xs x

Lineadellereazionivincolari F=1

x3  3 L  x  RB  3 1   L 2 x 

MA S A

B

L

RA

RB

RA  RB 1

MA  RB  L  x l.d.i. di RB

l.d.i. di RA

+ +

l.d.i. di MA

-

15

Lineadiinfluenza Metododiretto– traveincastrata‐ appoggiata xs x

Lineadiinfluenzadeltaglio F=1

MA S A

RB -

l.d.i. di MS

x  xS

VS  RB

x  xS

B

L

RA

l.d.i. di VS

VS  RA

+

Lineadiinfluenzadelmomento MS  RB  L  xS    x  xS 

x  xS

MS  RB  L  xS 

x  xS

+ 16

Lineadiinfluenza Metodoindiretto Ilmetodoindirettofausodeiprincipidireciprocità (chesonovalidinell’ipotesidivaliditàdelprincipiodisovrapposizionedeglieffetti) Primoprincipio (teoremadiBetti): «Datidueinsiemidiforze agentiseparatamentesullastruttura,illavoro compiutodalprimoinsiemeperglispostamentiindottidalsecondoèugualeal lavorocompiutodalleforzedelsecondoinsiemeperglispostamentiindottidal primo» Secondoprincipio (teoremadiLand‐Colonnetti): «Datidueinsiemidiforzeedistorsioni agentiseparatamentesullastruttura, illavoromutuogeneralizzatoènullo» Terzoprincipio (teoremadiVolterra): «Datidueinsiemididistorsioni agentiseparatamentesullastruttura, iduelavorimutuigeneralizzatisonouguali» 17

Lineadiinfluenza Metodoindiretto (teoremadiBettigeneralizzato): «Datidueinsiemidiforzeedistorsioniagentiseparatamentesullastruttura, illavorocompiutodalleforzeedistorsionidelprimoinsiemeperglispostamenti esollecitazioniindottidalsecondoinsiemeèugualeallavorocompiutodalle forzeedistorsionidelsecondoinsiemeperglispostamentiindottidalprimo»

18

Lineadiinfluenza Primoprincipiodireciprocità '

''

Fi echesudiessapossonoagire. Fj Siconsideriunastruttura,edueinsiemidiforze 1

2 '

Sifacciaagireprimal’insieme1(forze) Fi

Fi '

Fj''

vi'

v''j

Illavorocompiutodataleinsiemeè:

L1 

''

Sifacciaagirepoil’insieme2(forze) Fj

1 Fi'vi'  2 i

Illavorocompiutodataleinsiemeè:

L2 

1 Fj'' v''j  2 j 19

Lineadiinfluenza Primoprincipiodireciprocità 3 ''

Durantel’azionedelle Fj ' lesonopresentiintuttoillorovalore. Fi spostamenti indottidalsistemadiforze2 incorrispondenzadeipuntidi applicazionedelsistemadiforze1

' i

F

vi'' '

Quindileforzecompionoun ulteriore Fi lavoro:

L12   Fi v '

i

'' i

Pertanto,illavorototaleè:

L12  L1  L2  L12 (seagisceprimailsistema1epoiilsistema2) 20

Lineadiinfluenza Primoprincipiodireciprocità Sesiipotizzadifareagireprimailsistema2epoiilsistema1siha:

L21  L1  L2  L21 dove:

L21   Fj '' v'j

spostamenti indottidalsistemadiforze2 incorrispondenzadeipuntidiapplicazionedelsistemadiforze1

j

Primoprincipio (teoremadiBetti):

SeilsistemaèconservativoL1+2=L2+1 equindi:

L21  L12

,dacui…………………………

«Datidueinsiemidiforze agenti separatamentesullastruttura,illavoro compiutodalprimoperglispostamenti indottidalsecondoèugualeallavoro compiutodalleforzedelsecondoinsieme perglispostamentiindottidalprimo» 21

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadeglispostamenti Perilprimoprincipiodireciprocità(teoremadiBetti) l’abbassamentovs dellasezioneSperuncaricoverticalepostoinP èugualeall’abbassamentovp dellasezionePperilcaricopostoinS.

