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201-NYA-05

Calcul différentiel pour les fonctions à une variable

A-16

Logique & théorie des ensembles -

Logique propositionnelle • Proposition Notion proposition

Symbole Définition p;q affirmation qui peut être soit vraie, soit fausse

• Connecteurs logiques Notion négation conjonction disjonction disjonction exclusive

Symbole Appellation ¬ «non» ∧ «et» ∨ «ou» «soit que…, soit que…» ∨ ⇒ «si…alors…» «implique» ⇔ «si et seulement si» «équivaut à»

implication équivalence

Usage ¬p p ∧q p ∨q

p∨ q

p⇒q p⇔q

• Quantificateurs Notion quantificateur universel quantificateur existentiel négation du quantificateur existentiel

Symbole Appellation ∀ «pour tout» ∃ «il existe au moins un» ∃! «il existe un et un seul» ∄ «il n’existe aucun…»

Usage ∀ x ∈ U , p (x )

∃ x ∈ U , p (x ) ∃! x ∈U , p (x ) ∄ x ∈U , p (x )

• Symboles divers Notion définition propriété justification conclusion fin d’une preuve

Symbole : ∋: Q ∴

Appellation «défini par…» «tel que» «car» «donc» «ainsi»

□

Logique & théorie des ensembles

1 © Steve Labrecque

Département de mathématiques

201-NYA-05 -

Calcul différentiel pour les fonctions à une variable

A-16

Théorie des ensembles • Ensembles Notion ensemble élément ensemble vide ensemble référentiel ensemble universel

Symbole Définition collection d’éléments bien définis A a constituant d’un ensemble Ø = { } ensemble ne possédant aucun élément ensemble de base duquel sont tirés tous les éléments afin U de former d’autres ensembles

• Représentations Notion en extension en énumération en compréhension

Définition A = {a1 ; a2 ; a3 ; ...}

A = {x ∈ U p (x )} où p( x ) est une condition s’exprimant selon x

diagramme de Venn

• Relation d’appartenance/d’inclusion Notion appartenance

Symbole ∈

inclusion large sous-ensemble inclusion stricte sous-ensemble propre

⊆ ⊂

Logique & théorie des ensembles

Appellation «est élément de…» «appartient à…» «est inclus dans…»

Usage

a∈A A⊆ B

«est strictement inclus dans…»

2 © Steve Labrecque

A⊂B

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201-NYA-05

Calcul différentiel pour les fonctions à une variable

A-16

(suite du tableau précédent…) Définition

Diagramme de Venn

a fait partie de l’ensemble A

Tous les éléments de l’ensemble A font partie de l’ensemble B ∀ x ∈ A, x ∈ A ⇒ x ∈ B

A⊆ B∧ A≠ B

• Relation d’égalité Notion

Symbole

Appellation

Usage

égalité

=

«égal à…»

A= B

Définition tous les éléments de l’ensemble A se retrouvent dans l’ensemble B et vice versa A= B ⇔ A⊆ B∧ B⊆ A

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Département de mathématiques

201-NYA-05

Calcul différentiel pour les fonctions à une variable

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• Opérations ensemblistes Notion

Symbole

union réunion intersection différence complémentation

Appellation

Usage

∪

«union»

A∪ B

∩ \ ′

«inter» «moins» «prime»

A∩ B A\ B A′

(suite du tableau précédent…) Définition

Diagramme de Venn

A ∪ B = {x ∈U x ∈ A ∨ x ∈ B }

A ∩ B = {x ∈U x ∈ A ∧ x ∈ B }

A \ B = {x ∈ U x ∈ A ∧ x ∉ B}

A′ = {x ∈ U x ∉ A}

Logique & théorie des ensembles

4 © Steve Labrecque

Département de mathématiques

201-NYA-05

Calcul différentiel pour les fonctions à une variable

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• Ensembles disjoints Notion

Définition

Diagramme de Venn

A et B sont disjoints ⇔ A∩ B = Ø

ensembles disjoints

• Ensembles de nombres Notion nombres naturels nombres entiers nombres rationnels

Symbole ℕ ℤ ℚ

ℚ = {a b a, b ∈ Z et b ≠ 0 }

ℚ′ ℝ

ℚ′ = ℝ \ ℚ ℝ = ℚ ∪ ℚ′

nombres irrationnels nombres réels

Définition ℕ = {0; 1; 2; ...} ℤ = {...; - 2; - 1; 0; 1; 2; ...}

• Symboles divers Notion non-appartenance

Symbole ∉

non-inclusion -

⊄ ℕ∗

Logique & théorie des ensembles

Appellation «n’est pas élément de…» «n’appartient pas à…» «tel que» «n’est pas inclus dans…» 5 © Steve Labrecque

Définition définition en compréhension ℕ = {1; 2; ...} ∗

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201-NYA-05

Calcul différentiel pour les fonctions à une variable

-

-

∗

-

ℤ ℤ+

-

ℤ− ℝ+ ℝ ∗+

-

ℝ−

-

∗

ℝ−

A-16

∗ ℤ = ℤ \ {0 } ℤ+= ℕ ℤ − = {...; - 2; - 1; 0}

-

ℝ + = [ 0; + ∞[

-

ℝ + = ] 0 ; + ∞[ ℝ − = ] − ∞; 0]

-

ℝ − = ] - ∞; 0[

∗

∗

• Intervalles Soit a , b ∈ IR tel que a < b , alors : Symbole

Définition

Diagramme de Venn

] a; b[

] a; b[ = {x ∈ IR

a < x < b}

[a; b[

[a; b[ = {x ∈ IR

a ≤ x < b}

] a; b]

] a; b] = {x ∈ IR

a < x ≤ b}

[a; b]

[a; b] = {x ∈ IR

a ≤ x ≤ b}

] a; + ∞[ ] a; + ∞[ = {x ∈ IR

a < x < +∞ }

[a; + ∞[ [a; + ∞[ = {x ∈ IR

a ≤ x < +∞}

] − ∞; b [ ] − ∞ ; b[ = {x ∈ IR

− ∞ < x < b}

] − ∞; b ] ] − ∞ ; b ] = {x ∈ IR

- ∞ < x ≤ b}

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6 © Steve Labrecque

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