FP' v''P  FS'' v'S xp

xs xp

xs

F=1 P

F=1

S

P

v'S

v''P

S

Quindi,ildiagrammadeglispostamentiv inSalvariaredell’ascissadelpuntodi applicazionedellaforzaunitariainP(l.d.i.dellospostamentov inS)saràugualeal diagrammadeglispostamentiprodottinellastrutturadallaforzaunitariainS. 22

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadeglispostamenti Perilprimoprincipiodireciprocità(teoremadiBetti) larotazionesp dellasezioneSperuncaricoverticaleunitariopostoinP èugualeall’abbassamentoVp dellasezionePperlacoppiaunitariapostainS.

FP' v''P  MS'' 'S xp

xp

F=1 MA=1

S P s

S P vp

Quindi,ildiagrammadellarotazione inSalvariaredell’ascissadelpuntodi applicazionedellaforzaunitariainP(l.d.i.dellarotazione inS)saràugualeal diagrammadeglispostamentiprodottinellastrutturadallacoppiaunitariainS. 23

Lineadiinfluenza Secondoprincipiodireciprocità k Fi edistorsioni Siconsideriunastruttura,edueinsiemidiforze chesudiessapossonoagire. 1

2

Fi Sifacciaagireprimal’insieme1(forze)

k ) Sifacciaagirepoil’insieme2(

Fi

k

vi' Illavorocompiutodataleinsiemeè:

L1 

1 Fi vi'  2 i

Sk'' Illavorocompiutodataleinsiemeè:

L2  

1 kS''k  2k 24

Lineadiinfluenza Secondoprincipiodireciprocità PerilteoremadiBettigeneralizzato

 F v  S    F v   S  ' '' i i

i

Dunque,essendo

Fj''  0

 F v  S  ' '' i i

i

' '' k k

' '' k k

k

e

'h  0

j

'' ' h h

h

deveessere:

0

k

ovvero:

L12  0

'' ' j j

Secondoprincipio (teoremadiLand‐Colonnetti):

,dacui…………………………

«Datidueinsiemidiforzeedistorsioni agentiseparatamentesullastruttura, illavoromutuogeneralizzatoènullo» 25

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadellesollecitazioni Perilsecondoprincipiodireciprocità(teoremadiLand‐Colonnetti) lasollecitazione(N,M,V)nellasezioneSperuncaricoverticalepostoinP èugualeall’abbassamentovp dellasezionePperunadistorsione(checompie lavoroperlacaratteristicacercata)postainS. xp

xs xp

xs

F=1 P

S

P

Ms

Mp

S

=1

Quindi,ildiagrammadelmomentoflettenteM inSalvariaredell’ascissadelpuntodi applicazionedellaforzaunitariainP(l.d.i.diM inS)saràugualealdiagrammadegli spostamentiprodottinellastrutturadalladistorsioneangolareunitariainS. 26

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadellesollecitazioni Perilsecondoprincipiodireciprocità(teoremadiLand‐Colonnetti) lasollecitazione(N,M,V)nellasezioneSperuncaricoverticalepostoinPè ugualeall’abbassamentovp dellasezionePperunadistorsione(checompie lavoroperlacaratteristicacercata)postainS. xp

xs xp

xs

F=1 P

S Vs

P Vp

S

=1

Quindi,ildiagrammadeltaglioVinSalvariaredell’ascissadelpuntodiapplicazione dellaforzaunitariainP(l.d.i.diM inS)saràugualealdiagrammadeglispostamenti prodottinellastrutturadalladistorsionetrasversaleunitariainS. 27

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadellesollecitazioni L a S

xd

xs

b P

S A

Esempio

F=1 B

C

Traveappoggiataconsbalzo. D

1 xs /L xs a/L

xd b/L

LineadiinfluenzadiV perlasezioneS

xs b/L

LineadiinfluenzadiM perlasezioneS

xd /L

xd a/L



xs

xs xd /L

 



xd 28

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadellesollecitazioni L xs xd

Esempio

F=1 P

S3 A

B

C

D

xs/L

E

TraveGerber F

1

LineadiinfluenzadiV perlasezioneS3

xd

LineadiinfluenzadiM perlasezioneS3

xd/L xs

29

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadellereazioni F=1

xp

Esempio P

A

RB

C

Traveisostatica D

Lineadiinfluenza dellareazioneRB

v=1 (x)

30

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadellereazioni F=1

MB=1

Esempio Travecontinua

P A

B

C

=1

D

Lineadiinfluenza dellareazioneMB (x)

31

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– lineediinfluenzadellereazioni xp

Carichiindiretti

F=1

P A

B

(xp)

Quandolestrutturesecondariesono costituitedatravisemplicemente appoggiate,lal.d.i.cercatadiottieneda quelladellastrutturaprincipalesupposta direttamentecaricatacongiungendocon trattirettilineitutteleordinatedidetta lineapostisullaverticaleperipuntidi applicazionedelcarico. Infatti: =RA A +RB B PoichéRA eRB varianolinearmente,anche  seguiràlastessaleggeessendouna combinazionelinearedeiprimidue. 32

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– sollecitazionimassimeeminime F=1 S

A

B

C

P

M+

+

E

max D

(x)

+

F

+

=1

33

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– sollecitazionimassimeeminime F=1 S

A

B

C

P

M-

+

E

max D

(x)

+

F

+

=1

34

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– sollecitazionimassimeeminime F=1

M-

max P

A

B

C -

+

D

E

=1

+ (x)

F

-

35

Lineadiinfluenza Metodoindiretto– sollecitazionimassimeeminime Calcolandolel.d.i.peruncertonumerodi sezionieriportandoincorrispondenzadi ciascunodiquestesezioniilvaloremassimoo minimodell’entesihannoidiagrammi

Seaquestidiagrammisisommano quellirelativiaicarichipermanenti sihannoidiagrammi deimassimiedeiminimiassoluti.

deimassimiedeiminimi relativiaquelcaricovariabile.

x1

A

Carico uniforme segmentabile

x2

L

S B

x1/L x2/L

l.d.i. di VS

L

A

qx12 2L +

B

-

qx22 2L

Diagramma dei massimi e minimi di VS 36

Superficidiinfluenza

Lineadiinfluenza Superficidiinfluenza Tuttelesuperficidiinfluenzasipossonoottenereconopportunederivazioni dallafunzionediinfluenzadellafrecciadiinflessionew,calcolatanelpunto (x0,y0)incuisivoglionoeseguireleverifiche. Peresempio:

 2w 2w  mx  D 2   2  y   x

  2w 2w qx  D  2   2  x  x y 

Es3 dove: D  (rigidezzaflessionaledellapiastra) 12 1  2 

38

Lineadiinfluenza Superficidiinfluenza Ilproblemaquindisiriconducealcalcolodelladeformataw(x,y,) peruncaricounitariopostoin(x0,y0). Ladeformatasiottienerisolvendol’equazionedifferenzialedel4° ordine:

4w 4w 4w q 2 2 2  4  4 x x y y D Es3 dove: D  (rigidezzaflessionaledellapiastra) 12 1  2 

Ivarimetodidicalcolodellesuperficidiinfluenzasidifferenzianonelmodo dirisolverequestaequazione. 39

Lineadiinfluenza Superficidiinfluenza

mxy

mx

qx Proiezione isometrica di una superficie di influenza del momento

mx my ad un estremo ad un estremo vincolato libero

qx ad un estremo vincolato

tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.

qy ad un estremo libero

40

Lineadiinfluenza Superficidiinfluenza y

y

x

Superficie di influenza del momento flettente my all’appoggio di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti

x

Superficie di influenza del momento flettente mx al centro di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti

tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.

41

Lineadiinfluenza Superficidiinfluenza TratuttiimetodisiricordaquellodiPucherchehafornitolesuperficidi influenzaperpiastrerettangolaricondiversirapportideilatiediversamente vincolate. L’utilizzazionepraticadellesuperficidiinfluenzaèlegataalfattocheessesonole stesseperpiastredidimensionidiversepurchéaventilostessorapportotrailati. Unavoltainpossessoditabelleograficicheforniscanolesuperficidiinfluenzaper ly l0y  lx lx0 unapiastradiriferimentodilatietalechesia lx0 ly0 sidovràcalcolareilrapportodisimilitudine:

k  ly l0y  lx l0x eridurreinscalailcarico.Ilcaricolineareavrànellapiastradiriferimentola lunghezzas/kmentreilcaricoripartitograveràsuunasuperficieridottapariaA/k².

42